Transformada de Fourier en grupos

La transformada de Fourier en grupos es una generalización de la transformada de Fourier discreta de grupos cíclicos a abelianos localmente compactos o grupos compactos arbitrarios .

Conceptos auxiliares

Una representación de dimensión finita de un grupo es un mapeo de un grupo de transformaciones lineales reversibles de un espacio vectorial tal que para cualquier $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ pi: G \ mapas a GL (V)}$ $GRAMO$ $V$ $g_{1},g_{2}\en G$

{\ estilo de visualización \ pi (g_{1}) \ pi (g_ {2}) = \ pi (g_ {1} g_ {2}).}

En otras palabras, es un homomorfismo de los grupos y .

\Pi

GRAMO

GL(V)

La representación se llama si unitaria , donde es el conjunto de transformaciones unitarias del espacio . ${\ estilo de visualización \ pi (G) \ subconjunto U (V)}$ ${\ estilo de visualización U (V)}$ $V$
Las representaciones y se denominan equivalentes si la transición de una a otra puede efectuarse mediante un cambio uniforme de base , es decir, si se produce una transformación tal que para cualquier ${\ estilo de visualización \ pi: G \ mapas a GL (V)}$ ${\ estilo de visualización \ rho: G \ mapas a GL (V)}$ ${\ estilo de visualización T \ en GL (V)}$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

Una vista se llama subvista de una vista si es un subespacio de y para cualquier y ${\ estilo de visualización \ rho: G \ mapas a GL (W)}$ $\Pi$ $W$ $V$ $g\in G$ ${\ estilo de visualización w \ en W}$

{\ estilo de visualización \ rho (g) w = \ pi (g) w.}

En otras palabras, es un subespacio invariante y es la restricción a .

W

\cerdo)

{\ estilo de visualización \ rho (g)}

\cerdo)

W

Se dice que una representación es irreducible si no tiene subrepresentaciones además de sí misma y una subrepresentación que se asigna a un subespacio de dimensión cero .

El conjunto dual es el conjunto completo de representaciones unitarias irreducibles no equivalentes. ${\ estilo de visualización {\ sombrero {G}}}$ $GRAMO$

Definición

La transformada de Fourier de una función se define como una función matricial tal que ${\ estilo de visualización f \ en L^{2} (G)}$ ${\sombrero {f}}\en L^{2}({\sombrero {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

En tal notación, la transformación inversa se escribe como

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\sombrero {f}}(\pi )],}

donde es la dimensión del espacio lineal cuyas transformaciones están especificadas por .

{\ estilo de visualización d_ {\ pi))

\cerdo)

Motivación

En el caso continuo, la transformada de Fourier de una función integrable al cuadrado corresponde a una expansión en base ortonormal del espacio de Hilbert Lebesgue ${\ estilo de visualización {\ sombrero {f))}$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb{R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

La transformada de Fourier de una función periódica corresponde a su desarrollo en una base espacial ortonormal $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

La transformada discreta de Fourier de la función corresponde a la expansión en la base espacial ortonormal $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots , n-1\derecho\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac{2\pi ikj}{n))}

En general, la transformada de Fourier en grupos corresponde a la expansión de una función en alguna base ortonormal . ${\ estilo de visualización f \ en L^{2} (G)}$ ${\ estilo de visualización L ^ {2} (G)}$

Literatura

Terras A. Análisis de Fourier sobre grupos finitos y aplicaciones (inglés) - Cambridge University Press , 1999. - 456 p. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (inglés) // Modelado basado en datos para ingeniería sostenible - 2019. - P. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
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grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
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