Análisis de infinitesimales

El análisis infinitesimal  es el nombre histórico del cálculo , la rama de las matemáticas superiores que estudia límites , derivadas , integrales y series infinitas , y es una parte importante de la educación matemática moderna. Consta de dos partes principales: cálculo diferencial y cálculo integral , que están interconectados por la fórmula de Newton-Leibniz .

Antigüedad

En la época antigua aparecieron algunas ideas que luego condujeron al cálculo integral, pero en esa época estas ideas no se desarrollaron de manera estricta y sistemática. Los cálculos de volúmenes y áreas, que son uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el Papiro Matemático de Moscú de Egipto (c. 1820 a. C.), pero las fórmulas son más instrucciones, sin ninguna indicación del método, y algunos son simplemente erróneos. [1] En la era de las matemáticas griegas , Eudoxo (c. 408-355 a. C.) utilizó el método de agotamiento para calcular áreas y volúmenes , lo que anticipa el concepto de límite, y más tarde esta idea fue desarrollada por Arquímedes (c. 287). -212 a.C.), inventando heurísticas que se asemejan a los métodos del cálculo integral. [2] El método de agotamiento fue inventado más tarde en China por Liu Hui en el siglo III d. C., que utilizó para calcular el área de un círculo. [3] En el siglo V d.C., Zu Chongzhi desarrolló un método para calcular el volumen de una esfera, que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri . [cuatro]

Edad Media

En el siglo XIV, el matemático indio Madhava Sangamagrama y la escuela de matemáticas astronómicas de Kerala introdujeron muchos componentes del cálculo, como series de Taylor , aproximación de series infinitas , prueba de convergencia integral , formas tempranas de diferenciación, integración término por término, métodos iterativos para resolver ecuaciones no lineales y determinar qué área bajo la curva es su integral. Algunos consideran que Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) es el primer trabajo sobre cálculo. [5]

Era moderna

En Europa se convirtió en una obra fundamental el tratado de Bonaventure Cavalieri , en el que defendía que los volúmenes y las áreas se pueden calcular como la suma de los volúmenes y las áreas de una sección infinitamente delgada. Las ideas eran similares a las expuestas por Arquímedes en Método, pero este tratado de Arquímedes se perdió hasta la primera mitad del siglo XX. El trabajo de Cavalieri no fue reconocido, ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos, y creó una dudosa reputación por sus valores infinitesimales.

El estudio formal del cálculo infinitesimal, que Cavalieri combinó con el cálculo de diferencias finitas , se estaba llevando a cabo en Europa aproximadamente al mismo tiempo. Pierre Fermat , afirmando que tomó prestado esto de Diofanto , introdujo el concepto de "cuasi-igualdad" ( inglés  adequality ), que era la igualdad hasta un error infinitesimal. [7] John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory también hicieron contribuciones importantes . Los dos últimos alrededor de 1675 demostraron el segundo teorema fundamental del cálculo .

Isaac Newton introdujo la regla del producto y la regla de la cadena , el concepto de derivadas de orden superior , series de Taylor y funciones analíticas en una notación peculiar, que utilizó para resolver problemas de física matemática . En sus publicaciones, Newton reformuló sus ideas de acuerdo con el lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos infinitesimales con otras formas equivalentes de representaciones geométricas que se consideraban perfectas. Usó los métodos del cálculo para resolver los problemas del movimiento planetario, la forma de las superficies de un fluido en rotación, el achatamiento de la Tierra, el deslizamiento de una carga sobre una cicloide y muchos otros problemas, que esbozó en su obra. Principios matemáticos de la filosofía natural (1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones en serie de funciones, incluidas aquellas que usaban potencias fraccionarias e irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie de Taylor . No publicó todos sus descubrimientos, porque en ese momento los métodos infinitesimales tenían una reputación dudosa.

Estas ideas fueron codificadas en verdadero cálculo infinitesimal por Gottfried Wilhelm Leibniz , quien inicialmente fue acusado de plagio por Newton . [8] Actualmente es considerado un inventor y desarrollador independiente del cálculo. Su aporte radica en el desarrollo de reglas claras para trabajar con infinitesimales, que permitan el cálculo de derivadas de segundo y orden superior, así como en el desarrollo de la regla del producto y la regla de la cadena en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz prestó gran atención al formalismo, a menudo dedicando muchos días a elegir los símbolos correctos para conceptos específicos.

La invención del cálculo se suele atribuir tanto a Leibniz como a Newton . Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general , y Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo actual. La idea principal que mostraron tanto Newton como Leibniz fue el descubrimiento de las leyes de diferenciación e integración, la introducción de derivadas de segundo orden y de mayor orden, y la introducción del concepto de aproximación en serie de polinomios. En la época de Newton ya se conocía el teorema fundamental del cálculo.

Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, no hubo un desacuerdo serio en ese momento sobre la prioridad del matemático (y por lo tanto del país) en esta innovación. Newton fue el primero en obtener sus resultados, pero Leibniz fue el primero en publicar los suyos. Newton afirmó más tarde que Leibniz había robado sus ideas de notas inéditas que Newton había compartido con varios miembros de la Royal Society . Esta controversia separó a los matemáticos de habla inglesa de sus homólogos continentales durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas. Un estudio cuidadoso del trabajo de Leibniz y Newton mostró que obtuvieron sus resultados independientemente el uno del otro, Leibniz comenzó con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy, el desarrollo del cálculo se atribuye tanto a Newton como a Leibniz. Recibimos el nombre de la nueva disciplina de Leibniz. Newton llamó a su cálculo "métodos de derivadas".

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al mayor desarrollo del cálculo. Uno de los primeros trabajos más completos sobre el análisis de finito e infinitesimal fue un libro escrito en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . [9]

Fundaciones

En matemáticas, los fundamentos se refieren a una definición estricta de un tema, a partir de axiomas y definiciones precisas. En la etapa inicial del desarrollo del cálculo, el uso de cantidades infinitesimales se consideró no estricto y fue objeto de duras críticas por parte de varios autores, principalmente Michel Rolle y Bishop Berkeley . Berkeley describió los infinitesimales como "fantasmas de cantidades muertas" en su libro The Analyst en 1734. El desarrollo de fundamentos rigurosos para el cálculo ocupó a los matemáticos durante más de un siglo después de Newton y Leibniz, y todavía es un área de investigación activa en la actualidad.

Varios matemáticos, incluido Maclaurin , intentaron demostrar la validez del uso de los infinitesimales, pero esto solo se hizo 150 años después con los trabajos de Cauchy y Weierstrass , quienes finalmente encontraron la manera de evitar las "pequeñas cosas" simples de los infinitesimales, y se sentaron los inicios del cálculo diferencial e integral. En los escritos de Cauchy encontramos un espectro universal de enfoques fundamentales, incluida la definición de continuidad en términos de infinitesimales y el prototipo (algo impreciso) de la definición de límite (ε, δ) en la definición de diferenciación. En su obra, Weierstrass formaliza el concepto de límite y elimina las cantidades infinitesimales. Después de este trabajo de Weierstrass, los límites, y no las cantidades infinitesimales, se convirtieron en la base general del cálculo. Bernhard Riemann usó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. También, durante este período, las ideas del cálculo se generalizaron al espacio euclidiano y al plano complejo .

En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en la sección de análisis real , que contiene definiciones completas y demostraciones de teoremas en cálculo. El alcance de la investigación del cálculo se ha vuelto mucho más amplio. Henri Lebesgue desarrolló la teoría de las medidas establecidas y la usó para definir integrales de todas las funciones excepto las más exóticas. Laurent Schwartz introdujo funciones generalizadas , que pueden usarse para calcular las derivadas de cualquier función.

La introducción de límites determinó no el único acercamiento riguroso a la base del cálculo. Una alternativa sería, por ejemplo, el análisis no estándar de Abraham Robinson . El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza herramientas técnicas de la lógica matemática para extender el sistema de números reales a infinitesimales e infinitos, como fue el caso en el concepto original de Newton-Leibniz. Estos números, llamados hiperreales , se pueden utilizar en las reglas habituales del cálculo, de forma similar a lo que hizo Leibniz.

Importancia

Aunque algunas ideas de cálculo se habían desarrollado previamente en Egipto , Grecia , China , India , Irak, Persia y Japón , el uso moderno del cálculo comenzó en Europa en el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores sus principios básicos. El desarrollo del cálculo se basó en los conceptos anteriores de movimiento instantáneo y área bajo una curva.

El cálculo diferencial se utiliza en cálculos relacionados con la velocidad y la aceleración , el ángulo de la curva y la optimización . Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran áreas , volúmenes , longitudes de arco , centros de masa , trabajo y presión . Las aplicaciones más complejas incluyen cálculos de series de potencias y series de Fourier .

Cálculo[ refinar ] también se usa para tener una idea más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos han luchado con las paradojas asociadas con dividir por cero o encontrar la suma de una serie infinita de números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el cálculo de áreas. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona herramientas para resolver estas paradojas, en particular, límites y series infinitas.

Límites e infinitesimales

Las cantidades infinitamente pequeñas pueden considerarse números, pero aún así son "infinitamente pequeñas". Un número infinitesimal dx es mayor que 0, pero menor que cualquiera de los números de la secuencia 1, 1/2, 1/3,... y menor que cualquier número real positivo . Tomado un múltiplo de veces, un infinitesimal sigue siendo infinitesimal, es decir, los infinitesimales no satisfacen el axioma de Arquímedes . Desde este punto de vista, el cálculo es un conjunto de métodos para tratar infinitesimales. Este enfoque no fue apoyado en el siglo XIX, porque era difícil representar el concepto de un infinitesimal exacto. Sin embargo, el concepto revivió en el siglo XX con la llegada del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave , que proporcionó una base sólida para la manipulación de los infinitesimales.

En el siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados por límites . Los límites describen el valor de una función para alguna entrada en términos de su valor para una entrada vecina. Cubren cambios de pequeña escala, como infinitesimal, pero se utilizan para el sistema habitual de números reales. En esta interpretación, el cálculo es un conjunto de métodos para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por números muy pequeños, y los cambios infinitesimales en la función se encuentran asumiendo un comportamiento límite en números cada vez más pequeños. Los límites son la forma más fácil de establecer una base rigurosa para el cálculo y, por esta razón, se aceptan como el enfoque estándar.

Notación de Leibniz

La notación introducida por Leibniz para la derivada se ve así:

En el enfoque newtoniano basado en límites, el símbolo dy/dx no debe interpretarse como un cociente de la división de dos números, sino como una abreviatura del límite calculado anteriormente. Leibniz, por su parte, buscó representarlo como el cociente de dos números infinitesimales: dy  - diferencial , es decir, un cambio infinitesimal en y , y dx  - un cambio infinitesimal en x que provoca un cambio en y [10] .

Incluso cuando se representa el cálculo utilizando límites en lugar de infinitesimales, la notación es genérica para manipular símbolos como si dx y dy fueran números reales. Aunque, para evitar tales manipulaciones, a veces es conveniente utilizar este tipo de notaciones en la expresión de la operación, como, por ejemplo, esta se utiliza para denotar la derivada total .

Notas

  1. ↑ Morris Kline, Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , vol. yo
  2. ↑ Arquímedes, Método , en Las obras de Arquímedes ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑ Dun, Liu; Abanico, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Estudios chinos en la historia y filosofía de la ciencia y la tecnología  (inglés)  : revista. - Springer, 1966. - vol. 130 . — Pág. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , Capítulo, pág. 279 Archivado el 26 de mayo de 2016 en Wayback Machine .
  4. ↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Cálculo: primeros  trascendentales . — 3. — Aprendizaje de Jones y Bartlett, 2009. - P. xxvii. — ISBN 0-763-75995-3 . , Extracto de la página 27 Archivado el 21 de abril de 2019 en Wayback Machine .
  5. ↑ Matemáticas indias . Consultado el 16 de febrero de 2012. Archivado desde el original el 3 de julio de 2006.
  6. ↑ von Neumann, J., "The Mathematician", en Heywood, RB, ed., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, págs. 180-196. Reimpreso en Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , págs. 618-626.
  7. ↑ André Weil: Teoría de números. Una aproximación a través de la historia. De Hammurapi a Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , pág. 28
  8. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Copia archivada el 16 de julio de 2017 en Wayback Machine .
  9. ↑ Unlu, Elif María Gaetana Agnesi . Agnes Scott College (abril de 1995). Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2012.
  10. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 281-282.

Literatura

Enlaces

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