División justa

Una división justa  es la tarea de distribuir muchos recursos entre varias personas que reclaman partes de estos recursos, mientras que cada persona recibe la parte que le conviene en un grado u otro. La disposición central de una división justa es el requisito de que sea realizada por los propios participantes en el proceso.

El problema de la división justa se presenta en diversas situaciones, como la división de una herencia , por ejemplo . Es un área activa de investigación en matemáticas , economía (especialmente en teoría de la elección social ), teoría de juegos , temas controvertidos y muchos otros.

Un algoritmo típico de división justa es divide y elige . Demuestra que dos personas con gustos diferentes pueden compartir un pastel de tal manera que cada uno crea que se ha llevado el mejor trozo. El estudio de división justa puede verse como una extensión de este procedimiento a varias condiciones más complejas.

Hay muchos tipos diferentes de algoritmos y problemas de división justa, dependiendo de la naturaleza del dividendo, los criterios de equidad, la naturaleza de los participantes y sus preferencias, y otras propiedades requeridas del algoritmo de división.

Cosas para compartir

Formalmente, el problema de la división justa se define por un conjunto y un grupo de jugadores. La división  es la división de un conjunto en subconjuntos que no se superponen: , un subconjunto por jugador.

El conjunto puede ser de varios tipos:

• X puede ser un conjunto finito de objetos indivisibles , por ejemplo: X = {piano, coche, apartamento}, por lo que cada objeto debe entregarse a un participante diferente.
• X puede ser un conjunto infinito representado por recursos divisibles , como dinero o pastel. Matemáticamente, un recurso divisible a menudo se modela como un subconjunto del espacio real, por ejemplo, el segmento [0,1] puede representar un pastel largo y angosto que se puede cortar en pedazos por secciones paralelas. El círculo unitario puede representar una tarta de manzana.

Además, el conjunto a dividir podría ser:

• homogéneo  , como el dinero, donde solo importa el valor o la cantidad;
• heterogéneo  - como un pastel, que puede contener diferentes ingredientes, diferentes glaseados, cremas, frutas, etc.

Finalmente, generalmente es necesario hacer algunas suposiciones sobre la conveniencia de los objetos divisibles, a cuál de los grupos pertenecen:

• bienes  , como automóviles o pasteles;
• cosas desagradables  , como las tareas del hogar.

Con base en estas diferencias, se han estudiado varios tipos generales de problemas de división justa:

• distribución justa de objetos  : la división de muchos objetos indivisibles y heterogéneos ;
• distribución justa de los recursos  : la división de muchosbienes divisibles y homogéneos . Un caso especial es la división justa de un recurso homogéneo ;
• un reparto justo del pastel  es el reparto de un bien heterogéneo divisible . Un caso especial es la forma redonda del pastel, en cuyo caso el problema se llama división justa del pastel ;
• una división justa de deberes  es la división de cosas desagradables heterogéneas divisibles.

También se suelen considerar combinaciones y casos especiales:

• el problema del alquiler conjunto de un apartamento  : la división de un conjunto de bienes heterogéneos indivisibles (por ejemplo, una habitación en un apartamento) y, al mismo tiempo , cosas desagradables divisibles homogéneas (pago por un apartamento);
• uso equitativo del río  - la división del agua que fluye en los ríos a lo largo de las fronteras de los países;
• asignación aleatoria justa  — un algoritmo de asignación aleatoria que produce un resultado justo en promedio, especialmente adecuado para distribuir bienes indivisibles.

Definiciones de justicia

La mayor parte de lo que comúnmente se conoce como una división justa queda fuera de la teoría cuando se utiliza el arbitraje . Estas situaciones ocurren a menudo con teorías matemáticas que tienen los nombres de problemas de la vida real. Las decisiones en el Talmud sobre las acciones cuando la propiedad se declara en quiebra reflejan algunas ideas complejas sobre la justicia [1] y la mayoría de la gente considera que estas decisiones son justas. Sin embargo, son el resultado de las discusiones de los rabinos , y no una división según las estimaciones de los participantes en la disputa de la propiedad.

Según la teoría subjetiva del valor , no puede haber una medida objetiva del valor de cada objeto. La equidad objetiva es entonces imposible, ya que diferentes personas cobran precios diferentes por cada objeto. Los experimentos empíricos sobre cómo las personas definen el concepto de justicia [2] han llevado a resultados inconsistentes.

