Teoría de Chern-Weil

Las clases características son una generalización de gran alcance de conceptos cuantitativos de geometría elemental como el grado de una curva algebraica plana o la suma de los índices de puntos singulares de un campo vectorial en una superficie. Se describen con más detalle en el artículo correspondiente. La teoría de Chern - Weil permite representar algunas clases características como expresiones de curvatura .

Embebido usando un sistema lineal

Los conjuntos de puntos en una curva algebraica con algunas multiplicidades se llaman divisores . Si, por ejemplo, se da una curva que se encuentra en el plano proyectivo complejo (o, más generalmente, en el espacio proyectivo complejo ), entonces el conjunto de puntos a lo largo de los cuales es intersecado por alguna línea, con multiplicidades iguales a las multiplicidades de la intersección ( o, si la curva está en el espacio , algún hiperplano) es un divisor. En geometría algebraica, no se suelen considerar divisores individuales, sino sus clases. Por ejemplo, una curva plana se puede asociar con una clase de divisores que consta de divisores recortados en la curva por todas las líneas posibles (todos los hiperplanos posibles). Se llama el sistema divisor lineal correspondiente a la incrustación dada (por lo general, se llama simplemente "sistema lineal"). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Pregunta. Sea dada una curva abstracta no incrustada en ninguna parte, y un sistema lineal correspondiente a alguna inclusión. ¿Es posible recuperar de él este encastre (hasta una transformación proyectiva del espacio ambiente)?

Resulta que esto es posible. Sin embargo, para hacer esto, necesitamos comprender mejor qué es un hiperplano en un espacio proyectivo. En un espacio afín, se puede dar un hiperplano como el núcleo (conjunto de ceros) de una función lineal (y tal función será única hasta la multiplicación por un número distinto de cero). En un espacio proyectivo, sin embargo, no hay funciones lineales: toda función holomorfa en una variedad compleja compacta es constante. Si es un espacio vectorial, entonces sus puntos de proyección son líneas , y si es una función lineal sobre , entonces el “valor” en el punto es un funcional lineal sobre el espacio lineal correspondiente , es decir, un vector en el espacio lineal dual . Además, las líneas en las que este funcional es idénticamente cero son exactamente las líneas que se encuentran en el núcleo ; los puntos correspondientes en la proyectivación forman un hiperplano proyectivo. $V$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {P} (V)}$ ${\ estilo de visualización \ ell \ subconjunto V}$ $\varphi$ $V$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ ${\ estilo de visualización \ ell \ subconjunto V}$ ${\ estilo de visualización \ ell ^ {*}}$ $\varphi$

Esto se formaliza de la siguiente manera: la proyectivización admite un haz de línea tautológico sobre sí mismo , cuya fibra sobre un punto es la línea misma , considerada como un espacio lineal. Este paquete se denota con el símbolo . El paquete de líneas conjugado con él (es decir, uno cuyas capas en cada punto son duales a las capas del paquete original en los mismos puntos) se denota por ; sus secciones corresponden a funcionales lineales en un espacio vectorial . En consecuencia, los conjuntos de ceros de las secciones son hiperplanos. Por lo tanto, si es una curva proyectiva, entonces el sistema lineal correspondiente consiste en divisores de ceros de secciones del paquete . ${\ estilo de visualización \ mathrm {P} (V)}$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ ${\ estilo de visualización \ ell \ subconjunto V}$ ${\mathfrak{O}}(-1)$ ${\mathfrak{O}}(1)$ $V$ $C\subconjunto \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak{O}}(1)|_{C}$

Si hay una curva abstracta, entonces el haz de líneas en ella se puede reconstruir a partir de los conjuntos de ceros de sus diversas secciones (siempre que haya suficientes secciones diferentes). Así, dado un sistema lineal de divisores sobre una curva abstracta, se puede reconstruir un haz de líneas para el cual estos divisores sean niveles cero de sus secciones. Por lo tanto, la pregunta puede reformularse de la siguiente manera.

Pregunta. Sea una incrustación de una curva algebraica , y sea una restricción del paquete a ella . Sabiendo solamente , ¿es posible recuperar la inversión ? $f\dos puntos C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\to C$ ${\mathfrak{O}}(1)$ $L$ $F$

Tenga en cuenta que el paquete tiene la siguiente propiedad: para cualquier punto hay una sección tal que . Esto es cierto, por ejemplo, porque para cualquier punto en una curva espacial, uno puede elegir una sección por un hiperplano que no pase por ese punto y restringir la sección correspondiente a la curva. Los paquetes con esta propiedad se denominan secciones globales generadas . La construcción de anidamiento ahora es muy simple. Considere el espacio de la sección . Cada punto define un mapeo mediante un mapeo de cálculo . Así, un punto sobre una curva define un vector en el espacio , bien definido hasta la proporcionalidad, es decir, un punto en el espacio proyectivo . Esto define la incrustación , que coincide con la original hasta una correspondencia proyectiva. $L$ ${\ estilo de visualización x \ en C}$ ${\ Displaystyle s \ en \ Gamma (L)}$ ${\ estilo de visualización s (x) \ neq 0}$ ${\mathfrak{O}}(1)$ ${\ estilo de visualización \ Gamma (L)}$ ${\ estilo de visualización x \ en C}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma (L) \ a L_ {x})$ $s\mapsto s(x)$ ${\ estilo de visualización \ Gamma (L) ^ {*}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {P} (\ Gamma (L) ^ {*})}$ $C\to \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

¿Qué hemos mostrado realmente? Cualquier paquete de líneas en una curva generada por secciones globales se puede obtener como una imagen inversa del paquete con respecto a algún mapeo algebraico . En este caso, el grado del paquete (el número de ceros en su sección común) resulta ser igual al grado de la imagen de la curva bajo tal incrustación. Puede entenderse como el número de puntos de intersección con el hiperplano, es decir, el índice de intersección de las clases de homología y , o como una integral: la forma de Fubini-Study es Poincaré dual a la clase de sección del hiperplano (hasta la multiplicación por ) , por lo que el grado del divisor se puede calcular como . Tenga en cuenta que la forma de Fubini-Study es una forma de curvatura en el haz . Por lo tanto, el grado de un haz de líneas en una curva algebraica generada por secciones globales se puede expresar como la integral de curvatura de alguna conexión en él. La teoría de Chern-Weil afirma mucho más: en particular, el grado de cualquier haz de líneas sobre una curva algebraica (y en general cualquier variedad orientable compacta bidimensional real) es igual a la integral de curvatura de cualquier conexión en ella (dividida por ) . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ ${\ estilo de visualización [f (C)]}$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int_{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int_{C}f^{*} \ omega$ ${\mathfrak{O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Asignaciones de clasificación para paquetes de líneas

La implementación de paquetes de líneas usando mapeos sobre un sistema lineal adolece de importantes inconvenientes: por ejemplo, un paquete puede no tener ninguna sección. En el caso de una curva, esto se puede corregir artificialmente, porque entonces hay secciones del paquete dual y, a veces, se puede obtener el paquete original como un retroceso a lo largo del mapa antiholomórfico . Pero en una superficie compleja, un haz de líneas puede ser "positivo" en una dirección y "negativo" en la otra, y ya no se puede prescindir de ese truco. Al mismo tiempo, las aplicaciones sobre un sistema lineal dan algo de intuición, lo que permite lograr mucho más si no se proporcionan aplicaciones algebraicas u holomorfas, sino continuas arbitrarias. ${\mathfrak{O}}(1)$

Volvamos al haz , y supondremos que el espacio está dotado de una métrica hermítica. Entonces el paquete está dotado de una métrica hermítica. Destacamos en él un haz de vectores de longitud unitaria: un grupo unitario actúa sobre él , además, en cada capa libre y transitivamente. El espacio total de este paquete se puede identificar con la esfera unitaria en . Una fibración con círculo de fibras es la conocida fibración de Hopf . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathrm {P} (V)$ $V$ ${\mathfrak{O}}(1)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ ${\ estilo de visualización S^{2n+1}}$ $V$ $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

El espacio hermitiano (incompleto) , realizado como límite de inclusiones con la topología de unión, contiene la esfera unitaria , a la que se aplica lo anterior en la misma medida. Un cociente por acción es un espacio proyectivo de dimensión infinita con la topología de la unión de sus subespacios de dimensión finita constituyendo una bandera completa. Sin embargo, a diferencia de sus contrapartes de dimensión finita, difiere en las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty ))$ $\mathbb {C} \subconjunto \mathbb {C} ^{2}\subconjunto \mathbb {C} ^{3}\subconjunto \puntos$ ${\displaystyle S^{\infty))$ $S^{\infty}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$

El espacio total de un paquete de Hopf de dimensión infinita (es decir, ) es contráctil . $S^{\infty}$
Si es un haz principal con fibra , es decir, un haz circular equipado con una acción de grupo unitaria , que es libre y transitiva en cada fibra, entonces existe una aplicación tal que es isomorfa a la imagen inversa del haz de Hopf de dimensión infinita a lo largo de . ${\ estilo de visualización P \ a X}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $PAGS$ ${\ Displaystyle f_ {P}}$
Para un paquete principal dado , todos estos mapas son homotópicos entre sí. Cualquiera de estos se llama un mapeo de clasificación . ${\ estilo de visualización P \ a X}$ ${\ Displaystyle f_ {P}}$

Aunque el espacio total de un paquete de Hopf de dimensión infinita es contráctil, la topología de su base no es trivial: para cada número par, su cohomología entera es unidimensional. Como álgebra graduada, son isomorfos al anillo polinomial , donde . El retroceso de la generatriz a lo largo del mapeo, debido a la tercera propiedad de la lista anterior, es una invariante bien definida del paquete principal. Esta es la clase Chern. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $2k$ ${\ Displaystyle H ^ {2k}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [t]}$ ${\ estilo de visualización \ grado t = 2}$ ${\ estilo de visualización t \ en H ^ {2}}$

Tenga en cuenta que en la restricción de cada una de las clases de dimensión finita se puede representar en la cohomología de De Rham como la clase de la forma de estudio de Fubini dividida por . Por otro lado, la forma del Estudio de Fubini es la curvatura de una conexión invariante en , es decir, su tramo a lo largo es la curvatura de alguna conexión -equivariante en el paquete principal . Si se comprueba que las curvaturas de las conexiones -equivariantes en un haz principal son 2-formas cerradas pertenecientes a la misma clase de cohomología de De Rham, se obtiene inmediatamente la afirmación de la teoría de Chern-Weyl para haces lineales: ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subconjunto \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ ${\ Displaystyle f_ {P}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$

Teorema. Sea un haz lineal hermitiano, y sea la forma de curvatura de alguna conexión unitaria en . entonces _ ${\ estilo de visualización L \ a X}$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

De ahí, por ejemplo, se sigue inmediatamente el teorema de Gauss-Bonnet .

Clasificación de espacios

Con haces distintos de los lineales, también se pueden asociar haces -principales para otros grupos : por ejemplo, con un haz hermitiano de rango se asocia un haz principal con el grupo estructural , cuyas fibras son espacios que parametrizan tramas ortonormales en una determinada fibra de el paquete vectorial. Por el contrario, el paquete vectorial se reconstruye a partir del paquete principal y la representación del grupo . Si un paquete principal estaba dotado de una conexión equivalente, entonces el paquete vectorial resultante también estará dotado de una conexión que preserva la estructura . $GRAMO$ $GRAMO$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$

Resulta que para un grupo de Lie arbitrario (o, más generalmente, un grupo topológico), existe un análogo de la fibración de Hopf. Este es un paquete principal; se denota , y su base se llama espacio clasificador . Es único hasta la equivalencia de homotopía y tiene las siguientes propiedades: $GRAMO$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización EG \ a BG}$

Todos los grupos de homotopía de su espacio total son triviales. ${\ estilo de visualización EG}$
Para cualquier paquete principal , existe un mapa clasificador tal que se obtiene como la imagen inversa del paquete a lo largo . $GRAMO$ ${\ estilo de visualización P \ a X}$ $f_{P}\dos puntos X\a BG$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización EG \ a BG}$ ${\ Displaystyle f_ {P}}$
Todas las asignaciones de clasificación son homotópicas entre sí.

Por ejemplo, si , entonces se puede elegir el círculo como el círculo, y su cobertura universal, la línea real. En la mayoría de los casos, sin embargo, el espacio clasificador no tiene el tipo de homotopía de una variedad compacta: así ya surge de nuevo una esfera de dimensión infinita, sobre la cual actúa la correspondencia antípoda, y es un factor sobre ella, es decir, . De esta construcción, similar a la descrita anteriormente, se obtiene la primera clase de Stiefel-Whitney del paquete de líneas reales. $G=\mathbb {Z}$ ${\ estilo de visualización BG}$ ${\ estilo de visualización EG}$ $G=\mathbb {Z} /2$ ${\ estilo de visualización EG}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} /2}$ ${\ estilo de visualización BG}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty))$

Álgebra de Weyl

Si se puede calcular un álgebra de cohomología para un grupo (que ya es un álgebra bien definida en virtud del hecho de que todos los espacios de clasificación son homotópicos entre sí), entonces los retrocesos de clase a partir de ahí a lo largo de las asignaciones de clasificación serán invariantes de paquetes principales. Este problema, sin embargo, es muy difícil, al menos si el álgebra de cohomología se toma con coeficientes enteros. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización H (BG)}$

