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La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 4 de diciembre de 2019; la verificación requiere 1 edición .El enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con dos o más componentes [1] , consiste en dos círculos enlazados una vez [2] y lleva el nombre de Heinz Hopf [3] .
Representación geométrica
El modelo específico consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, de manera que cada uno pasa por el centro del otro [2] . Este modelo minimiza la longitud de la cuerda (la longitud de la cuerda es una invariante de la teoría del nudo) del eslabón, y hasta 2002 el eslabón de Hopf era el único del que se conocía la longitud de la cuerda [4] . El casco convexo de estos dos círculos forma un cuerpo llamado oloide [5] .
Propiedades
Dependiendo de la orientación relativa de los dos componentes , el coeficiente de enlace de Hopf es ±1 [6] .
El enlace de Hopf es un enlace (2,2) -tórico [7] con una palabra descriptiva [8] .
El complemento enlace de Hopf es, un cilindro sobre un toro [9] . Este espacio tiene una geometría localmente euclidiana , por lo que el enlace de Hopf no es hiperbólico . El grupo nudo de enlace de Hopf ( el grupo fundamental de su complemento) es( un grupo abeliano libre en dos generadores) y distingue el enlace de Hopf de dos círculos no enlazados, que corresponden al grupo libre en dos generadores [10] .
El enlace Hopf no puede ser tricolor . Esto se deriva directamente del hecho de que un enlace se puede colorear con solo dos colores, lo que contradice la segunda parte de la definición de coloración. Cada intersección tendrá un máximo de 2 colores, por lo que al colorear incumpliremos el requisito de tener 1 o 3 colores en cada intersección, o incumpliremos el requisito de tener más de 1 color.
Paquete Hopf
El paquete de Hopf es un mapeo continuo desde una 3 esferas (una superficie tridimensional en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones ) hasta la más familiar 2 esferas , de modo que la imagen inversa de cada punto en la 2 esferas es un círculo. Así, se obtiene una descomposición de las 3 esferas en una familia continua de círculos, y cada dos círculos diferentes de esta familia forman un enlace de Hopf. Este hecho llevó a Hopf a estudiar los enlaces de Hopf; dado que dos capas cualesquiera están enlazadas , el paquete de Hopf es un paquete no trivial . Este fue el comienzo del estudio de los grupos homotópicos de esferas [11] .
Historia
El enlace lleva el nombre del topólogo Heinz Hopf , quien lo estudió en 1931 en su trabajo sobre la fibración de Hopf [12] . Sin embargo, este vínculo fue utilizado por Gauss [3] , y fuera de las matemáticas se encontró mucho antes, por ejemplo, como el emblema de la secta budista japonesa Buzan-ha , fundada en el siglo XVI.
Véase también
- Catenanos , compuestos químicos con dos moléculas unidas mecánicamente
- Nudo de Salomón , dos anillos de doble dentado
Notas
- ↑ Adams, 2004 , pág. 151.
- ↑ 1 2 Kusner y Sullivan 1998 , pág. 67–78.
- ↑ 1 2 Prasolov, Sosinsky, 1997 , p. 12
- ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , pág. 257–286.
- ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , pág. 105–118.
- ↑ Adams, 2004 .
- ↑ Kauffman, 1987 , pág. 373.
- ↑ Adams, 2004 , pág. 133, Ejercicio 5.22.
- ↑ Turaev, 2010 , pág. 194.
- ↑ Hatcher, 2002 , pág. 24
- ↑ Shastri, 2013 , pág. 368.
- ↑ Hopf, 1931 , pág. 637–665.
Literatura
- Prasolov V. V., Sosinsky A. B. . Nudos, eslabones, trenzas y variedades tridimensionales. - M. : MTSNMO, 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .
- Adams, Colin Conrad. . El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos. - Sociedad Matemática Americana, 2004. - ISBN 9780821836781 .
- Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. Sobre la longitud mínima de la cuerda de nudos y eslabones // Inventiones Mathematicae. - 2002. - vol. 150, núm. 2.- doi : 10.1007/s00222-002-0234-y . -arXiv : matemáticas / 0103224 .
- Dirnböck H., Stachel H. El desarrollo del oloide // Journal for Geometry and Graphics. - 1997. - vol. 1, no. 2.
- Hatcher, Allen. . Topología algebraica. - 2002. - ISBN 9787302105886 .
- Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen . - Berlín: Springer , 1931. - doi : 10.1007/BF01457962 .
- Kauffman, Louis H. Sobre Nudos. - Prensa de la Universidad de Princeton, 1987. - vol. 115.- (Anales de Estudios Matemáticos). — ISBN 9780691084350 .
- Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topología y geometría en la ciencia de los polímeros (Minneapolis, MN, 1996). - Nueva York: Springer, 1998. - vol. 103.- (IMA Vol. Math. Appl.). -doi : 10.1007 / 978-1-4612-1712-1_7 .
- Shastri, Anant R. . Topología algebraica básica. - CRC Press, 2013. - ISBN 9781466562431 .
- Turaev, Vladímir G. . Invariantes cuánticas de nudos y 3-variedades. - Walter de Gruyter, 2010. - Vol. 18.- (Estudios de De Gruyter en matemáticas). — ISBN 9783110221831 .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Hopf Enlace (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Hopf link , El atlas de nudos