Espacio métrico

Un espacio métrico es un conjunto en el que se define una distancia entre cualquier par de elementos .

Definiciones

El espacio métrico es un par , donde es un conjunto, y es una función numérica que se define sobre el producto cartesiano , toma valores en el conjunto de los números reales no negativos, y es tal que $(X,\;d)$ $X$ $d$ $X\veces X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( axioma de identidad ).
${\ estilo de visualización d (x, y) = d (y, x)}$ ( axioma de simetría ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( axioma del triángulo o desigualdad del triángulo ).

Donde

el conjunto se denomina conjunto subyacente del espacio métrico. $X$
los elementos del conjunto se llaman puntos del espacio métrico. $X$
la función se llama métrica . $d$

Notas

De los axiomas se sigue que la función distancia no es negativa, ya que $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Si representamos la desigualdad triangular como $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ para todos , y , $X$ $y$ $z$

entonces el axioma de simetría se sigue del axioma de identidad y de la desigualdad triangular.

Estas condiciones expresan nociones intuitivas sobre el concepto de distancia y por lo tanto se denominan axiomas de distancia . [1] Por ejemplo, que la distancia entre diferentes puntos sea positiva y la distancia de a sea la misma que la distancia de a . La desigualdad del triángulo significa que la distancia de a por no es menor que la recta de a . $X$ $y$ $y$ $X$ $X$ $z$ $y$ $X$ $z$

Notación

Por lo general, la distancia entre puntos y en el espacio métrico se denota por o . $X$ $y$ $METRO$ ${\ estilo de visualización d (x, y)}$ $\rho (x, y)$

En geometría métrica se acepta la designación o , si es necesario recalcar de que estamos hablando . También se utilizan los símbolos y (a pesar de que la expresión para puntos y no tiene sentido). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $METRO$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $xy$ $X$ $y$
En geometría clásica, se aceptan las designaciones o (los puntos generalmente se denotan con letras latinas mayúsculas). $XY$ $|XY|$

Definiciones relacionadas

Una biyección entre diferentes espacios métricos y que conserva distancias se llama isometría ; ${\ estilo de visualización (X, d_ {X})}$ ${\ estilo de visualización (Y, d_ {Y})}$
- En este caso los espacios y se denominan
isométricos . ${\ estilo de visualización (X, d_ {X})}$ ${\ estilo de visualización (Y, d_ {Y})}$

Si , y para , entonces decimos que converge a : [2] .

{\ estilo de visualización x_ {n} \ en X}

x\en X

{\ estilo de visualización d (x_ {n}, x) \ a 0}

n\to\infty

{\ estilo de visualización x_ {n}}

X

{\ estilo de visualización x_ {n} \ a x}

Si es un subconjunto del conjunto , entonces, considerando la restricción de la métrica al conjunto , podemos obtener un espacio métrico , que se denomina subespacio del espacio .

METRO

X

{\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M))

d_{X}

METRO

{\ estilo de visualización (M, d_ {M})}

{\ estilo de visualización (X, d)}

Un espacio métrico se dice completo si alguna secuencia fundamental en él converge a algún elemento de este espacio.

Una métrica on se llama interna si dos puntos cualesquiera e in pueden conectarse mediante una curva con una longitud arbitrariamente cercana a . $d$ $METRO$ $X$ $y$ $METRO$ ${\ estilo de visualización d (x, y)}$
- Un espacio se llama geodésico si dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una curva de longitud igual a . $X$ $y$ $METRO$ ${\ estilo de visualización d (x, y)}$
Todo espacio métrico tiene una topología natural , que se basa en un conjunto de bolas abiertas , es decir, conjuntos del siguiente tipo:

B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},

donde es un punto en y es un número real positivo llamado radio de la pelota. En otras palabras, un conjunto es abierto si, junto con cualquiera de sus puntos, contiene una bola abierta centrada en ese punto.

X

METRO

r

O

Se dice que dos métricas que definen la misma topología son equivalentes .
Se dice que un espacio topológico que se puede obtener de esta manera es metrizable .
La distancia de un punto a un subconjunto en está determinada por la fórmula: ${\ estilo de visualización d (x, S)}$ $X$ $S$ $METRO$

{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\))

. Entonces , sólo si pertenece al cierre .

{\ estilo de visualización d (x, S) = 0}

X

S

Ejemplos

Métrica discreta :, si, yen todos los demás casos. ${\ estilo de visualización d (x, y) = 0}$ $x=y$ ${\ estilo de visualización d (x, y) = 1}$
Los números reales con función de distancia y el espacio euclidiano son espacios métricos completos. $d(x,\;y)=|yx|$
Distancia de las manzanas de la ciudad : , donde , son vectores. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\puntos,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\puntos,q_{n})$
Sea el espacio de aplicaciones continuas y acotadas de un espacio topológico a un espacio métrico . La distancia entre dos mapeos y desde este espacio se define como ${\ estilo de visualización F (X, Y)}$ $X$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X \}$ .

La convergencia de mapeos con respecto a esta métrica es equivalente a su convergencia uniforme en todo el espacio .

X

En el caso particular cuando es un espacio compacto y es una recta real, se obtiene el espacio de todas las funciones continuas sobre un espacio con la métrica de convergencia uniforme.

X

Y

C(X)

X

Sean , , los espacios de funciones en el intervalo , respectivamente integrable de Lebesgue, integrable de Riemann y continua. En ellos, la distancia se puede determinar mediante la fórmula: ${\ estilo de visualización L ([a, b])}$ ${\ estilo de visualización R ([a, b])}$ ${\ estilo de visualización C ([a, b])}$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

Para que esta función se convierta en una métrica, en los dos primeros espacios es necesario identificar funciones que difieren en un conjunto de medida 0 . De lo contrario, esta función será solo una semimétrica. (En el espacio de funciones que son continuas en un intervalo, las funciones que difieren en un conjunto de medida 0 coinciden de todos modos).

En el espacio de tiempos de funciones continuamente diferenciables, la métrica se introduce mediante la fórmula: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

donde es la métrica de convergencia uniforme en (ver arriba).

d_{0}

{\ estilo de visualización C ([a, b])}

Cualquier espacio normado se puede convertir en uno métrico definiendo la función de distancia $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Los espacios de dimensión finita de este tipo se denominan espacios de Minkowski ;
- En el caso de una dimensión igual a dos - el plano de Minkowski .

Si es una secuencia de seminormas que definen un espacio vectorial topológico ( localmente convexo ) , entonces ${\ estilo de visualización (p_ {n}) _ {n \ en N))$ $mi$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

es una métrica que define la misma topología . (Se puede reemplazar por cualquier secuencia sumable de números estrictamente positivos ).

{\ estilo de visualización {\ frac {1} {2 ^ {n}}}}

(un})

Cualquier variedad de Riemann conexa se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia como el mínimo mínimo de las longitudes de los caminos que conectan un par de puntos. $METRO$

El conjunto de vértices de cualquier gráfico conectado se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia como el número mínimo de aristas en un camino que conecta los vértices. Más generalmente, si a cada borde de un gráfico se le asigna un número positivo (longitud del borde), la distancia entre los vértices se puede definir como la suma mínima de las longitudes de los bordes a lo largo de cualquier camino de un vértice a otro. $GRAMO$
- Un caso especial del ejemplo anterior es la llamada métrica ferroviaria francesa , que suele citarse como ejemplo de métrica no generada por la norma .
La distancia de edición de gráfico define la función de distancia entre gráficos .

Distancia de Hamming en la teoría de la codificación.
Las métricas en línea , como la distancia de Levenshtein y otras distancias de edición de texto , determinan la distancia por encima de las líneas .

El conjunto de subconjuntos compactos de cualquier espacio métrico se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia utilizando la llamada métrica de Hausdorff . En esta métrica, dos subconjuntos están cerca uno del otro si para cualquier punto de un conjunto es posible encontrar un punto cercano en el otro subconjunto. Aquí está la definición exacta: $K(M)$ $METRO$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matriz}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x, y)<r\\\para todo y\en Y\;\existe x\en X\colon d(x,y)<r\end{matriz}}\right.\right\}

El conjunto de todos los espacios métricos compactos (hasta la isometría ) se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia utilizando la llamada métrica de Gromov-Hausdorff .
La métrica de Waserstein define la distancia entre dos distribuciones de probabilidad .

Construcciones

El producto cartesiano de espacios métricos se puede dotar de la estructura de un espacio métrico de muchas maneras, por ejemplo:
1. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Estas métricas son equivalentes entre sí.

Propiedades

Un espacio métrico es compacto si y solo si es posible elegir una subsecuencia convergente de cualquier secuencia de puntos (compacidad secuencial).
Un espacio métrico puede no tener una base contable , pero siempre satisface el primer axioma de la contabilidad : tiene una base contable en cada punto.
- Además, todo conjunto compacto en un espacio métrico tiene una base vecinal contable.
- Además, en cada espacio métrico existe una base tal que cada punto del espacio pertenece solo a un conjunto numerable de sus elementos: una base numerable por puntos (pero esta propiedad es más débil que la metrizabilidad incluso en presencia de paracompactness y Hausdorffness ).
los espacios métricos con asignaciones cortas forman una categoría , generalmente denominada Met .

Variaciones y generalizaciones

Para un conjunto dado , una función se llama pseudométrica o semimétrica si para cualquiera de sus puntos satisface las siguientes condiciones: $METRO$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $METRO$ $x,\;y,\;z$ $METRO$
1. ${\ estilo de visualización d (x, x) = 0}$ ;
2. ${\ estilo de visualización d (x, y) = d (y, x)}$ ( simetría );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( desigualdad triangular ).

Es decir, a diferencia de la métrica, diferentes puntos pueden estar a distancia cero. La pseudométrica define naturalmente una métrica en el espacio del cociente , donde .

METRO

{\displaystyle M/{\sim ))

x\sim y\iff d(x,y)=0

Para un conjunto dado , una función se llama cuasi -métrica si para cualquier punto , , de ella satisface las siguientes condiciones: $METRO$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $X$ $y$ $z$ $METRO$
1. ${\ estilo de visualización d (x, x) = 0}$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( cuasi-simetría );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (desigualdad triangular generalizada).
Una métrica en un espacio se llama ultramétrica si satisface la desigualdad del triángulo fuerte : Para todos , y en . $X$ $y$ $z$ $METRO$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

A veces conviene considerar -metrics , es decir, métricas con valores . Para cualquier métrica, se puede construir una métrica finita que defina la misma topología. Por ejemplo, $\infty$ ${\ estilo de visualización [0; \ infinito]}$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)))$ o $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

Además, para cualquier punto en tal espacio, el conjunto de puntos ubicados a una distancia finita de él forma un espacio métrico ordinario, llamado componente métrico . En particular, cualquier espacio con -metric se puede considerar como un conjunto de espacios métricos ordinarios y la distancia entre cualquier par de puntos en diferentes espacios se puede definir como .

X

X

\infty

\infty

A veces , una cuasimétrica se define como una función que satisface todos los axiomas de una métrica, con la posible excepción de la simetría [3] [4] . El nombre de esta generalización no está del todo resuelto [5] . Smith [4] los llama "semimétricos" en su libro. El mismo término también se usa a menudo para otras dos generalizaciones de métricas.
1. ${\ estilo de visualización d (x, y) \ geqslant 0}$ ( positividad )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( definición positiva )
3. re ( x , y )= re ( y , x )( simetría tachada)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( desigualdad triangular )

En la vida real se encuentran ejemplos de cuasi-métricas. Por ejemplo, dado un conjunto de pueblos de montaña, el tiempo de caminata entre elementos forma una cuasi-métrica, ya que se tarda más en subir que en bajar. Otro ejemplo es la topología de bloques de ciudad que tienen calles de un solo sentido, donde la ruta de un punto a otro consta de un conjunto diferente de calles en comparación con la ruta de a .

X

X

A

B

B

A

En metametría , se cumplen todos los axiomas de la métrica, excepto que la distancia entre puntos idénticos no es necesariamente cero. En otras palabras, los axiomas para la metametría son:
1. ${\ estilo de visualización d (x, y) \ geqslant 0}$
2. se sigue de (pero no al revés) ${\ estilo de visualización d (x, y) = 0}$ $x=y$
3. ${\ estilo de visualización d (x, y) = d (y, x)}$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

La metametría aparece en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos de Gromov y sus límites. La metamétrica visual en dicho espacio satisface la igualdad de puntos en el límite, pero por lo demás es aproximadamente igual a la distancia desde el límite. La metametría fue definida por primera vez por Jussi Väisälä [6] .

{\ estilo de visualización d (x, x) = 0}

X

{\ estilo de visualización d (x, x)}

X

El debilitamiento de los tres últimos axiomas conduce al concepto de premétrica , es decir, una función que satisface las condiciones:
1. ${\ estilo de visualización d (x, y) \ geqslant 0}$
2. ${\ estilo de visualización d (x, x) = 0}$

El término no se ha asentado, en ocasiones se utiliza para generalizar otras métricas, como pseudosemimetría [7] o pseudometría [8] . En la literatura en lengua rusa (y en las traducciones del ruso), este término a veces aparece como "pramétrico" [9] [10] . Cualquier premétrica conduce a una topología de la siguiente manera. Para un real positivo , una bola centrada en un punto se define como

r

r

pags

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto del conjunto existe una bola centrada en que está contenida en el conjunto. Cualquier espacio premétrico es un espacio topológico y, de hecho, un espacio secuencial . En general, las bolas en sí mismas no necesitan ser conjuntos abiertos de acuerdo con esta topología. En cuanto a las métricas, la distancia entre dos conjuntos y se define como

pags

r

pags

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Esto define una premétrica en el booleano del espacio premétrico. Si partimos de un espacio (pseudo-semi-)métrico, obtenemos una pseudo-semi-métrica, es decir, una premétrica simétrica. Cualquier premétrica conduce al operador de precierre :

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {cl}}

{\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\))

Los prefijos pseudo- , cuasi- y semi- se pueden combinar, por ejemplo, el pseudo- cuasimétrico (a veces llamado hemimétrico ) debilita tanto el axioma de indistinguibilidad como el axioma de simetría, y es simplemente una premétrica que satisface la desigualdad del triángulo. Para espacios pseudocuasimétricos, las bolas abiertas forman la base de conjuntos abiertos. El ejemplo más simple de un espacio pseudocuasimétrico es un conjunto con una premétrica dada por una función tal que y . El espacio topológico asociado es el espacio de Sierpinski . $r$ $\{0,1\}$ $d$ ${\ estilo de visualización d (0,1) = 1}$ ${\ estilo de visualización d (1,0) = 0}$

William Lover estudió los conjuntos equipados con pseudocuasimétricas extendidas como "espacios métricos generalizados" [11] [12] . Desde un punto de vista categórico , los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes asignaciones no expansivas , funcionan mejor en categorías de espacios métricos. Uno puede tomar productos y coproductos arbitrarios y formar un objeto cociente con una categoría dada. Si omitimos la palabra "extendido", solo podemos tomar productos y coproductos finitos. Si se omite "pseudo", no se pueden obtener objetos de factor. Los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos que tienen en cuenta estas buenas propiedades categóricas.

Un espacio lineal se llama espacio métrico lineal si la distancia entre sus elementos está dada en él y las operaciones algebraicas son continuas en su métrica, es decir, [2] : ${\ estilo de visualización V (F)}$
1. $x_{n}\a x,y_{n}\a y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\a x+y$
2. $x_{n}\a x,\lambda _{n}\a \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\a \lambda x$
- Ejemplo: El espacio lineal de todas las sucesiones complejas se puede convertir en un espacio métrico lineal introduciendo la distancia entre sus elementos mediante la fórmula: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i))}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Un espacio hipermétrico es un espacio métrico en el que se cumplen desigualdades hipermétricas. Eso es, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

para cualquier punto y entero tal que . [13]

x_1,\puntos,x_n

{\displaystyle b_{1},\puntos,b_{n))

{\ estilo de visualización \ suma b_ {i} = 1}

Tenga en cuenta que para y , la desigualdad hipermétrica se convierte en la desigualdad triangular habitual ${\ estilo de visualización b_{1}=b_{2}=1}$ ${\ estilo de visualización b_ {3} = -1}$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Un ejemplo de un espacio hipermétrico: -space . $\ell _{1}$

Historia

Maurice Fréchet introdujo por primera vez el concepto de espacio métrico [14] en relación con la consideración de espacios funcionales.

Notas

↑ Kudryavtsev L. D. Análisis matemático. II vol. - M., Escuela Superior , 1970. - p. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Análisis funcional. - M., Nauka , 1972. - pág. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , pág. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , pág. 187–231.
↑ Buldyguin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , p. treinta.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , pág. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , pág. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlín, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matemático de Palermo. - 1906. - 22. - págs. 1-74.

Literatura

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curso de geometría métrica. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Espacios métricos . — Cuántico . - 1990. - Nº 1.
Vasiliev N. Espacios métricos . — Cuántico . - 1970. - Nº 10.
Skvortsov V. A. Ejemplos de espacios métricos // Biblioteca de Educación Matemática Archivado el 12 de enero de 2014 en Wayback Machine . - 2001. - Número 9.
Schreider Yu. A. ¿Qué es la distancia? // " Clases Populares de Matemáticas ". - M. : Fizmatgiz, 1963 - Número 38. - 76 p.
Lawvere, F. William (2002), Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas , reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías (n.º 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articulos/1/tr1.pdf > ; reimpreso con comentario agregado de Lawvere, F. William (1973), Metric Spaces, Generalized logic, and Closed Categories , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF02924844
Rubén Aldrovandi, JG Pereira. Una introducción a la física geométrica . ] . - Singapur: World Scientific, 1995. - 699 p. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría de control: sistemas lineales , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Cuasi uniformidades: reconciliación de dominios con espacios métricos , en Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3.ª Conferencia sobre fundamentos matemáticos de la semántica del lenguaje de programación , vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, p. 236–253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur y Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Contraejemplos en topología , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Espacios hiperbólicos de Gromov , Expositiones Mathematicae Vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Finalización local de espacios métricos generalizados, I , Teoría y aplicaciones de categorías Vol. 14 (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Archivado el 26 de abril de 2021 en Wayback Machine .
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Resultados de la ciencia y la tecnología. Problemas modernos de las matemáticas. direcciones fundamentales. Tomo 17. - VINITI , 1988. - 232 p.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Características métricas de variables y procesos aleatorios. - K. : TViMS, 1998. - 290 p.
Helemsky A. Ya. Conferencias sobre análisis funcional . - Moscú: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Ruso)

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Espacio métrico , Enciclopedia de matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Lejos y cerca: varios ejemplos de funciones de distancia en cut-the-knot .