Producto mixto

El producto mixto de vectores es el producto escalar de un vector y el producto vectorial de vectores y : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ matemáticas {b}}$ ${\ matemáticas {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\times {\mathbf c} \Correcto)

A veces se le llama producto punto triple de vectores, aparentemente debido al hecho de que el resultado es un escalar (más precisamente, un pseudoescalar ).

Significado geométrico: el módulo del producto mixto es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores . ${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$

Propiedades

El producto mixto es asimétrico con respecto a todos sus argumentos:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a} )=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});

es decir, una permutación de dos factores cambia el signo del producto. De ahí se sigue que

\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle

El producto mixto en el sistema de coordenadas cartesianas derechas (en base ortonormal) es igual al determinante de la matriz compuesta por los vectores y : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\ matemáticas {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatriz}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x} &b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatriz}}.

El producto mixto en el sistema de coordenadas cartesianas izquierdas (en base ortonormal) es igual al determinante de la matriz compuesta por vectores y tomada con signo menos: $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\ matemáticas {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x }&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatriz}}.

En particular,

Si dos vectores cualesquiera son colineales, entonces con cualquier tercer vector forman un producto mixto igual a cero.
Si tres vectores son linealmente dependientes (es decir, coplanares, se encuentran en el mismo plano), entonces su producto mixto es cero.
Significado geométrico - El producto mixto en valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo (ver figura) formado por los vectores y ; el signo depende de si esta terna de vectores es derecha o izquierda. $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\ matemáticas {c}}$
El cuadrado del producto mixto de vectores es igual al determinante de Gram definido por ellos [1] :215 .

El producto mixto se escribe convenientemente usando el símbolo de Levi-Civita (tensor) :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum_{{i,j,k}}\varepsilon_{{ijk}}a^{i}b^{j} c^{k}

(en la última fórmula en base ortonormal, todos los índices se pueden escribir como menores; en este caso, esta fórmula repite la fórmula con un determinante bastante directamente, sin embargo, esto automáticamente resulta en un factor (-1) para las bases izquierdas) .

Generalización

El espacio indimensional, una generalización natural del producto mixto, que tiene el significado de un volumen orientado, es el determinante de una matriz compuesta por filas o columnas llenas de coordenadas vectoriales. El significado de esta cantidad es un volumen dimensional orientado (se implican una base estándar y una métrica trivial). $norte$ $n\veces n$ $norte$

En una base arbitraria de dimensión arbitraria, el producto mixto se escribe convenientemente usando el símbolo de Levi-Civita (tensor) de la dimensión correspondiente:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots)=\sum_{{i,j,k,\ldots}}\varepsilon_{{ijk\ldots}}a^ {i}b^{j}c^{k}\ldots

En el espacio bidimensional, este es el producto pseudoescalar .

Véase también

Notas

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p.

Enlaces

Producto mixto de vectores y sus propiedades. Ejemplos de resolución de problemas

Vectores y matrices

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Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

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