Espacio 4D

El espacio de cuatro dimensiones (notación: 4D o ) es un objeto matemático que generaliza las propiedades de un espacio tridimensional . No debe confundirse con el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la teoría de la relatividad ( espacio de Minkowski ).

Algebraicamente , un espacio de cuatro dimensiones se puede construir como un conjunto de vectores con cuatro coordenadas reales . Geométricamente , en el caso más simple, un espacio de cuatro dimensiones se considera como un espacio euclidiano de cuatro dimensiones; en una consideración más general, tiene una métrica no euclidiana , variable de un punto a otro.

El espacio de cuatro dimensiones también se puede representar como un número infinito de espacios tridimensionales ubicados a lo largo del cuarto eje de coordenadas, al igual que el mundo tridimensional consiste en un número infinito de planos bidimensionales ubicados a lo largo del tercer eje.

Además, por brevedad, el prefijo 4- indica la cuatridimensionalidad del concepto que le sigue. La abreviatura 3D significa espacio tridimensional .

Geometría del espacio euclidiano de cuatro dimensiones

Vectores

Los puntos y vectores en el espacio tridimensional con un sistema de coordenadas determinado se definen mediante tres coordenadas; De manera similar, los puntos y vectores en 4D tienen cuatro coordenadas. Ejemplo de 4 vectores:

La suma y resta de vectores ocurre componente por componente, como en tres dimensiones. El producto escalar de 4 vectores se define mediante la fórmula:

Como en el caso tridimensional, la raíz cuadrada del cuadrado escalar de un vector es su norma : . El ángulo entre vectores está determinado por la misma fórmula que en el espacio tridimensional:

A diferencia del caso tridimensional, en 4D no existe un análogo directo del producto vectorial . En su lugar, se puede utilizar el bivector del producto exterior .

Estereometría

La geometría de los cuerpos en 4D es mucho más compleja que en 3D. En el espacio tridimensional , los poliedros están limitados por polígonos bidimensionales (caras), respectivamente, en 4D hay 4 politopos , limitados por 3 poliedros.

En 3D, hay 5 poliedros regulares conocidos como Sólidos Platónicos . En 4 dimensiones hay 6 4 poliedros convexos regulares , estos son análogos de los sólidos platónicos. Si relajamos las condiciones de regularidad, obtenemos 58 4 politopos semirregulares convexos adicionales, similares a 13 sólidos de Arquímedes semirregulares en tres dimensiones. Si eliminamos la condición de convexidad, obtenemos 10 4-poliedros regulares no convexos adicionales.

Politopos regulares del espacio de cuatro dimensiones
(se muestran proyecciones ortogonales para cada número de Coxeter )
Un 4 , [3,3,3] segundo 4 , [ 4,3,3 ] F 4 , [3,4,3] H4 , [ 5,3,3 ]

cinco celdas
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png


teseracto
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png


celda hexadecimal
CDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo 1.png


veinticuatro celda
CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png


120 celdas
CDel nodo 1.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png


seiscientas celdas
CDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo 1.png

En el espacio 3D, las curvas pueden formar nudos , pero las superficies no (a menos que se intersequen a sí mismas). En 4D, la situación cambia: los nudos de las curvas se pueden desatar fácilmente usando la cuarta dimensión, y se pueden formar nudos no triviales (que no se intersecan a sí mismos) a partir de superficies bidimensionales [1] . Dado que estas superficies son bidimensionales, pueden formar nudos más complejos que en el espacio tridimensional. Un ejemplo de tal nudo de superficies es la conocida " botella de Klein ".

Maneras de visualizar cuerpos 4D

Proyecciones

Proyección: la imagen de una figura n-dimensional en el llamado subespacio de imagen (proyección) de una manera que es una idealización geométrica de los mecanismos ópticos. Entonces, por ejemplo, en el mundo real, el contorno de la sombra de un objeto es una proyección del contorno de este objeto sobre una superficie plana o casi plana: el plano de proyección. Al considerar las proyecciones de cuerpos tetradimensionales, la proyección se realiza sobre un espacio tridimensional, es decir, en relación con el espacio tetradimensional, sobre el subespacio de la imagen (proyección) (es decir, un espacio con un número de dimensiones o, en otras palabras, una dimensión que es 1 menos que el número de dimensiones (dimensión ) del propio espacio en el que se encuentra el cuerpo proyectado). Las proyecciones son paralelas (los rayos de proyección son paralelos) y centrales (los rayos de proyección provienen de algún punto). A veces también se utilizan proyecciones estereográficas. La proyección estereográfica es una proyección central que mapea la esfera n-1 de una bola n-dimensional (con un punto perforado) en el hiperplano n-1. Una N-1-esfera (hiperesfera) es una generalización de una esfera, una hipersuperficie en n-dimensional (con el número de dimensiones o dimensión n) espacio euclidiano, formado por puntos equidistantes de un punto dado, llamado centro de la esfera , una hiperesfera es un cuerpo (una región del hiperespacio), delimitado por una hiperesfera.

