Sistema de coordenadas dipolares

El sistema de coordenadas dipolar [1] , o dipolo [2] , es un sistema de coordenadas ortogonales curvilíneas tridimensionales basado en un dipolo puntual (central) , más precisamente, en sus invariantes de transformación de coordenadas .

Definición

En un sistema de coordenadas dipolar ligado a un punto dipolo, cada punto en el espacio está definido por tres números. En este caso, al fijar una de las coordenadas se obtiene una superficie equipotencial , y al fijar las otras dos se obtiene una línea de fuerza . Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. El sistema de coordenadas dipolar tiene simetría rotacional (axial) sobre el eje del dipolo.

La figura de la derecha (calculada en una computadora) en un plano que pasa por el eje del dipolo muestra sus líneas de fuerza (rojo), así como secciones de superficies equipotenciales por este plano (verde). El dipolo mismo está en el centro de la figura. El patrón tiene dos ejes de simetría, horizontal y vertical, que se muestran como líneas rectas. La línea vertical en la figura es el eje del dipolo. Las líneas de fuerza están dibujadas en rojo, son más alargadas, situadas a la izquierda y derecha del dipolo, y las líneas verdes, más redondeadas, situadas por encima y por debajo del dipolo, son tramos de superficies equipotenciales ("líneas equipotenciales"). . Las líneas de coordenadas de un sistema de coordenadas dipolar en el espacio tridimensional se obtienen girando este patrón alrededor de un eje vertical.

El sistema de coordenadas dipolares se usa ampliamente en el modelado matemático de sistemas dipolares. Además, las designaciones de coordenadas, su orden y dirección no están establecidas y pueden cambiar [1] [2] [3] .

Definición de coordenadas dipolares en términos de coordenadas de otros sistemas

Los centros de los sistemas de coordenadas coinciden y están respectivamente orientados entre sí: los ejes de los sistemas y la longitud coinciden.

Sistema de coordenadas esféricas

Los componentes de coordenadas de un sistema dipolar que simula un dipolo magnético se determinan en términos de coordenadas esféricas de la siguiente manera [1] : ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ lambda)}$ ${\ estilo de visualización (r, \ theta, \ varphi)}$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta}{r^{2))},\lambda =\varphi .

De acuerdo con la terminología del sistema de coordenadas esféricas, aquí está la distancia al origen de coordenadas (distancia radial), es el cenit, o polar, ángulo , o inclinación , o colatitud, es el ángulo azimutal. La ecuación determina la superficie equipotencial del campo magnético y el sistema de ecuaciones determina la línea de campo. $r$ $\ theta$ $\varphi$ $\beta ={\text{const))$ $\alpha ={\text{const)),\lambda ={\text{const))$

Los valores de coordenadas dipolares tienen las siguientes limitaciones:

0\leqslant \alpha <+\infty

. . .

-\infty <\beta <+\infty

0^{\circ }\leqslant\lambda <360^{\circ }

donde las coordenadas y (así como y ) no están definidas en , y la coordenada (y ) tampoco está definida en y . $\beta$ $\lambda$ $\ theta$ $\varphi$ $\ alfa = 0$ $\lambda$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ theta = 0 ^ {\ circ}}$ ${\ estilo de visualización \ theta = 180 ^ {\ circ}}$

La transición de las componentes de algún vector en coordenadas esféricas a las componentes en el sistema dipolar se realiza según las fórmulas [1] $\matemáticas {A}$

{\begin{pmatrix}A_{\alpha }\\A_{\beta }\\A_{\lambda }\end{pmatrix))={\frac {1}{\sqrt {\delta ))} {\begin{pmatrix}\sin \theta &-2\cos \theta &0\\-2\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&0&{\sqrt {\delta ))\end{pmatrix)) {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta}\\A_{\varphi}\end{pmatrix)),

dónde

\delta =1+3\cos ^{2}\theta =1+3\beta ^{2}r^{4}.

Sean , , los vectores de coordenadas en este sistema de coordenadas dipolar. entonces [1] ${\ estilo de visualización \ mathbf {e} _ {\ alfa}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {e} _ {\ beta}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {e} _ {\ lambda}}$

\mathbf {e}_{\beta}\times \mathbf {e}_{\alpha}=\mathbf {e}_{\lambda}

. . .

\mathbf {e} _{\alpha }\times \mathbf {e}_{\lambda}=\mathbf {e}_{\beta}

\mathbf {e}_{\lambda}\times \mathbf {e}_{\beta}=\mathbf {e}_{\alpha}

es decir, el sistema de coordenadas dipolares así definido es, de acuerdo con la regla de gimlet , a la izquierda.

No es posible expresar sin ambigüedades en términos de, por ejemplo, las ecuaciones para determinar tal [1] : ${\ estilo de visualización (r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ lambda)}$ ${\ estilo de visualización r, \ theta}$

\alpha \beta ^{2}r^{4}+r-\alpha =0,\alpha ^{2}\beta \sin ^{4}\theta -\cos \theta =0.

A veces se usa una distancia adimensional , donde es una distancia fija, como sigue [2] : ${\displaystyle {\tilde {r}}={\frac{r}{r_{c))))$ $r_{c}$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi .

Después

\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}\times \mathbf {e}_{\tilde {\beta }}=\mathbf {e}_{\lambda }

. . .

\mathbf {e}_{\tilde {\beta}}\times \mathbf {e}_{\lambda}=\mathbf {e}_{\tilde {\alpha}}

\mathbf {e}_{\lambda}\times \mathbf {e}_{\tilde {\alpha}}=\mathbf {e}_{\tilde {\beta}}

es decir, el sistema de coordenadas dipolar así definido es, según la regla de gimlet, correcto.

Sistema de coordenadas cartesianas

Los componentes de coordenadas de un sistema dipolar que simula un dipolo magnético se determinan en términos de coordenadas cartesianas y distancia radial de la siguiente manera [1] : ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ lambda)}$ $(x, y, z)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$

\alpha ={\frac {r^{3}}{x^{2}+y^{2}}},\beta ={\frac {z}{r^{3}}},\ lambda =\nombre del operador {arctg} {\frac {y}{x)).

Es imposible expresar sin ambigüedades en términos de [1] : $(x, y, z)$ ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ lambda)}$

x={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\cos \lambda }{\sqrt {\alpha }}},y={\frac {{\sqrt {r^{3} }}\sin \lambda }{\sqrt {\alpha }}},z=\beta r^{3}.

Características diferenciales

Primeras y segundas derivadas

La matriz de Jacobi de la transición de coordenadas cartesianas a dipolares tiene la forma [1] :

{\frac {D(x,y,z)}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\cos \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \cos \lambda &-\delta r\sin \ theta \sin \lambda \\\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\sin \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \sin \ lambda &\delta r\sin \theta \cos \lambda \\3\sin ^{4}\theta \cos \theta &r^{3}(1-3\cos ^{2}\theta )&0\end{ pmatrix}}.

La matriz de Jacobi de la transición de coordenadas esféricas a dipolares tiene la forma [1] :

{\frac {D(r,\theta ,\varphi )}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix} \sin ^{4}\theta &-2r^{3}\cos \theta &0\\-(2\sin ^{3}\theta \cos \theta )/r&-r^{2}\sin \theta &0\\0&0&\delta \end{pmatriz}}.

Coeficientes cojos

H_{\alpha }={\frac {\sin ^{3}\theta }{\sqrt {\delta }}},H_{\beta }={\frac {r^{3}}{\ sqrt {\delta ))},H_{\lambda }=r\sin \theta ,H_{\beta }=\alpha ^{2}H_{\alpha }H_{\lambda }.

Segundas derivadas [1] :

{\frac {\parcial ^{2}r}{\parcial \alpha ^{2))}=-{\frac {4\sin ^{6}\theta \cos ^{2}\theta ( 5+3\cos ^{2}\theta )}{r\delta ^{3}}},

{\frac {\parcial ^{2}r}{\parcial \beta ^{2))}={\frac {2r^{5}(15\cos ^{4}\theta +10\cos ^{2}\theta -1)}{\delta ^{3}}},

{\frac {\parcial ^{2}\theta }{\parcial \alpha ^{2))}={\frac {2\sin ^{5}\theta \cos \theta (9\cos ^ {4}\theta +16\cos ^{2}\theta -1)}{r^{2}\delta ^{3}}},

{\frac {\parcial ^{2}\theta }{\parcial \beta ^{2))}={\frac {r^{4}\sin \theta \cos \theta (9\cos ^ {2}\theta +11)}{\delta ^{3}}}.

Sea alguna función escalar . Sus primeras derivadas en coordenadas dipolares y esféricas están relacionadas [1] : $F$

\delta {\frac {\parcial f}{\parcial \alpha ))=\sin ^{4}\theta {\frac {\parcial f}{\parcial r))-2{\frac {\ sin ^{3}\theta \cos \theta {r}}{\frac {\f parcial}{\parcial \theta )),

\delta {\frac {\parcial f}{\parcial \beta }}=-2r^{3}\cos \theta {\frac {\parcial f}{\parcial r}}-r^{2 }\sin \theta {\frac {\f parcial}{\parcial \theta )),

{\frac {\parcial f}{\parcial \lambda ))={\frac {\parcial f}{\parcial \varphi ))

{\frac {\parcial f}{\parcial r))={\frac {1}{\sin ^{2}\theta )){\frac {\parcial f}{\parcial \alpha )) -{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}{\frac {\parcial f}{\parcial \beta )),

{\frac {\parcial f}{\parcial \theta }}=-2r{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\parcial f}{ \alpha parcial ))-{\frac {\sin \theta }{r^{2))}{\frac {\f parcial}{\beta parcial ))

{\frac {\parcial f}{\parcial \varphi ))={\frac {\parcial f}{\parcial \lambda )).