Así, la mayoría de las investigaciones contemporáneas sobre equidad se centran en el concepto de justicia subjetiva . Se supone que cada una de las personas tiene una función de utilidad subjetiva personal o función de significación , que asigna un valor numérico a cada subconjunto . A menudo se supone que las características están normalizadas, de modo que los valores para cada persona son 0 para el conjunto vacío ( para todos los i) y 1 para el conjunto de todos los elementos ( para todos los i) si los elementos son deseables, y −1 si los elementos son indeseables. Ejemplos:

• Si es un conjunto de elementos indivisibles {piano, coche, apartamento}, Alicia puede asignar un valor de 1/3 a cada elemento, lo que significa que cada elemento tiene el mismo valor para ella. Bob puede asignar el valor 1 al conjunto {coche, apartamento} y el valor 0 a todos los demás conjuntos excepto a X. Esto significa que quiere el coche y el apartamento juntos. Un coche o apartamento, así como estos objetos, junto con el piano, Bob no está interesado.
• Si es un pastel largo y angosto, que se puede modelar como el intervalo [0; 1], entonces Alicia puede asignar a cada subconjunto un valor proporcional a su longitud, lo que significa que quiere obtener la mayor cantidad de pastel posible, independientemente de las decoraciones con glaseado y cremas. Bob solo puede asignar valores al subconjunto de [0,4; 0.6], por ejemplo, porque esta parte del pastel puede contener cerezas, y Bob solo se preocupa por obtener cerezas.

Sobre la base de estas funciones subjetivas, existen criterios ampliamente utilizados para una división justa. Algunos de ellos entran en conflicto con otros, pero a menudo se pueden combinar. Los criterios descritos aquí solo se aplican cuando un jugador puede tener la misma cantidad:

• La división proporcional significa que cada participante recibe al menos la parte que le corresponde de acuerdo con su propia función de valor . Por ejemplo, si tres personas comparten un pastel, entonces cada uno de los tres obtiene al menos un tercio de su propia estimación, es decir, cada uno de los n participantes obtiene un subconjunto de X que valoran al menos 1/ n :
  • por todo yo
• Una división superproporcional  es aquella en la que cada jugador obtiene estrictamente más de 1/ n (por lo que la división solo es posible si los jugadores tienen puntajes diferentes):
  • por todo yo .
• Una división sin envidia [3] asegura que nadie quiere que otro obtenga más que él, es decir, cada persona recibe una parte cuyo valor no es menor que el valor de las piezas para los demás participantes:
  • para todo i y j.
• Una división sin envidia grupal asegura que no haya un subconjunto de agentes celoso de otro subconjunto del mismo tamaño, lo cual es una condición mucho más fuerte que la ausencia de envidia.
• La igualdad en las partes la división significa que cada persona siente la misma satisfacción, es decir, la porción del pastel que recibe el jugador, según su propia evaluación, es la misma que para los demás jugadores. Este es un objetivo difícil, ya que el jugador puede no ser sincero cuando se le pregunta sobre su evaluación:
  • para todo i y j.
• Una división exacta (o división pactada ) es una división en la que todos los jugadores acuerdan el valor de cada pieza:
  • para todo i y j.

Todos los criterios anteriores asumen que los participantes reciben partes iguales de . Si diferentes participantes tienen diferentes participaciones (por ejemplo, en el caso de una sociedad en la que cada socio aporta fondos diferentes), entonces el criterio de equidad debe ajustarse en consecuencia. Ver el artículo División proporcional de un pastel con diferentes proporciones .

Requisitos adicionales

Además de la equidad, a veces se desea que la división sea óptima en el sentido de Pareto , es decir, ninguna otra división puede ser mejor para alguien sin pérdida para otro. El término "eficiencia" proviene de la idea económica de un mercado eficiente . Una división en la que un jugador se lleva todo es óptima según esta definición, por lo que por sí misma no garantiza una división justa. Ver también los artículos " Corte eficiente de tortas " y " El precio de la justicia ".

En el mundo real, las personas a veces tienen ideas muy claras sobre cómo otros jugadores valoran las apuestas y pueden usarlas. El caso en el que tienen un conocimiento completo de cómo otros jugadores valoran las apuestas puede ser modelado por la teoría de juegos . El conocimiento parcial es muy difícil de modelar. Una parte importante del aspecto práctico de una división justa es el desarrollo y estudio de procedimientos que funcionan bien a pesar de tales conocimientos parciales o pequeños errores.

Un requisito adicional es que este procedimiento de división justa sea un mecanismo veraz , es decir, debe ser una estrategia dominante para que los participantes muestren sus puntajes válidos. Este requisito suele ser muy difícil de satisfacer en combinación con la equidad y la eficiencia de Pareto .

