Una serie de números primos recíprocos.

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Diversos números primos recíprocos divergen . Eso es:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Este hecho fue probado por Leonhard Euler en 1737 [1] , que reforzó el resultado de Euclides (siglo III aC) de que hay infinitos números primos .

Hay una serie de pruebas del resultado de Euler, incluida una estimación del límite inferior de las sumas parciales, que establece que

\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime)) \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p))\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac{\pi^{2}}{6}}

para todos los números naturales n . El doble logaritmo natural (ln ln) indica que la divergencia de la serie es muy lenta. Consulte el artículo "Constante de Meissel-Mertens" .

Serie armónica

Euler demostró la divergencia de esta serie. Para ello, consideró la serie armónica :

$\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac{1}{4}}+\cdots =\infty$

Y también la siguiente "identidad" , con la que también demostró que el conjunto de primos es infinito:

$\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Aquí el producto se toma sobre todos los números primos. Estos productos infinitos se denominan hoy productos de Euler . El producto anterior es un reflejo del teorema fundamental de la aritmética . Euler notó que si el número de primos fuera finito, entonces el producto de la derecha tendría que converger, lo que contradice la divergencia de la serie armónica.

Evidencia

Prueba de Euler

Continuando con el razonamiento descrito anteriormente, Euler tomó el logaritmo natural de cada lado. Luego utilizó la expansión de la serie de Taylor , así como la convergencia de la serie de potencias inversas: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\puntos}$

{\begin{alineado}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\sum _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{alineado}}

con constante fija K < 1 . Luego usó la propiedad

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n))=\ln\infty,

cuya derivación explicó, por ejemplo, en un artículo posterior de 1748 [2] , asignando x = 1 en la expansión de Taylor

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n} }.

Esto le permitió concluir que

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Presumiblemente, Euler quiso decir que la suma de los recíprocos de los números primos menores que n crece asintóticamente cuando ln ln n cuando n tiende a infinito. Resultó que este es realmente el caso, y Franz Mertens probó rigurosamente una versión más precisa de este hecho en 1874 [3] . Euler, por otro lado, obtuvo el resultado correcto usando métodos no rigurosos.

Demostración de Erdős por cotas superior e inferior

La siguiente prueba por contradicción se debe a Pal Erdős .

Sea p i el i - ésimo número primo. Imagina que la suma de los recíprocos de los números primos converge . Aquellos.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i))}<\infty

Entonces hay un entero positivo más pequeño k tal que

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Para un entero positivo x , sea M x el conjunto de n del conjunto {1, 2, …, x } que no son divisibles por ningún primo mayor que p k (o, equivalentemente, todos los que son producto de potencias de primos ). Ahora podemos generar un límite superior e inferior para el número de elementos en . Para x grande , estos límites conducen a una contradicción. $n\leqslant x$ ${\displaystyle p_{i}\leqslant p_{k))$ ${\ estilo de visualización | M_ {x} |}$ $M_{x}$

Puntuación máxima:

Cualquier n en M x se puede escribir como m y r con números enteros positivos , donde r es un número sin cuadrados . Dado que solo puede haber k primos (con exponente 1) en la descomposición en factores primos de r , hay como máximo 2k posibilidades diferentes para r . Además, hay como máximo valores posibles para m . Esto da el límite superior

n=m^{2}r

{\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k))

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Puntuación inferior:

Los números restantes en la diferencia de los conjuntos {1, 2, …, x } \ M x son todos divisibles por números primos mayores que . Denotemos el conjunto de tales n de {1, 2, …, x } que son divisibles por el i -ésimo primo . Después

x-|M_{x}|

paquete}

{\ Displaystyle N_ {i, x}}

Pi}

{\displaystyle \{1,2,\ldots,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty}N_{i,x))

Como el número de enteros no excede (de hecho, es igual a cero para ), obtenemos

{\ Displaystyle N_ {i, x}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {x} {p_ {i}}}}

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum_{i=k+1}^{\infty}|N_{i,x}|<\sum_{i=k+1}^{\ infinito }{\frac {x}{p_{i))))

Usando (1), de aquí obtenemos

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Obtenemos una contradicción: si , las estimaciones (2) y (3) no se pueden realizar simultáneamente, porque . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Prueba de que una serie crece a una tasa de log-log

Hay otra prueba que da una estimación más baja para sumas parciales. En particular, esto muestra que estas sumas crecen al menos tanto como ln ln n . La demostración es una variante de la idea de expansión del producto de Euler . A continuación, las sumas o productos sobre p siempre son sumas o productos sobre ciertos conjuntos de números primos.

La demostración se basa en las siguientes cuatro desigualdades:

Cualquier entero positivo i puede representarse de forma única como un producto de números sin cuadrados y un cuadrado. Esto da la desigualdad

{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod_{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, donde, para cualquier i entre 1 y n , el producto (descompuesto) corresponde a la parte libre de cuadrados de i , y la suma corresponde a la parte cuadrada de i (ver el artículo " Teorema fundamental de la aritmética ").

Límite superior para el logaritmo natural

{\begin{alineado}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i= 1}^{n}\soporte {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}}_{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{alineado}}

El límite inferior 1 + x < exp( x ) para la función exponencial se cumple para todo x > 0 .
deja _ Límite superior (usando la serie telescópica ) para sumas parciales $n \geqslant 2$

{\begin{alineado}\sum_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum_{k=2}^{n }\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ derecha)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{alineado}}

Combinando todas estas desigualdades, obtenemos

{\begin{alineado}\ln(n+1)&<\sum_{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod_{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{alineado}}

Después de dividir y sacar el logaritmo natural de ambas partes, obtenemos ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

QED ∎

Usando

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(ver "Problema de Basilea" ), la constante anterior se puede mejorar a . De hecho, resulta que $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\ldots$

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

donde es la constante de Meissel-Mertens (algo similar a la más conocida constante de Euler-Mascheroni ). $M=0{,}261497\ldots$

Prueba de la desigualdad de Dusar

De la desigualdad de Dusar tenemos

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

por

{\ Displaystyle n \ geqslant 6}

Después

{\begin{alineado}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{alineado}}

según la prueba de convergencia integral de Cauchy-Maclaurin . Esto muestra que la serie de la izquierda diverge.

Sumas parciales

Si bien las sumas parciales de los recíprocos de los números primos eventualmente alcanzan cualquier valor entero, nunca pueden ser iguales a un número entero.

Una de las pruebas [4] de esto se hace por inducción - la primera suma parcial es igual y tiene la forma (es decir, impar/par). Si la enésima suma parcial (para ) tiene la forma , entonces la enésima suma es igual a ${\tfrac{1}{2))$ ${\tfrac {impar}{par}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {impar}{par}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{impar}}{\text{par}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{impar}}\ cdot p_{n+1}+{\text{par}}}{{\text{par}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{impar}}+{\text {par}}}{\text{par}}}={\frac {\text{impar}}{\text{par}}}

porque el enésimo número primo es impar. Dado que la suma es nuevamente de la forma , la suma parcial no puede ser un número entero (2 divide el denominador pero no divide el numerador), lo que prueba la afirmación. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {impar}{par}}$

Otra prueba reescribe la expresión de la suma de los primeros n recíprocos de los números primos (o la suma de los recíprocos de cualquier conjunto de números primos) en términos de un denominador común , que es el producto de todos esos números primos. Entonces, cada uno de estos números primos divide todos menos uno de los términos del numerador y, por lo tanto, no divide al numerador como un todo. Pero todo número primo divide a un denominador. Por lo tanto, la fracción es irreducible y no es un número entero.

Véase también

Teorema de Euclides , que establece que hay infinitos números primos.
Teorema de Brun sobre la convergencia de la suma de recíprocos de primos gemelos a la constante de Brun .

Notas

↑ Euler, 1737 , pág. 160–188.
↑ Euler, 1748 , pág. 228, ej. una.
↑ Mertens, 1874 , pág. 46–62.
↑ Señor, 2015 , pág. 128–130.

Literatura

Guillermo Dunham. Euler El maestro de todos nosotros. - MAA , 1999. - P. 61–79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonard Euler . Diversas observaciones sobre series infinitas = Variae observes circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonard Euler . Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primo. — Lausana: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Matemáticas.. - 1874. - T. 78 .
Nick Señor. Pruebas rápidas de que ciertas sumas de fracciones no son números enteros // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . -doi : 10.1017/ mag.2014.16 .

Enlaces

Caldwell, Chris K. Hay infinitos números primos, pero, ¿qué tan grande es un infinito? . (indefinido)

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
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