Mapa correcto (teoría de grafos)

Un mapa regular es un mosaico simétrico de una superficie cerrada . Más precisamente, un mapa propio es una descomposición una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos, de modo que cada bandera (triple incidente de vértice-arista-cara) se puede traducir a cualquier otra bandera mediante una descomposición de transformación de simetría . Los mapas regulares son, en cierto sentido, una generalización topológica de poliedros regulares . La teoría de los mapas y su clasificación está relacionada con las teorías de las superficies de Riemann , la geometría de Lobachevsky y la teoría de Galois . Los gráficos regulares se clasifican por su género de orientabilidad de la superficie correspondiente, por el gráfico subyacente o por automorfismo de grupo .

Resumen

Los mapas adecuados generalmente se definen y estudian de tres maneras: topológicamente, en términos de teoría de grupos y teoría de grafos.

Enfoque topológico

Desde el punto de vista de la topología, un mapa es una descomposición de 2 celdas de una variedad de 2 compacta cerrada.

El género g del mapa M viene dado por la relación de Euler , que es igual a , si el mapa es orientable, y , si el mapa no es orientable. La circunstancia crítica es el hecho de que existe un número finito (distinto de cero) de aplicaciones correctas para cualquier género orientable, excepto para el toro. ${\displaystyle\chi(M)=|V|-|E|+|F|}$ ${\ estilo de visualización 2-2g}$ ${\ estilo de visualización 2-g}$

Enfoque de la teoría de grupos

Desde el punto de vista de la teoría de los grupos de permutación, las representaciones de una aplicación regular M son un grupo de permutación transitiva C sobre el conjunto de banderas generadas por involuciones libres con tres puntos fijos que satisfacen la condición . En esta definición, las caras son las órbitas , los bordes son las órbitas y los vértices son las órbitas . De manera más abstracta, el automorfismo de grupo de cualquier gráfico regular es una imagen homomórfica no degenerada del grupo de triángulos <2,m,n>. $\Omega$ ${\ estilo de visualización r_{0},r_{1},r_{2))$ ${\ estilo de visualización (r_{0}r_{2})^{2}=yo}$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Enfoque de teoría de grafos

Desde el punto de vista de la teoría de grafos, un mapa es un grafo cúbico con aristas de color azul, amarillo y rojo de manera que es conexo, cada vértice es incidente con aristas de cada color, y los ciclos de aristas que no son de color amarillo tienen longitud 4. Tenga en cuenta que es un gráfico plano o un mapa codificado en gráfico ( mapa en inglés gráfico codificado , GEM) de un mapa, definido en el conjunto de banderas como vértices y que no es un esqueleto G = (V,E) de la mapa. En el caso general . $\Gama$ $\Gama$ $\Gama$ $\Omega$ ${\ estilo de visualización | \ Omega | = 4 | E |}$

El mapa M es correcto si y sólo si Aut(M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut( M ) de un mapa regular es transitivo en los vértices, aristas y caras de M . Se dice que una función M es simétrica especularmente si y solo si Aut( M ) es regular y contiene un automorfismo que fija tanto los vértices de v como las caras de f pero invierte la dirección de las aristas. Un gráfico regular que no es simétrico especular se dice que es quiral . $\fi$

Ejemplos

El gran dodecaedro es un mapa regular con caras pentagonales sobre una superficie orientable de género 4.
El semicubo es un mapa regular de tipo {4,3} en el plano proyectivo .
El semidodecaedro es un mapa regular generado por la incrustación pentagonal del gráfico de Petersen en el plano proyectivo.
p- El osoedro es un mapa regular de tipo {2,p}. Tenga en cuenta que los osoedros en este sentido no son poliedros abstractos . En particular , no satisfacen la propiedad del diamante .
El mapa de Dyck es un mapa regular de 12 octaedros en una superficie de género 3. El gráfico de Dyck subyacente también puede formar un mapa regular de 16 hexágonos en un toro.

La siguiente tabla muestra una lista completa de gráficos correctos en superficies con característica de Euler positiva , esfera χ y plano proyectivo [1] .

x	gramo	Schläfli	picos	costillas	caras	Grupo	Ordenar	Grafico	notas
2	0	{pág. 2}	pags	pags	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	diedro
2	0	{2,p}	2	pags	pags	C 2 × Dihp	4p _	p - pliegue K 2	osoedro
2	0	{3,3}	cuatro	6	cuatro	S4 _	24	K4 _	tetraedro
2	0	{4,3}	ocho	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	Cubo
2	0	{3,4}	6	12	ocho	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Octaedro
2	0	{5,3}	veinte	treinta	12	C2 × A5 _ _	120		Dodecaedro
2	0	{3,5}	12	treinta	veinte	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	icosaedro
una	n1	{2p,2}/2	pags	pags	una	Dih 2p _	4p _	Cp _	Semidiedro [2]
una	n1	{2,2p}/2	2	pags	pags	Dih 2p _	4p _	p - pliegue K 2	semiedro [2]
una	n1	{4,3}/2	cuatro	6	3	S4 _	24	K4 _	Medio cubo
una	n1	{3,4}/2	3	6	cuatro	S4 _	24	2x K 3	Semioctaedro
una	n1	{5,3}/2	diez	quince	6	A5 _	60	Conde de Petersen	semidodecaedro
una	n1	{3,5}/2	6	quince	diez	A5 _	60	K6 _	Semiicosaedro

Las imágenes a continuación muestran tres de las 20 cartas regulares en el toro triple con sus símbolos Schläfli .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Poliedros toroidales

Ejemplos de mosaicos

{4.4} 1.0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3.6} 1.0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Los mapas regulares existen como poliedros toroidales en forma de porciones finitas de mosaicos euclidianos envueltos en la superficie de un duocilindro como un toro plano . Se etiquetan como {4,4} b , c cuando se asocian con el mosaico cuadrado {4,4} [3] , cuando se asocian con el mosaico triangular {3,6} y como {6,3 } b . c cuando se asocia con el teselado hexagonal {6,3}. Los índices b y c son números enteros [4] . Hay 2 casos especiales ( b ,0) y ( b , b ) con simetría especular, aunque existen casos generales en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ). ${\ estilo de visualización \ {3,6 \}_ {b, c}}$

Los mapas regulares de la forma {4,4} m ,0 se pueden representar como poliedros sesgados regulares finitos {4,4| m }, entendida como las caras cuadradas de un duoprisma m × m en dimensión 4.

A continuación se muestra un ejemplo de {4,4} 8,0 asignado desde una hoja plana de tablero de ajedrez a un cilindro y luego a un toro. La proyección de un cilindro a un toro distorsiona la geometría en 3D, pero se puede realizar sin distorsión en 4D.

Mapas correctos con característica de Euler cero [5]

gramo	Schläfli	picos	costillas	caras	Grupo	Ordenar	notas
una	{4,4} segundo , 0 norte = segundo 2	norte	2n_ _	norte	[4,4] ( segundo ,0)	8n_ _	Poliedro toroidal plano Igual que {4,4 \| segundo }
una	{4,4} segundo , segundo norte =2 segundo 2	norte	2n_ _	norte	[4,4] ( segundo , segundo )	8n_ _	Poliedro toroidal plano Igual que truncado completo {4,4 \| segundo }
una	{4,4} segundo , do norte = segundo 2 + do 2	norte	2n_ _	norte	[4,4]+ ( segundo , c )	4n_ _	Poliedro toroidal quiral plano
una	{3,6} segundo , 0 t = segundo 2	t	3 toneladas	2 toneladas	[3,6] ( b ,0)	12 toneladas	Poliedro toroidal plano
una	{3,6} segundo , segundo t =2 segundo 2	t	3 toneladas	2 toneladas	[3,6] ( segundo , segundo )	12 toneladas	Poliedro toroidal plano
una	{3,6} segundo , c t = segundo 2 + bc + c 2	t	3 toneladas	2 toneladas	[3,6]+ ( segundo , c )	6 toneladas	Poliedro toroidal quiral plano
una	{6,3} segundo , 0 t = segundo 2	2 toneladas	3 toneladas	t	[3,6] ( b ,0)	12 toneladas	Poliedro toroidal plano
una	{6,3} segundo , segundo t =2 segundo 2	2 toneladas	3 toneladas	t	[3,6] ( segundo , segundo )	12 toneladas	Poliedro toroidal plano
una	{6,3} segundo , c t = segundo 2 + bc + c 2	2 toneladas	3 toneladas	t	[3,6]+ ( segundo , c )	6 toneladas	Poliedro toroidal quiral plano

En general, un politopo toroidal regular { p , q } b , c se puede definir si p o q son pares, aunque solo puede existir un euclidiano anterior como politopo toroidal en dimensión 4. En el caso de {2 p , q } los caminos ( b , c ) se pueden definir como una cara-borde-cara en una línea, mientras que en las formas duales { p ,2 q }, los caminos ( b , c ) se pueden considerar como un vértice-borde-vértice.

Véase también

Notas

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Lentejuelas. Inmersiones simétricas de mapas regulares no orientables de bajo género . Universidad de Berkeley . Consultado el 5 de marzo de 2020. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Coxeter y Moser 1980 , pág. 8.3 Mapas de tipo {4,4} sobre un toro.
↑ Coxeter y Moser 1980 , pág. 8.4 Mapas de tipo {3,6} en un toro.
↑ Coxeter y Moser 1980 , pág. Capítulo 8, Mapas regulares , 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro.

Literatura

Coxeter HSM, Moser WOJ . — 4to. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Traducción:
- G.S.M. Coxeter, WOJ Moser. Elementos generadores y relaciones definitorias de grupos discretos / Traducción de V.A. Churkin, editado por Yu.I. Merzlyakova .. - Moscú: "Nauka" Edición principal de literatura física y matemática, 1980.
Jack van Wijk. Mosaico simétrico de superficies cerradas: visualización de mapas regulares // Proc. SIGGRAPH (Transacciones ACM en Gráficos). - 2009. - T. 28 , núm. 3 . - S. 12 . -doi : 10.1145/ 1531326.1531355 . Archivado desde el original el 9 de junio de 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Determinación de todos los mapas regulares de género pequeño // Journal of Combinatorial Theory, Serie B. - 2001. - V. 81 , no. 2 . - S. 224-242 . -doi : 10.1006/ jctb.2000.2008 .
Román Nedela. Mapas, hipermapas y temas relacionados . — 2007.
Andrés Vicente. Mapas // Manual de teoría de grafos. — 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Mapas poliédricos // Manual de geometría discreta y computacional. — 2004.