Mosaico Cuadrado Dividido

Un mosaico cuadrado dividido (o mosaico tetrakis-cuadrado  ) es un mosaico en el plano euclidiano , que se construye a partir de un mosaico cuadrado dividiendo cada cuadrado en cuatro triángulos rectángulos isósceles con vértices en los centros de los cuadrados, lo que da como resultado una configuración infinita de líneas .El mosaico también se puede construir dividiendo cada cuadrado de la celosía en dos triángulos con una diagonal, mientras que las diagonales de los cuadrados vecinos tienen diferentes direcciones.El mosaico también se puede obtener superponiendo dos mosaicos cuadrados, uno de los cuales está girado 45 grados y su escala se incrementa en √2 .

Conway llamó a la teselación kisquadrille , es decir, el quadra-parquet obtenido por la operación "kis" [1] . La operación "kis" agrega un punto al centro de una cara y los bordes desde este punto hasta los vértices de la cara, dividiendo así las caras del mosaico cuadrado en triángulos. El mosaico también se llama el entramado Union Jack porque se asemeja a la bandera nacional británica con triángulos que rodean los vértices de orden 8 [2] .

El mosaico se designa como V4.8.8 porque cada cara triangular isósceles tiene dos tipos de vértices: un vértice con 4 triángulos circundantes y dos vértices con 8 triángulos.

Mosaico dual

El mosaico es dual al mosaico cuadrado truncado , que tiene un cuadrado y dos octógonos en cada vértice [3] .

Aplicaciones

Un fragmento de 5 × 9 de un mosaico cuadrado dividido se utiliza como tablero de juego para el juego de mesa malgache Fanorona . En este juego, las piedras se colocan encima del mosaico y se realizan movimientos a lo largo de los bordes, capturando las piedras del oponente mientras haya tales piedras. En este juego, los vértices de grado 4 y los vértices de grado 8 se denominan intersección débil e intersección fuerte, respectivamente. La diferencia en los tipos de vértices juega un papel importante en la estrategia del juego [4] . Un tablero similar se usa en el juego brasileño Adugo y para el juego Hare and Dogs .

Se utilizó un mosaico cuadrado dividido en un conjunto de sellos postales conmemorativos emitidos por el Servicio Postal de EE. UU. en 1997 con diferentes diseños en dos sellos diferentes [5] .

Este mosaico también forma la base para los patrones de molinete, molino y placa rota ampliamente utilizados en el acolchado [6] [7] [8] .

Simetría

Tipos de simetría de mosaico (según los tipos de simetría del grupo de papel tapiz :

• simetría cmm; al colorear en cuatro colores, la celda elemental consta de 8 triángulos, el área fundamental consta de 2 triángulos (1/2 para cada color)
• simetría p4g; triángulos oscuros y claros, la celda unitaria tiene 8 triángulos, el área fundamental consiste en 1 triángulo (1/2 para cada uno blanco y negro)
• simetría p4m; todos los triangulos tienen el mismo color (blanco) y bordes negros, la celda unitaria consta de 2 triangulos, area fundamental (1/2)

Los bordes del mosaico cuadrado dividido forman una configuración simple de líneas , una propiedad compartida con el mosaico triangular y el mosaico rómbico dividido .

Estas líneas forman los ejes de simetría del grupo de reflexión ( wallpaper group [4,4], (*442) o p4m), que tiene como dominio fundamental los triángulos de mosaico . Este grupo es isomorfo , pero no igual, al grupo de automorfismos del mosaico, que tiene ejes de simetría adicionales de ruptura de triángulos y que tiene semitriángulos como su dominio fundamental.

Hay muchos grupos de subgrupos de pequeños índices p4m, (con simetría [4,4], *442 en notación orbifold ), que se pueden ver en los diagramas de Coxeter-Dynkin con nodos coloreados según reflexiones directas y pivote puntos marcados con números. La simetría rotacional se muestra como regiones blancas y azules alternas, con una región fundamental para cada subgrupo que se muestra en amarillo. Las simetrías deslizantes están dadas por líneas de puntos.

Los subgrupos se pueden expresar mediante diagramas de Coxeter-Dynkin con sus diagramas de dominio fundamental.

Subgrupos de índices pequeños p4m, [4,4], (*442)
Índice	una	2			cuatro
Diagrama de área fundamental
Notación de Coxeter Diagrama de Coxeter	[ 1 ,4, 1 ,4, 1 ] = [4,4]	[1 + ,4,4] =	[ 4,4,1+ ] =	[4,1 + ,4] =	[1 + ,4,4,1 + ] =	[4 + ,4 + ] = [(4,4 + ,2 + )]
Orbifold	*442			*2222		22×
Subgrupos semidirectos
Índice		2			cuatro
Diagrama
coxeter		[ 4,4+ ]	[4 + ,4]	[(4,4,2 + )]	[1 + ,4,1 + ,4]=[(2 + ,4,4)] ==	[4,1 + ,4,1 + ]=[(4,4,2 + )] ==
Orbifold		4*2		2*22
Subgrupos directos
Índice	2	cuatro			ocho
Diagrama
coxeter	[4,4] +	[1 + ,4,4 + ] = [4,4 + ] + =	[4 + ,4,1 + ] = [4 + ,4] + =	[(4,1 + ,4,2 + )] = [(4,4,2 + )] + =	[1 + ,4,1 + ,4,1 + ] = [(4 + ,4 + ,2 + )] = [4 + ,4 + ] + =
Orbifold	442			2222

Poliedros y mosaicos relacionados

El mosaico está topológicamente relacionado con una serie de poliedros y mosaicos con configuración de vértice V n .6.6.

Véase también

• Mosaicos de polígonos regulares convexos en el plano euclidiano
• Lista de mosaicos uniformes
• Umbral de fuga

Notas

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 .
2. ↑ Stephenson, 1970 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Teselación dual  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
4. ↑ Campana, 1983 , pág. 150–151.
5. ↑ Frederickson, 2006 , pág. 144.
6. ↑ The Quilting Bible, 1997 , p. 55.
7. ↑ Zieman, 2011 , pág. 66.
8. ↑ Fassett Kaffe, 2007 , pág. 96.

Literatura

• Branko Grünbaum , GC Shepard. Mosaicos y Patrones . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65 (Capítulo 2.1: Teselaciones regulares y uniformes). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Williams, R. La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia del diseño . - Nueva York: Dover Publications , 1979. - Pág  . 40 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Keith Critchlow. Orden en el espacio: un libro fuente de diseño. - Nueva York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, patrón 8. - ISBN 0-500-34033-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Capítulo 21, Nombrar poliedros y mosaicos arquimedianos y catalanes, p288 tabla // Las simetrías de las cosas . - Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivadoel 19 de septiembre de 2010 enWayback Machine
• Juan Stephenson. Modelo de Ising con acoplamiento antiferromagnético del vecino más cercano: correlaciones de espín y puntos de desorden // Phys. Rvdo. B. - 1970. - T. 1 , nº. 11 _ - S. 4405-4409 . -doi : 10.1103 / PhysRevB.1.4405 .
• Bell RC Fanorona // El libro del juego de mesa. - Libros de Exeter, 1983. - S. 150-151. — ISBN 0-671-06030-9 .
• Greg N. Frederickson. Disecciones con bisagras de piano. - AK Peters, 2006. - ISBN 156881299X .
• La biblia del acolchado . - Creative Publishing International, 1997. - ISBN 9780865732001 .
• Nancy Zieman. Edredón con confianza . - Publicaciones de Krause, 2011. - ISBN 9781440223556 .
• Fasset Café. Caleidoscopio de edredones de Kaffe Fassett: Veinte diseños de Rowan para patchwork y acolchado . - Taunton Press, 2007. - ISBN 9781561589388 .