Superficie de Seifert
En matemáticas , una superficie de Seifert es una superficie cuyo límite es un nudo o enlace dado . Tales superficies suelen ser útiles en el estudio del nudo o eslabón correspondiente. En particular, muchos invariantes de nudos se calculan más fácilmente usándolo. Las superficies de Seifert son interesantes en sí mismas como objetos de estudio. El nombre de Herbert Seifert .
Definición
Sea un nudo o enlace domesticado orientado en el espacio 3D (o en una esfera 3D). Una superficie de Seifert es una superficie orientada compacta conectada incrustada en un espacio tridimensional de tal manera que su límite es , y la orientación en la superficie induce la orientación original en .
Hacemos hincapié en que la superficie de Seifert debe estar orientada.
Ejemplos
- Cada superficie orientada compacta conectada con un límite no vacío en el espacio tridimensional es una superficie de Seifert de su límite.
- La tira de Möbius estándar tiene el nudo trivial como límite , pero no es su superficie de Seifert, ya que la tira de Möbius no es orientable.
Tipo de nodo
La superficie de Seifert de un nudo o enlace dado no está definida de manera única: el mismo nudo (o enlace) puede tener varias superficies de Seifert diferentes, el género mínimo posible de tal superficie se llama género del nudo , es su invariante y es denotado por .
Por ejemplo:
- El género de un nudo trivial es 0 (porque es el límite del disco); por el contrario, si el género de un nudo es cero, entonces el nudo es trivial.
- Shamrock , como la figura ocho , tienen género 1.
- El género de un nudo tórico de tipo es igual a .
- El grado del polinomio de Alexander es un límite inferior para el doble del género del nudo.
La propiedad fundamental de un género es su aditividad con respecto a una suma conexa de nodos:
Enlaces
- Programa SeifertView Archivado el 26 de mayo de 2010 en Wayback Machine : construcción de superficies Seifert para varios nudos.