Para las variedades, el problema de calcular la cohomología con coeficientes reales se simplifica por el hecho de que pueden considerarse cohomología de Rham . Los espacios clasificatorios, sin embargo, no son variedades. La idea de cómo se puede realizar el enfoque de de Rham a la cohomología viene dada por el llamado complejo de Chevalley-Eilenberg . Si es un grupo de Lie, entonces su complejo de formas diferenciales contiene un subcomplejo de formas diferenciales invariantes a la izquierda . Una forma diferencial invariante a la izquierda se define por su valor en el espacio tangente en la unidad , es decir, una forma multilineal sesgada simétrica en el álgebra de Lie . Por lo tanto, como álgebra con multiplicación simétrica sesgada, el espacio de formas diferenciales invariantes a la izquierda es isomorfo al álgebra externa . La diferencial en este álgebra, como se puede deducir fácilmente de la fórmula estándar de la diferencial de Rham, hay una aplicación en el término que es dual al paréntesis (más precisamente, con un signo menos), y luego continúa de acuerdo con la regla graduada de Leibniz , utilizando el hecho de que el álgebra externa es generada por su primer componente de calibración. Entonces, hay un subcomplejo de dimensión finita que, a pesar de la motivación geométrica, se puede definir algebraicamente, en términos del álgebra de Lie. Su cohomología se llama cohomología del álgebra de Lie ; se encuentran naturalmente en la cohomología de Rham del grupo de Lie y, además, cuando son compactas, son iguales a todas las cohomologías de Rham del grupo de Lie . ${\ estilo de visualización BG}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización e \ en G}$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle\Lambda ({\mathfrak{g}}^{*})}$ ${\mathfrak {g}}^{*}\a \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subconjunto \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$

Esto nos motiva a tratar de definir formalmente , en términos del álgebra de Lie solamente , qué es el álgebra de De Rham del espacio clasificador, más precisamente, el álgebra de De Rham del espacio . Les recuerdo que se le exigen dos cosas: que sea un espacio contractible sobre el que actúe libremente. Los requisitos algebraicos correspondientes son los siguientes: existe un álgebra graduada diferencialmente con cohomología cero (excepto en la graduada cero, donde son unidimensionales) sobre la que actúa el álgebra de Lie por derivaciones , y la aplicación natural es sobreyectiva. $\mathfrak{g}$ ${\ estilo de visualización EG}$ ${\ estilo de visualización EG}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ Omega (EG)}$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\to \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

Un álgebra con las propiedades requeridas es bastante fácil de construir, se llama álgebra de Weil y se denota por . Es decir, se trata de un álgebra externa graduada , es decir, dos copias de , una de las cuales tiene una calificación par y la otra impar. De manera equivalente, este es un producto tensorial , donde los generadores del álgebra exterior tienen grado 1 y el álgebra simétrica tiene grado 2. También se puede representar como el complejo total del siguiente bicomplejo: $W({\mathfrak{g)))$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\a$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\a$	${\displaystyle\Lambda^{2}({\mathfrak{g}}^{*})}$	$\a$	${\displaystyle\Lambda^{3}({\mathfrak{g}}^{*})}$	${\ estilo de visualización \ a \ puntos}$
		$\flecha hacia abajo$		$\flecha hacia abajo$		$\flecha hacia abajo$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\a$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\a$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	${\ estilo de visualización \ a \ puntos}$
				$\flecha hacia abajo$		$\flecha hacia abajo$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\a$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	${\ estilo de visualización \ a \ puntos}$
						$\flecha hacia abajo$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	${\ estilo de visualización \ a \ puntos}$

Los diferenciales en las filas aquí son complejos de Chevalley-Eulenberg con una acción añadida en los módulos (en particular, el primer diferencial en cualquier fila asigna un elemento al operador , ), y cada columna es un complejo de Koszul , que se puede relacionar no sólo al álgebra de Lie, pero también con cualquier espacio vectorial. De su aciclicidad, podemos deducir que el complejo de Weil tampoco tiene cohomología, excepto cero unos. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\a M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\to \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Si el bicomplejo de Weil es una aproximación de formas diferenciales en el espacio , y su fila cero, el álgebra de Chevalley-Eilenberg, es el álgebra de formas diferenciales invariantes a la izquierda en , entonces el análogo de las formas diferenciales que se elevan desde la base, es decir , el "álgebra de De Rham"— son los elementos de la diagonal del bicomplejo , el álgebra de funciones simétricas en . En este caso, las formas cerradas serán exactamente aquellas que son cerradas con respecto a la diferencial en el álgebra de Weyl. De la forma en que trabaja sobre los elementos diagonales (que se indicó en el párrafo anterior), se deduce que estos son simplemente funciones polinómicas sobre , que son invariantes bajo la acción adjunta del grupo sobre su álgebra de Lie. $W({\mathfrak{g}}^{*})$ ${\ estilo de visualización EG}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización BG}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$

Homomorfismo de Chern-Weil

Sea un grupo de Lie y sea un paquete principal. Elijamos una conexión en él, es decir, un subhaz tal que la proyección mapee las fibras de este subhaz sobre los espacios tangentes a k isomórficamente, y este subhaz se conserve por la acción . Se puede codificar mediante una proyección invariable en un subhaz vertical (es decir, un haz de espacios tangentes a las órbitas). El espacio tangente a la órbita de una acción libre de un grupo de Lie es canónicamente isomorfo al álgebra de Lie , por lo que esta forma se puede dar como una forma 1 . Otra invariante de la conexión es su curvatura, en este caso obtenida como proyección del conmutador de dos campos vectoriales horizontales (es decir, secciones ) sobre los espacios tangentes a las capas. Esta es una forma de 2 con coeficientes en . $GRAMO$ ${\ estilo de visualización P \ a X}$ $GRAMO$ $Hor\subconjunto TP$ $X$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g))$ ${\ Displaystyle Hor}$ $\Fi$ $\mathfrak{g}$

Esto nos permite asociar a la conexión un homomorfismo de álgebras graduadas diferencialmente , que será un reemplazo del mapeo clasificador. En este caso, resulta más conveniente definirlo entre espacios totales, y no entre bases. Basta definirlo en generadores, es decir, y . Ambos espacios son simplemente funcionales en el álgebra de Lie; pero el primero debe mapear en 1-formas en el espacio total , y el segundo en 2-formas. Enviemos el funcional al 1-form y el funcional al 2-forms . Este mapeo se llama homomorfismo de Chern-Weil , y uno puede verificar que es de hecho un homomorfismo equivalente de álgebras graduadas diferencialmente . En particular, asigna elementos de la diagonal del bicomplejo de Weyl a formas invariantes en , es decir, los retrocesos de las formas diferenciales en . Dado que los elementos cerrados con respecto a la diferencial de Weil pasan a formas cerradas, los polinomios invariantes del álgebra de Lie dan formas cerradas sobre la base del paquete principal. Se llaman formas características . Se pueden escribir explícitamente como $W({\mathfrak {g}})\a \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $PAGS$ ${\displaystyle\varphi\in\Lambda^{1}({\mathfrak{g}}^{*})}$ $v\mapsto\varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\ Displaystyle v \ cuña w \ mapas a \ psi (\ Phi (v, w))}$ $GRAMO$ $W({\mathfrak {g}})\a \Omega (P)$ $GRAMO$ $PAGS$ $X$

$\psi (\Theta )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma}\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\puntos,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Aquí , es un polinomio invariante y es la curvatura. Al elegir otra conexión en el paquete principal, la curvatura y las formas características cambian, pero sus clases de cohomología siguen siendo las mismas. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Ejemplos

Para un grupo , uno puede definir funciones invariantes en su álgebra de Lie por la condición . Las clases resultantes son las clases de Chern . Una fórmula similar para define clases, llamadas clases de Pontryagin (solo necesitamos eliminar ) del denominador. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\ sqrt {-1}}$

En casos de grupos lineales generales, el álgebra de polinomios invariantes se genera por polinomios . En términos generales, este no es el caso: por ejemplo, en un álgebra de Lie ortogonal especial, hay un polinomio de Pfaffian de grado . La clase correspondiente (dividida por ) se llama clase de Euler . $A\mapsto\mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {entonces}}(2n)$ $norte$ ${\ estilo de visualización (2 \ pi) ^ {n})$

En física

La teoría de Chern-Weil es una de las muchas formas equivalentes de definir las clases características. Desde un punto de vista matemático, tiene muchos inconvenientes: al igual que la cohomología de Rham, funciona solo para el caso en que la base es una variedad, no capta las clases que pertenecen al subgrupo de torsión en la cohomología y la integralidad de las clases obtenido al integrar algunas expresiones diferenciales está lejos de ser obvio (mientras que en otras formas el entero se obtiene automáticamente).