Una generalización del problema es permitir que cada parte interesada esté formada por varios jugadores que comparten el mismo conjunto de recursos pero que tienen diferentes preferencias [4] [5] .

Procedimientos

Los algoritmos o procedimientos [6] de una división justa enumeran las acciones de los jugadores en términos de datos visibles y sus estimaciones. El procedimiento correcto es aquel que garantiza una división justa para cualquier jugador que actúe racionalmente según su propio juicio. Mientras que la acción del jugador depende de sus juicios, el procedimiento describe la estrategia que sigue el jugador racional. El jugador puede actuar como si la pieza tuviera una puntuación diferente, pero debe ser consistente (predecible). Por ejemplo, si el procedimiento dice que el primer jugador corta el pastel en dos partes iguales y el segundo elige un trozo, entonces el primer jugador no puede quejarse de que el segundo jugador se quedó con la mayor parte.

Lo que hace el jugador:

• acepta el criterio de una división justa;
• elige el procedimiento correcto y sigue sus reglas.

Se supone que el objetivo de cada jugador es maximizar el valor mínimo que puede obtener. En otras palabras, llegar al maximin .

Los procedimientos se pueden dividir en discretos y continuos . Un procedimiento discreto podría, por ejemplo, involucrar solo un cortador de pastel a la vez. Las rutinas continuas involucran cosas como cuando un jugador mueve un cuchillo y el otro jugador dice "para". Otro tipo de procedimiento continuo implica que la persona asigne un valor a cada parte del pastel.

Para obtener una lista de los procedimientos de división justa, consulte Categoría:Protocolos de división justa .

Historia

Según Saul Garfunkel , el problema de cortar la torta fue uno de los problemas abiertos más importantes de las matemáticas del siglo XX [7] , y la variante más importante del problema fue finalmente resuelta por el procedimiento de Brahms-Taylor desarrollado por Stephen Brahms y Alan Taylor en 1995.

Se desconocen las fuentes del protocolo Delhi y Choose . Las actividades relacionadas, como el comercio y el trueque , se conocen desde hace mucho tiempo. Las negociaciones que involucran a más de dos participantes también son bastante comunes, siendo la Conferencia de Potsdam un ejemplo sobresaliente.

La teoría de una división justa se cuenta solo desde el final de la Segunda Guerra Mundial . Fue desarrollado por un grupo de matemáticos polacos ( Hugo Steinhaus , Bronisław Knaster y Stefan Banach ) que se reunían habitualmente en el Scottish Café de Lvov (entonces en Polonia ). La división proporcional para cualquier número de participantes con el nombre de "última disminución" se desarrolló en 1944. Steinhaus lo atribuyó a Banach y Knaster cuando presentó el problema públicamente por primera vez en una reunión de la Econometric Society en Washington en septiembre de 1947. En esta reunión también planteó el problema de encontrar el menor número de cortes necesarios para tal división.

Para conocer la historia del corte envidioso, consulte el artículo Corte de pastel envidioso .

Aplicaciones

Los desafíos de la división equitativa surgen en situaciones como la división de herencias, la terminación de sociedades, los procesos de divorcio , las asignaciones de frecuencias de radio , el control del tráfico aeroportuario y la operación de satélites de teledetección de la Tierra .

Justa división en la cultura popular

• En la serie de televisión 4isla (temporada 3, episodio "Una hora"), Charlie habla sobre la tarea de cortar el pastel aplicada a la cantidad de dinero que exige el secuestrador .
• Hugo Steinhaus escribió sobre algunas variantes de una división justa en su libro The Mathematical Kaleidoscope . En este libro habla de la versión de una división justa con tres participantes, que fue inventada por G. Krokhmain de Berdichev en 1944 y otra versión inventada por la Sra. L. Kott [8] .
• Martin Gardner e Ian Stewart publicaron un libro cada uno con capítulos sobre este problema [9] [10] . Martin Gardner propuso resolver el problema de la división en forma de división de funciones. Ian Stewart popularizó el problema de la división justa en sus artículos en Scientific American y New Scientist .
• Un extracto de Dinosaur Comic se basa en el problema de cortar el pastel [11] .
• En la película israelí Saint Clare un inmigrante ruso le pregunta a un profesor de matemáticas israelí cómo se puede dividir equitativamente un pastel redondo entre 7 personas. Su respuesta: hacer 4 cortes rectos en el medio, obteniendo 8 piezas iguales. Como solo hay 7 personas, se debe tirar una pieza, guiado por los principios del comunismo.

Véase también

• Igualdad económica
• Justicia en Economía
• el comercio internacional
• El problema de la mochila
• Problema de trato
• El precio de la justicia
• Teorema de compartir pizza
• La tragedia de las anticomunidades
• La tragedia de los recursos compartidos

Notas

1. ↑ Aumann y Maschler 1985 , pág. 195–213.
2. ↑ Yaari, Bar-Hillel, 1984 , pág. una.
3. ↑ Un término de uso frecuente, pero algo confuso, ya que la envidia es precisamente el fenómeno dominante en esta división. A veces se usa una traducción literal del inglés "libre de envidia". La ausencia de envidia significa la ausencia de motivos de envidia, es decir, es necesario dividir los recursos de tal manera que nadie sospeche que recibió menos que otra persona.
4. ↑ Manurangsi, Suksompong, 2017 , pág. 100–108.
5. ↑ Suksompong, 2018 , pág. 40–47.
6. ↑ A veces se usa el término protocolo .
7. ↑ Garfunkel, 1988 .
8. ↑ Steinhaus, 1950 .
9. ↑ Gardner, 1978 .
10. ↑ Stewart, 2006 .
11. ↑ Dinosaur Comics - 13 de noviembre de 2008 - ¡Tiempos divertidos increíbles! . Consultado el 8 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 28 de octubre de 2019. (indefinido)

Literatura

• Robert J. Aumann, Michael Maschler. Análisis teórico de juegos de un problema de bancarrota del Talmud  // Journal of Economic Theory. - 1985. - T. 36 . - doi : 10.1016/0022-0531(85)90102-4 . Archivado desde el original el 20 de febrero de 2006.
• Yaari ME, Bar-Hillel M. Sobre la división justa  // Elección social y bienestar. - 1984. - T. 1 . - S. 1 . -doi : 10.1007/ BF00297056 .
• Pasin Manurangsi, Warut Suksompong. Existencia Asintótica de Divisiones Justas para Grupos // Ciencias Sociales Matemáticas. - 2017. - T. 89 . -doi : 10.1016/ j.mathsocsci.2017.05.006 . -arXiv : 1706.03184 . _
• Warut Suksompong. Cuotas aproximadas de Maximin para Grupos de Agentes // Ciencias Sociales Matemáticas. - 2018. - T. 92 . -doi : 10.1016/ j.mathsocsci.2017.09.004 . -arXiv : 1706.09869 . _
• Steven J. Brams, Alan D. Taylor. División justa: del corte del pastel a la resolución de disputas . - Cambridge University Press, 1996. - ISBN 0-521-55644-9 ..
• Jack Robertson. Algoritmos de corte de torta: Sea justo si puede .. - Routledge, 1998. - ISBN 978-1-56881-076-8 .
• Sol Garfunkel. Más Igual que Otros: Voto Ponderado. // Para todos los propósitos prácticos: una introducción a las matemáticas contemporáneas . - COMAP (Comsortium for Mathematics and its Applications), 1988. Una serie de 26 lecciones en video de media hora en DVD
• Hill TP Dispositivos matemáticos para obtener una parte justa // Científico estadounidense. - 2000. - T. 88 . — S. 325–331 . -doi : 10.1511 / 2000.4.325 .
• Vicente P. Crawford. división justa // New Palgrave: un diccionario de economía . - 1987. - T. 2. - S. 274-75.
  • El Nuevo Palgrave: Finanzas. - Moscú: Escuela Superior de Economía de la Universidad Estatal, 2008. - ISBN 978-5-7598-0588-5 .
• Hal R. Varian. equidad // The New Palgrave: un diccionario de economía. - 1987. - T. 2. - S. 275–76.
• Bryan Skyrms. La Evolución del Contrato Social. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1996. - ISBN 978-0-521-55583-8 .
• H.Steinhaus. Instantáneas matemáticas. - 1950. - ISBN 0-19-503267-5 .
  • Steinhaus G. Caleidoscopio matemático . — M .: Nauka, 1981. — 160 p. - ( Biblioteca "Cuántica" ). — 150.000 copias.
• Martín Gardner. ¡Ajá! visión. - 1978. - ISBN 978-0-7167-1017-2 .
• Ian Stewart. Cómo cortar un pastel y otros acertijos matemáticos . - OUP Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-920590-5 .

Enlaces

• División justa del Proyecto de Matemáticas Discretas de la Universidad de Colorado.
• Calculadora de división justa ( aplicación de Java )
• Método del divisor justo: Método del divisor solitario
• División justa: método de marcadores
• División justa: método de ofertas selladas