Grupo conforme

El grupo conforme de un espacio es el grupo de transformaciones de un espacio en sí mismo conservando los ángulos. Más formalmente, es un grupo de transformaciones que preserva la geometría conforme del espacio.

Algunos grupos conformes específicos son especialmente importantes:

• Grupo ortogonal conforme . Si V  es un espacio vectorial de forma cuadrática Q , entonces el grupo ortogonal conforme es el grupo de transformaciones lineales T del espacio V tal que para cada x en V existe un escalar tal que Para una forma cuadrática de signo definido (es decir, definida positiva o definida negativamente), el grupo ortogonal conforme es igual al grupo ortogonal multiplicado por el grupo de dilatación .

• El grupo conforme de la esfera generado por inversiones con respecto a los círculos. Este grupo también se conoce como el grupo de Möbius .
• En el espacio euclidiano , n > 2 , el grupo conforme se genera por inversiones con respecto a las hiperesferas .
• En un espacio pseudo-euclidiano, el grupo conforme es [1] .

Todos los grupos conformes son grupos de Lie .

Análisis de ángulos

En la geometría euclidiana uno esperaría que la característica fuera el ángulo estándar , pero en el espacio pseudo-euclidiano también hay un ángulo hiperbólico . En relatividad especial, diferentes puntos de referencia para el cambio de velocidad en relación con otros puntos de referencia están asociados con la rapidez , el ángulo hiperbólico. Una forma de describir el impulso de Lorentz  es una rotación hiperbólica que conserva la diferencia de ángulo entre las rapidezes. Por lo tanto, son transformaciones conformes con respecto a ángulos hiperbólicos.

Un enfoque para describir un grupo conforme adecuado es imitar el grupo de Möbius como el grupo conforme del plano complejo ordinario . La geometría pseudo-euclidiana corresponde a planos complejos alternativos donde los puntos son números complejos divididos o números dobles en lugar de los números complejos habituales. Así como el grupo de Möbius requiere una esfera de Riemann , un espacio compacto , para una descripción completa, los planos complejos alternativos requieren una compactación de un mapeo conforme para una descripción completa. En cada caso, el grupo conforme viene dado por transformaciones fraccionarias lineales en un plano adecuado [2] .

El grupo espacio-temporal conforme

En 1908, Harry Bateman y Ebenezer Cunningham [3] , dos jóvenes investigadores de la Universidad de Liverpool, anunciaron la idea de un grupo de espacio-tiempo conforme [4] [5] [6] (ahora conocido comúnmente como ) [ 7] . Argumentaron que los grupos cinemáticos son conformes porque conservan la forma cuadrática del espacio-tiempo y, por lo tanto, son similares a las transformaciones ortogonales , consideradas como una forma cuadrática isotrópica . Las libertades del campo electromagnético no se extienden a los movimientos cinemáticos, sino que solo requieren que sean localmente proporcionales a las transformaciones de preservación cuadrática. En un artículo de Harry Bateman de 1910, estudia la matriz jacobiana de una transformación que conserva el cono de luz y muestra que la transformación tiene la propiedad de conformidad [8] . Bateman y Cunningham demostraron que este grupo conforme es "el grupo más grande de transformaciones que dejan las ecuaciones de Maxwell estructuralmente invariantes" [9] .

Isaac Moiseevich Yaglom contribuyó a las matemáticas del espacio-tiempo considerando transformaciones conformes en números dobles [10] . Dado que los dobles tienen las propiedades de un anillo , pero no de un campo , las transformaciones fraccionarias lineales requieren que la línea proyectiva sobre el anillo sea un mapa biyectivo.

Tradicionalmente, siguiendo un artículo de Ludwik Silberstein (1914), se utiliza un anillo de bicuaternión para representar el grupo de Lorentz . Para un grupo de espacio-tiempo conforme, es suficiente considerar transformaciones lineales-fraccionales en la línea proyectiva sobre este anillo. Los elementos del grupo conforme del espacio-tiempo son llamados por Bateman la transformación esférica de la onda . El estudio específico de la forma cuadrática del espacio-tiempo fue absorbido por la Geometría esférica de Lie .

Notas

1. ↑ Vaz, da Rocha, 2016 , pág. 140.
2. ↑ Takasu, 1941 , pág. 330–8.
3. ↑ En el libro de Kosyakov - Harry Bateman y Ebenezer Canningham
4. ↑ Bateman, 1908 , pág. 70–89.
5. ↑ Bateman, 1910 , pág. 223–264.
6. ↑ Cunningham, 1910 , pág. 77–98.
7. ↑ Kosyakov, 2017 , pág. 225.
8. ↑ Warwick, 2003 , pág. 416–24.
9. ↑ Gilmore, 1994 , pág. 349.
10. ↑ Yaglom, 1969 .

Literatura

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. Introducción a las álgebras y espinores de Clifford. - Oxford University Press, 2016. - Pág. 140. - ISBN 9780191085789 .
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri //Actas de la Academia Imperial . - 1941. - T. 17.
• Harry Batman . Las transformaciones conformes de un espacio de cuatro dimensiones y sus aplicaciones a la óptica geométrica // Actas de la London Mathematical Society. - 1908. - T. 7 . -doi :/ plms/s2-7.1.70 .
• Harry Batman . La transformación de las ecuaciones electrodinámicas // Actas de la London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . -doi :/ plms/s2-8.1.223 .
• Ebenezer Cunningham. El principio de la relatividad en electrodinámica y una extensión del mismo // Actas de la London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . — págs. 77–98 . -doi : 10.1112 / plms/s2-8.1.77 .
• Kosyakov B.P. Introducción a la teoría clásica de los campos de partículas. - Moscú, Izhevsk, 2017. - ISBN 978-5-4344-0450-1 .
• Andrés Warwick. Maestría en teoría: Cambridge y el surgimiento de la física matemática. - Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago , 2003. - ISBN 0-226-87375-7 .
• Roberto Gilmore. Grupos de Lie, Álgebras de Lie y algunas de sus Aplicaciones. - Publicaciones de Robert E. Krieger, 1994. - ISBN 0-89464-759-8 . Primera edición 1974
• El principio de relatividad de Galileo y la geometría no euclidiana. - Moscú: "Nauka", 1969. - (Biblioteca del Círculo Matemático).

Lectura para leer más

• Kobayashi Sh . Grupos de transformación en geometría diferencial. - "Ciencia", 1986.
• Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoría de grupos y simetrías. grupos finales. Lie grupos y álgebras. - Editorial URSS. 2018. 491 s
• Geometría diferencial de Sharpe RW : generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein. - Nueva York: Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-94732-9 .
• Pedro Sherk. Algunos conceptos de geometría conforme // American Mathematical Monthly . - 1960. - T. 67 , núm. 1 . — P. 1−30 . -doi : 10.2307/ 2308920 .