Fórmulas de Mollweide

Las fórmulas de Mollweide son dependencias trigonométricas que expresan la relación entre las longitudes de los lados y los valores de los ángulos en los vértices de un determinado triángulo, descubiertas por K. B. Mollweide .

Descripción

Las fórmulas de Mollweide tienen la siguiente forma:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\nombre del operador {cos}\;{\frac {AB}{2}}}{\nombre del operador {sin}\;{\frac {C}{ 2}}}};

{\frac {ab}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {AB}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C} {2}}}},

donde A , B , C son los valores de los ángulos en los vértices correspondientes del triángulo y a , b , c son las longitudes de los lados, respectivamente, entre los vértices B y C , C y A , A y B . Las fórmulas llevan el nombre del matemático alemán Karl Mohlweide . Es conveniente utilizar las fórmulas de Mollweide cuando se resuelve un triángulo por dos lados y el ángulo entre ellos [1] :146 y por dos ángulos y el lado adyacente a ellos. Relaciones similares en trigonometría esférica se denominan fórmulas de Delambre [1] :83 .

Prueba

Considere la derivación de solo la primera relación, ya que la prueba de la segunda es similar.

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\nombre del operador {cos}\;{\frac {AB}{2}}}{\nombre del operador {sin}\;{\frac {C}{ 2}}}};

Del teorema del seno:

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}

tenemos:

{\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}

de donde sigue:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}

Dada la fórmula del doble ángulo para el seno :

\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}

así como fórmulas para la suma de senos :

\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {AB}{2}}

tenemos:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2 }}\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}

Según el teorema de la suma de los ángulos del triángulo :

{\ estilo de visualización C = \ pi - (A + B)}

de donde, teniendo en cuenta la fórmula de reducción del coseno , se sigue que:

\cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}

como consecuencia tenemos:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}

QED

Aplicación

Dividiendo por separado las partes derecha e izquierda de las últimas fórmulas, obtenemos inmediatamente el teorema de la tangente

Véase también

Notas

↑ 1 2 Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - M. - L.: OGIZ , 1948. - 154 p.

Literatura

O. V. Manturov , Yu. K. Solntsev , Yu. I. Sorkin y N. G. Fedin . Diccionario explicativo de términos matemáticos, M.: Educación, 1965.

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex