Significado armonico

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La media armónica es una de las formas en que uno puede entender el valor "promedio" de un determinado conjunto de números. Se puede definir de la siguiente manera: sean números positivos , entonces su media armónica será un número tal que $x_{1},\ldots,x_{n}$ $H$

{\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}

Se puede obtener una fórmula explícita para la media armónica:

H(x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 }}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1} ^{n}{\frac{1}{x_{i}}}}}

es decir, la media armónica es el recíproco de la media aritmética de números recíprocos a . $x_{1},\ldots,x_{n}$

Propiedades

La media armónica es de hecho "promedio", en el sentido de que . $\min(x_{1},\ldots,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots,x_ {norte})$
En general, la media armónica es la media de la potencia -1.
La media armónica es dual a la media aritmética en el siguiente sentido:

H(x_{1},\ldots,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots,x_{n}^{-1})

A(x_{1},\ldots,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots,x_{n}^{-1})

(cuando se define esto último).

La desigualdad media establece que la media armónica de los números no excede la media geométrica , la media aritmética y la media cuadrática media , y todas las medias son iguales solo si todos los números son iguales, es decir: $x_{1}=\ldots =x_{n},$

H\leqslant G\leqslant A\leqslant S,

donde esta la media armonica;

H

GRAMO

- significado geometrico;

A

- promedio;

S

- media cuadrática.

Media ponderada armónica

Sea un conjunto de números no negativos y un conjunto de números , donde se llama el peso de la cantidad . Entonces su media armónica ponderada es el número $x_{1},\ldots,x_{n}$ $w_{1},\ldots,w_{n}$ $Wisconsin}$ $x_{yo}$

H=\sum_{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum_{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{ i}}}={\dfrac {w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}{w_{1}/x_{1}+w_{2}/x_{2}+\ldots +w_{n}/x_{n}}}.

De la fórmula se deduce que en (cuando todas las cantidades son "iguales") se obtiene la media armónica habitual. $w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0$

Aplicaciones y ejemplos

En estadística , la media armónica se utiliza cuando las observaciones para las que se requiere la media aritmética se establecen en el recíproco de los valores.

En la fórmula de la lente delgada , el doble de la distancia focal es igual a la media armónica de la distancia de la lente al objeto y la distancia de la lente a la imagen. De manera similar, la media armónica también se incluye en una fórmula similar para un espejo esférico .

La velocidad media en el camino, dividida en tramos iguales, cuya velocidad es constante, es igual a la media armónica de las velocidades en estos tramos del camino. De manera más general, si el camino se divide en tramos, la velocidad en cada uno de los cuales es constante, entonces la velocidad promedio será igual a la media armónica ponderada de las velocidades (cada velocidad tiene un peso igual a la longitud del segmento correspondiente). lo).

La densidad media de la aleación es igual a la media armónica ponderada de las densidades de las sustancias aleadas (los pesos son las masas de las partes de las sustancias correspondientes).

La resistencia , que se obtiene conectando varias resistencias en paralelo , es igual a la media armónica de sus resistencias, dividida por su número. Una declaración similar es cierta para las capacitancias de los capacitores conectados en serie .

Notas

↑ Rowe S. Ejercicios geométricos con una hoja de papel . - 2ª ed. - Odessa: Matesis, 1923. - Pág. 65. Copia de archivo fechada el 24 de mayo de 2012 en la Wayback Machine .

Véase también

Enlaces

Weisstein, Eric W. Media armónica / MathWorld: un recurso web de Wolfram

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución