Espacio métrico

Un espacio métrico es un conjunto en el que se define una distancia entre cualquier par de elementos .

Definiciones

El espacio métrico es un par , donde  es un conjunto, y  es una función numérica que se define sobre el producto cartesiano , toma valores en el conjunto de los números reales no negativos, y es tal que

  1. ( axioma de identidad ).
  2. ( axioma de simetría ).
  3. ( axioma del triángulo o desigualdad del triángulo ).

Donde

Notas

entonces el axioma de simetría se sigue del axioma de identidad y de la desigualdad triangular.

Notación

Por lo general, la distancia entre puntos y en el espacio métrico se denota por o .

Definiciones relacionadas

  • Si , y para , entonces decimos que converge a : [2] .
  • Si es un subconjunto del conjunto , entonces, considerando la restricción de la métrica al conjunto , podemos obtener un espacio métrico , que se denomina subespacio del espacio .
  • Un espacio métrico se dice completo si alguna secuencia fundamental en él converge a algún elemento de este espacio.
  • donde es un punto en y  es un número real positivo llamado radio de la pelota. En otras palabras, un conjunto es abierto si, junto con cualquiera de sus puntos, contiene una bola abierta centrada en ese punto. . Entonces , sólo si pertenece al cierre .

    Ejemplos

    La convergencia de mapeos con respecto a esta métrica es equivalente a su convergencia uniforme en todo el espacio . En el caso particular cuando  es un espacio compacto y  es una recta real, se obtiene el espacio de todas las funciones continuas sobre un espacio con la métrica de convergencia uniforme. Para que esta función se convierta en una métrica, en los dos primeros espacios es necesario identificar funciones que difieren en un conjunto de medida 0 . De lo contrario, esta función será solo una semimétrica. (En el espacio de funciones que son continuas en un intervalo, las funciones que difieren en un conjunto de medida 0 coinciden de todos modos). donde  es la métrica de convergencia uniforme en (ver arriba). es una métrica que define la misma topología . (Se puede reemplazar por cualquier secuencia sumable de números estrictamente positivos ). .

    Construcciones

    Estas métricas son equivalentes entre sí.

    Propiedades

    Variaciones y generalizaciones

    Es decir, a diferencia de la métrica, diferentes puntos pueden estar a distancia cero. La pseudométrica define naturalmente una métrica en el espacio del cociente , donde . Además, para cualquier punto en tal espacio, el conjunto de puntos ubicados a una distancia finita de él forma un espacio métrico ordinario, llamado componente métrico . En particular, cualquier espacio con -metric se puede considerar como un conjunto de espacios métricos ordinarios y la distancia entre cualquier par de puntos en diferentes espacios se puede definir como . En la vida real se encuentran ejemplos de cuasi-métricas. Por ejemplo, dado un conjunto de pueblos de montaña, el tiempo de caminata entre elementos forma una cuasi-métrica, ya que se tarda más en subir que en bajar. Otro ejemplo es la topología de bloques de ciudad que tienen calles de un solo sentido, donde la ruta de un punto a otro consta de un conjunto diferente de calles en comparación con la ruta de a . La metametría aparece en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos de Gromov y sus límites. La metamétrica visual en dicho espacio satisface la igualdad de puntos en el límite, pero por lo demás es aproximadamente igual a la distancia desde el límite. La metametría fue definida por primera vez por Jussi Väisälä [6] . El término no se ha asentado, en ocasiones se utiliza para generalizar otras métricas, como pseudosemimetría [7] o pseudometría [8] . En la literatura en lengua rusa (y en las traducciones del ruso), este término a veces aparece como "pramétrico" [9] [10] . Cualquier premétrica conduce a una topología de la siguiente manera. Para un real positivo , una bola centrada en un punto se define como . Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto del conjunto existe una bola centrada en que está contenida en el conjunto. Cualquier espacio premétrico es un espacio topológico y, de hecho, un espacio secuencial . En general, las bolas en sí mismas no necesitan ser conjuntos abiertos de acuerdo con esta topología. En cuanto a las métricas, la distancia entre dos conjuntos y se define como . Esto define una premétrica en el booleano del espacio premétrico. Si partimos de un espacio (pseudo-semi-)métrico, obtenemos una pseudo-semi-métrica, es decir, una premétrica simétrica. Cualquier premétrica conduce al operador de precierre : .
    • Los prefijos pseudo- , cuasi- y semi- se pueden combinar, por ejemplo, el pseudo- cuasimétrico (a veces llamado hemimétrico ) debilita tanto el axioma de indistinguibilidad como el axioma de simetría, y es simplemente una premétrica que satisface la desigualdad del triángulo. Para espacios pseudocuasimétricos, las bolas abiertas forman la base de conjuntos abiertos. El ejemplo más simple de un espacio pseudocuasimétrico es un conjunto con una premétrica dada por una función tal que y . El espacio topológico asociado es el espacio de Sierpinski .
    William Lover estudió los conjuntos equipados con pseudocuasimétricas extendidas como "espacios métricos generalizados" [11] [12] . Desde un punto de vista categórico , los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes asignaciones no expansivas , funcionan mejor en categorías de espacios métricos. Uno puede tomar productos y coproductos arbitrarios y formar un objeto cociente con una categoría dada. Si omitimos la palabra "extendido", solo podemos tomar productos y coproductos finitos. Si se omite "pseudo", no se pueden obtener objetos de factor. Los espacios de aproximación son ​​una generalización de los espacios métricos que tienen en cuenta estas buenas propiedades categóricas.
    • Un espacio lineal se llama espacio métrico lineal si la distancia entre sus elementos está dada en él y las operaciones algebraicas son continuas en su métrica, es decir, [2] :
      • Ejemplo: El espacio lineal de todas las sucesiones complejas se puede convertir en un espacio métrico lineal introduciendo la distancia entre sus elementos mediante la fórmula:
    • Un espacio hipermétrico es un espacio métrico en el que se cumplen desigualdades hipermétricas. Eso es,
    para cualquier punto y entero tal que . [13]
    • Tenga en cuenta que para y , la desigualdad hipermétrica se convierte en la desigualdad triangular habitual
    • Un ejemplo de un espacio hipermétrico: -space .

    Historia

    Maurice Fréchet introdujo por primera vez el concepto de espacio métrico [14] en relación con la consideración de espacios funcionales.

    Notas

    1. Kudryavtsev L. D. Análisis matemático. II vol. - M., Escuela Superior , 1970. - p. 296
    2. 1 2 Kerin S. G. Análisis funcional. - M., Nauka , 1972. - pág. 22-24
    3. Steen, Seebach, 1995 .
    4. 12 Smyth , 1987 , pág. 236–253.
    5. Rolewicz, 1987 .
    6. Väisälä, 2005 , pág. 187–231.
    7. Buldyguin, Kozachenko, 1998 .
    8. Helemsky, 2004 .
    9. Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , p. treinta.
    10. Pereira, Aldrovandi, 1995 .
    11. Lawvere, 2002 , pág. 1–37.
    12. Vickers, 2005 , pág. 328–356.
    13. MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlín, 1997.
    14. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matemático de Palermo. - 1906. - 22. - págs. 1-74.

    Literatura

    Enlaces