Pero esta integralidad, al menos para el caso de haces de líneas, tiene una aplicación inesperada en física. El tensor de campo electromagnético es una forma de 2 en el espacio-tiempo, que en realidad es la forma de curvatura de alguna conexión en el haz de líneas hermíticas. Por lo general, se considera físicamente razonable suponer que este paquete es trivial. Dirac comentó que, suponiendo que este paquete no fuera trivial, entonces su clase Chern sería igual a la carga magnética . Así, de la integralidad de las clases de Chern se deduce que si todavía existe un solo campo magnético, entonces su carga es un múltiplo integral de alguna carga magnética elemental.

Es de destacar que el teorema de Dirac sobre la cuantización de la carga magnética apareció en 1931, es decir, más de 10 años antes del advenimiento de la teoría de Chern-Weyl.

Historia

La conexión entre curvatura y topología fue notada por primera vez, probablemente por Lhuillier . El teorema de Gauss-Bonnet , que sirvió como un paso importante hacia la teoría de Chern-Weil, fue formulado por primera vez en su forma moderna (para superficies orientables compactas) en 1888 por von Dyck .

Hopf propuso en 1925 un análogo multidimensional del teorema de Gauss-Bonnet : consideró las hipersuperficies en el espacio e introdujo un análogo de la curvatura gaussiana en ellas como una imagen inversa de la forma del volumen en la esfera unitaria con respecto al mapeo gaussiano . Logró expresar esta forma como un polinomio en curvaturas locales, similar a la fórmula de la forma característica (ver arriba). Para subvariedades de dimensión par de un espacio euclidiano de codimensión mayor que 1, Allendorfer y Fenchel establecieron análogos del teorema de Gauss-Bonnet de forma independiente en 1940. Su demostración redujo el problema al límite de una pequeña vecindad tubular de una subvariedad, que es una hipersuperficie cubierta por el teorema de Hopf. El límite, en términos modernos, es el paquete de esfera unitaria en el paquete de hipersuperficie normal, y las curvaturas locales anteriores permiten obtener una fórmula para la clase de Euler de esta subvariedad. $\R^{2n+1}$

Chern , por sugerencia de Weil , comenzó a buscar un resultado similar para variedades riemannianas arbitrarias que no están incrustadas en ninguna parte, y llegó a la conclusión de que el análogo del mapeo gaussiano para una variedad riemanniana abstracta es el haz de esferas unitarias en el haz tangente. Su resultado final de 1944, conocido como fórmula generalizada de Gauss-Bonnet , establece que la característica de Euler de una variedad riemanniana de dimensión par es igual a la integral de Pfaffian de su curvatura. Este teorema había sido probado previamente por Weil y Allendorfer, pero su prueba le pareció insatisfactoria a Weil (se basaba en incrustaciones locales de la variedad en el espacio euclidiano y el posterior pegado, lo que no brinda una comprensión suficiente de la geometría detrás de esta fórmula). Posteriormente, Chern logró encontrar una expresión no solo para la clase de Euler, sino también para las clases de Chern. Trató de definirlos para una variedad riemanniana arbitraria de dimensión uniforme, pero resultó que esto solo era posible para las variedades hermitianas. Esta comprensión fue un paso importante en el desarrollo de la geometría compleja.

Al mismo tiempo, Pontryagin trató de construir clases características a través de formas diferenciales ; consideró solo subvariedades en , pero en lugar de un mapeo gaussiano del límite de un vecindario tubular, consideró un mapeo a Grassmannian, y en 1944 logró escribir fórmulas correctas para las formas características. Sin embargo, no consideró el caso de las variedades abstractas de Riemann y, aparentemente, no conocía el último trabajo de Chern. $\mathbb{R} ^{n}$

El álgebra homológica detrás de la prueba de Chern fue aclarada por Henri Cartan en una nota de 1951 basada en el texto inédito de Weyl. En particular, introdujo el concepto de álgebra de Weyl.

La conexión entre la geometría diferencial de varias aplicaciones gaussianas y las incrustaciones por medio de sistemas lineales en geometría algebraica, que fueron consideradas por los geómetras de la escuela italiana desde Veronese , se hizo evidente solo después del trabajo de Kodaira .

Enlaces

Cartan, Henri (1951), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950, Georges Thone, Liege, pp. 15–27, Sr. 0042426
Wu Hung Hsi. Desarrollo histórico del teorema de Gauss-Bonnet , en Science in China Series A Mathematics abril de 2008