Secciones

Sección - una imagen de una figura formada por la disección de un cuerpo por un plano sin representar partes más allá de este plano. Así como se construyen secciones bidimensionales de cuerpos tridimensionales, es posible construir secciones tridimensionales de cuerpos tetradimensionales, y así como las secciones bidimensionales del mismo cuerpo tridimensional pueden diferir mucho en forma, así Las secciones tridimensionales serán aún más diversas, ya que también cambiará el número de caras y el número de lados para cada cara de la sección. La construcción de secciones tridimensionales es más difícil que la creación de proyecciones, ya que las proyecciones pueden obtenerse (especialmente para cuerpos simples) por analogía con las bidimensionales, y las secciones se construyen solo de manera lógica, mientras que cada caso específico es considerado por separado.

Escariadores

El despliegue de una hipersuperficie es una figura obtenida en un hiperplano (subespacio) con tal combinación de puntos de una hipersuperficie dada con este plano, en la que las longitudes de las líneas permanecen invariables. Así como los poliedros 3D pueden estar formados por despliegues de papel, los cuerpos multidimensionales pueden representarse como despliegues de sus hipersuperficies.

Intentos de investigación científica

Después de que Bernhard Riemann fundamentara teóricamente la posibilidad de la existencia de un espacio n -dimensional en 1853 , tanto científicos serios como todo tipo de ocultistas y esoteristas [2] intentaron detectar e investigar hipotéticas dimensiones adicionales del espacio . El matemático inglés del siglo XIX Charles Hinton publicó varios libros sobre el tema y estudió en profundidad el problema de la visualización. En su opinión, nuestro mundo tridimensional divide el mundo cuatridimensional invisible para nosotros en dos partes (similar a cómo un avión divide nuestro espacio por la mitad). Llamó condicionalmente a estas partes en griego Ana (mundo superior) y Kata (mundo inferior) [3] .

En la segunda mitad del siglo XIX - principios del XX, el estudio de este tema fue completamente desacreditado por el espiritismo , que consideraba las dimensiones invisibles como la morada de las almas de los muertos, y los mundos de Ana y Kata a menudo se identificaban con el infierno. y paraíso; Filósofos y teólogos han contribuido. Al mismo tiempo, el tema atrajo la atención de científicos tan destacados como los físicos William Crookes y Wilhelm Weber , el astrónomo Johann Carl Friedrich Zöllner (autor del libro "Física trascendental"), los premios Nobel Lord Rayleigh y Joseph John Thomson [4] . El físico ruso Dmitry Bobylev escribió un artículo enciclopédico sobre el tema.

En 1917, Paul Ehrenfest demostró que la ecuación de Poisson-Laplace , que se utiliza para calcular los campos electromagnético y gravitatorio , no tiene soluciones si el número de dimensiones del espacio es mayor que tres. Además, la propagación sin distorsiones de ondas electromagnéticas y sonoras (sin reverberación ) solo es posible en espacios con dimensiones uno y tres. Estas conclusiones son válidas tanto en la física clásica como en la moderna [5] .

El físico y filósofo Ernst Mach sugirió repetidamente que el número de dimensiones del espacio no es necesariamente igual a tres, por ejemplo, en un artículo de 1872: querían explicar por procesos moleculares en el espacio con tres dimensiones” En 1914, Gunnar Nordström publicó su versión de una nueva teoría de la gravedad, basada en un espacio de cuatro dimensiones en un espacio-tiempo de cinco dimensiones (el modelo 4 + 1); esta teoría no se ajustaba a las observaciones y fue rechazada. En la década de 1920, apareció la teoría de Kaluza-Klein , similar en estructura geométrica (el mismo modelo 4 + 1) , que combinaba la teoría general de la relatividad de Einstein y el electromagnetismo de Maxwell , todos los efectos se explicaban por las propiedades geométricas del espacio y el tiempo. En la teoría de cuerdas moderna , el espacio-tiempo tiene 11 dimensiones, véase dimensiones superiores [6] .

En la literatura

El tema de las dimensiones adicionales del espacio y el tema de los mundos paralelos cercanos a él se ha popularizado durante mucho tiempo en la ciencia ficción y la literatura filosófica. H. G. Wells , uno de los primeros en describir el viaje en el tiempo , en muchas de sus otras obras también se refirió a las dimensiones invisibles del espacio: " Una visita milagrosa ", " Un caso notable con los ojos de Davidson ", "Crystal Egg", "The Stolen Cuerpo”, “ Las personas como dioses ”, La historia de Plattner. En la última historia, una persona expulsada de nuestro mundo por una catástrofe y luego regresa sufre un reflejo espacial; por ejemplo, su corazón resulta estar del lado derecho (sin embargo, debido a algunas diferencias en las propiedades químicas y biológicas de las moléculas de proteína "izquierda" y "derecha", tal organismo puede no ser viable. Vladimir Nabokov describió un cambio similar en la orientación espacial en ¡Mira a los arlequines! (1974). En la ciencia ficción de la segunda mitad del siglo XX, la cuarta dimensión fue utilizada por escritores importantes como Isaac Asimov , Arthur C. Clarke , Frederick Pohl , Clifford Simak y muchos otros. La creación de un teseracto de cuatro dimensiones subyace en la trama de la historia de Robert Heinlein , llamada en la traducción rusa " La casa que construyó Teal " [7] .

Valery Bryusov en 1924 escribió el poema "El mundo de las dimensiones N" [8] .

En la literatura mística, la cuarta dimensión se describe a menudo como la morada de los demonios o las almas de los muertos. Estos motivos se encuentran, por ejemplo, en George MacDonald (la novela "Lilith"), en varios cuentos de Ambrose Bierce , en el cuento de A.P. Chekhov "El secreto". El matemático y teósofo Peter Uspensky desarrolló ideas tanto sobre la comprensión mística de la cuarta dimensión como sobre su interpretación desde un punto de vista científico. En la novela de J. Conrad y F. M. Ford "The Inheritors" ( Los herederos , 1901), los habitantes de la cuarta dimensión intentan capturar nuestro Universo [7] .

En las artes visuales

El concepto de la cuarta dimensión ha tenido un impacto significativo en las artes visuales. El papel de la perspectiva ha declinado; por ejemplo, los cubistas ( Picasso , Metzinger y otros) en sus pinturas a menudo representaban personas y objetos al mismo tiempo desde diferentes ángulos, añadiéndoles así dimensiones (ver, por ejemplo, la pintura " Avignon Maidens "). Guillaume Apollinaire en 1913 escribió [9] .:

Hoy, los científicos ya no se limitan a las tres dimensiones de Euclides. Y los artistas, lo cual es bastante natural (aunque alguien dirá que solo gracias a la intuición), atrajeron nuevas posibilidades de dimensiones espaciales, lo que en el lenguaje de los estudios modernos se conoce como la cuarta dimensión. Existiendo en la mente como una imagen de la plasticidad de un objeto, la cuarta dimensión nace gracias a tres dimensiones conocidas: representa la inmensidad del espacio en todas las direcciones en un momento dado. Es el espacio mismo, la dimensión misma del infinito; la cuarta dimensión dota a los objetos de plasticidad.

El surrealista Marcel Duchamp , que conocía bien las matemáticas multidimensionales y los métodos para su visualización, se dedicó a la búsqueda de nuevos medios . Entre los ejemplos más característicos de su obra se encuentran las pinturas "Desnudo en las escaleras, No. 2" y "Large Glass". Se pueden rastrear motivos similares entre los futuristas , los suprematistas (" las obras de Malevich de este período se asemejan a secciones planas de objetos de dimensiones superiores ") y los surrealistas. Salvador Dalí tiene pinturas "La Crucifixión, o el Cuerpo Hipercúbico" y "En busca de la Cuarta Dimensión" [9] .

Notas

  1. ↑ J. Scott Carter, Masahico Saito. Superficies anudadas y sus diagramas
  2. ↑ Stewart, Ian . Los increíbles números del profesor Stewart = los increíbles números del profesor Stewart. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 85-89. — 422 págs. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
  3. ↑ Ibáñez, Raúl, 2014 , p. 59-60, 71.
  4. ↑ Ibáñez, Raúl, 2014 , p. 75-81..
  5. ↑ Nakhin P. J. El misterio de la máquina del tiempo: viajes en el tiempo en física, filosofía y ficción . - M. : DMK Press, 2021. - S. 85. - 374 p. - ISBN 978-5-97060-871-5 .
  6. ↑ Vladimirov Yu. S., 2010 , p. 63-68.
  7. ↑ 1 2 Ibáñez, Raúl, 2014 , p. 87-102..
  8. ↑ Mundo de N dimensiones
  9. ↑ 1 2 Ibáñez, Raúl, 2014 , p. 133-155..

Literatura

Enlaces