Su operador de Laplace es [1]

\Delta f={\frac {4}{r\sin ^{4}\theta }}{\frac {\parcial f}{\parcial \alpha }}+{\frac {\delta }{\ sin ^{6}\theta }}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial \alpha ^{2}}}+{\frac {\delta }{r^{6}}}{\ frac {\parcial ^{2}f}{\parcial \beta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial \lambda ^{2}}}.

Operaciones vectoriales

Las coordenadas de los operadores diferenciales vectoriales en un sistema dipolar son las siguientes [1] :

\operatorname {grad} f={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\parcial f}{\parcial \alpha }}\mathbf { e} _{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\parcial f}{\parcial \beta }}\mathbf {e}_{\ beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\parcial f}{\parcial \lambda }}\mathbf {e} _{\lambda },

\operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\parcial A_{\alpha }}{\ parcial \alpha }}+4{\frac {1-3\cos ^{4}\theta }{{\sqrt {\delta }}^{3}r\sin \theta }}A_{\alpha }+{ \frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\parcial A_{\beta }}{\parcial \beta }}\;-

-\;3{\frac {\cos \theta (3+5\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta } +{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\parcial A_{\lambda }}{\parcial \lambda }}),

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\parcial A_{\beta }}{\parcial \lambda }} -{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\parcial A_{\lambda }}{\parcial \beta }}+{\frac {3\cos \theta } {{\sqrt {\delta }}r}}A_{\lambda }\right)\mathbf {e}_{\alpha }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\parcial A_{\lambda }}{\parcial \alpha }} -{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\parcial A_{\alpha }}{\parcial \lambda }}+{\frac {1-3\cos ^{2}\theta }{{\sqrt {\delta }}r\sin \theta }}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\beta }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\parcial A_{\alpha }}{\parcial \beta }}-{\ frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\parcial A_{\beta }}{\parcial \alpha }}-6{\frac {\cos \theta ( 1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\alpha }\;-\right.

-\;\left.3{\frac {\sin \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\ beta }\right)\mathbf {e} _{\lambda }.

Modelado matemático de la Tierra

Para describir el comportamiento de las partículas cargadas en el campo magnético terrestre, el más conveniente (mucho más conveniente que el sistema de coordenadas geomagnéticas esféricas ) es el sistema de coordenadas dipolar [2] .

El sistema de coordenadas del dipolo al modelar la Tierra se construye de la siguiente manera [1] [2] : ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ lambda)}$

su comienzo se sitúa en el centro de la Tierra ;
el eje del dipolo está dirigido a lo largo del eje del dipolo magnético de la Tierra (eje geomagnético) que pasa a través de los polos magnéticos ;
la coordenada cambia perpendicular al vector del campo magnético terrestre en el plano del meridiano geomagnético; $\alfa$ $\matemáticas {B}$
la coordenada cambia a lo largo de la línea de fuerza del dipolo, es decir, su dirección coincide con la dirección del vector ; $\beta$ $\matemáticas {B}$
la coordenada cambia en la dirección perpendicular a las dos primeras. $\lambda$

En teoría, un sistema de coordenadas dipolar también se puede escribir como un sistema de coordenadas izquierdo, cuando el vector de coordenadas se dirige desde el centro de la Tierra, por ejemplo, así [1] : ${\ estilo de visualización \ mathbf {e} _ {\ alfa}}$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta}{r^{2))},\lambda =\varphi ,

y como un sistema de coordenadas recto, cuando el vector de coordenadas está dirigido al centro de la Tierra [2] , por ejemplo, así: ${\ estilo de visualización \ mathbf {e} _ {\ alfa}}$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi ,

donde , es el radio de la Tierra . ${\tilde {r}}={\frac{r}{R_{E}}}$ $RE}$

Las coordenadas del sistema tienen el siguiente significado físico [2] :

$\alfa$ y - respectivamente distancia geocéntrica dimensional (en m o km) y adimensional (en radios de la Tierra ) hasta la parte superior de la línea de campo, - parámetro de McIlwain ; ${\displaystyle L={\frac {1}{\tilde {\alpha ))))$ $RE}$ $L$
$\beta$ y son el potencial geomagnético dimensional y adimensional, respectivamente; ${\tilde {\beta))$
$\lambda$ es la longitud geomagnética.

Notas

Fuentes

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Fatkullin M. N., Sitnov Yu. S. Sistema de coordenadas dipolar y algunas de sus características // Geomagnetismo y Aeronomía. 1972. V. 12, No. 2. S. 333-335.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Física de la ionosfera. M.: Nauka, 1988. § 3.5, págs. 173-174. ISBN 5-02-000716-1
↑ Kashchenko N. M., Matsievsky S. V. Modelado matemático de inestabilidades de la capa F ecuatorial de la ionosfera // Boletín de la Universidad Estatal de Kaliningrado. 2003. Edición. 3. S. 59-68.

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico