Ecuación de Dirac

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La ecuación de Dirac es una ecuación de movimiento relativistamente invariante para un campo de electrones clásico bispinor , también aplicable para describir otros fermiones puntuales con espín 1/2; establecido por Paul Dirac en 1928 .

La ecuación de Dirac, junto con las ecuaciones de Maxwell, permite explicar la interacción de los electrones libres con un campo electromagnético, la dispersión de la luz por un electrón (efecto Compton), la creación de un par electrón-positrón por un fotón, etc. [1] Generaliza significativamente las ecuaciones clásicas de Newton, las ecuaciones clásicas relativistas del movimiento de partículas y la ecuación de Schrödinger [2] .

Por el descubrimiento de esta ecuación, P. Dirac recibió el Premio Nobel de Física en 1933 [3] [4] .

Tipo de ecuación

La ecuación de Dirac se escribe como

\left(mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\right)\psi (\mathbf { x} ,t)=i\hbar {\frac {\parcial \psi }{\parcial t))(\mathbf {x} ,t),

donde es la masa de un electrón (u otro fermión descrito por la ecuación), es la velocidad de la luz , son los tres operadores de las componentes del momento (en x, y, z ), es la constante de Planck , x =( x, y, z ) y t son las coordenadas espaciales y el tiempo, respectivamente, y son la función de onda compleja de cuatro componentes (bispinor). $metro\$ $C\$ $p_j = - yo \hbar \parcial_j$ $\hbar = {h \sobre 2 \pi}$ $h$ $\psi(\mathbf{x},t)$

$\alfa _{0}, \alfa _{1}, \alfa _{2}, \alfa _{3}\$ son operadores lineales sobre el espacio de bispinores que actúan sobre la función de onda ( matrices de Pauli ). Estos operadores se eligen de modo que cada par de tales operadores conmute, y el cuadrado de cada uno sea igual a uno:

\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,

donde y los índices varían de 0 a 3,

yo\neq j

yo, j\

\alpha _{i}^{2}=1

de 0 a 3.

i\

En la representación en discusión, estos operadores son matrices de 4 × 4 (este es el tamaño mínimo de las matrices para las que se cumplen las condiciones de anticonmutación), llamadas matrices alfa de Dirac .

El operador completo entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación se denomina operador de Dirac (más precisamente, en la terminología moderna debería llamarse hamiltoniano de Dirac, ya que el operador de Dirac ahora suele llamarse operador covariante D , con el cual la ecuación de Dirac se escribe como DΨ = 0, como se describe en el siguiente comentario).

En la física moderna, a menudo se usa la forma de escritura covariante [5] de la ecuación de Dirac (para más detalles, véase más abajo):

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \parcial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Significado físico

Electrón, positrón

De la ecuación de Dirac se deduce que el electrón tiene su propio momento mecánico de impulso - espín igual a ħ/2, así como su propio momento magnético igual (sin tener en cuenta la relación giromagnética) al magnetón de Bohr eħ/2mc, que fue descubierto previamente (1925) experimentalmente (e y m son la carga y la masa del electrón, c es la velocidad de la luz, ħ es la constante de Dirac o la constante de Planck reducida). Usando la ecuación de Dirac, se obtuvo una fórmula más precisa para los niveles de energía del átomo de hidrógeno y los átomos (iones) similares al hidrógeno , incluida la estructura fina de los niveles, y se explicó el efecto Zeeman . Con base en la ecuación de Dirac, se encontraron fórmulas para las probabilidades de dispersión de fotones por electrones libres ( efecto Compton ) y radiación de electrones durante su desaceleración ( bremsstrahlung ), que recibió confirmación experimental. Sin embargo, la electrodinámica cuántica proporciona una descripción relativista coherente del movimiento de un electrón .

Un rasgo característico de la ecuación de Dirac es la presencia entre sus soluciones de aquellas que corresponden a estados con valores de energía negativos para el movimiento libre de una partícula (que corresponde a una masa de partícula negativa ). Esto presentó una dificultad para la teoría, ya que todas las leyes mecánicas para partículas en tales estados serían incorrectas, mientras que las transiciones a estos estados son posibles en la teoría cuántica. El significado físico real de las transiciones a niveles con energía negativa quedó claro más tarde, cuando se demostró la posibilidad de interconversión de partículas. De la ecuación de Dirac se deducía que debería haber una nueva partícula (antipartícula en relación con el electrón) con la masa del electrón y la carga eléctrica de signo opuesto; tal partícula fue descubierta en 1932 por K. Anderson y la denominó positrón . Este fue un gran éxito para la teoría del electrón de Dirac. La transición de un electrón de un estado con energía negativa a un estado con energía positiva y la transición inversa se interpretan como el proceso de formación de un par electrón-positrón y la aniquilación de dicho par.

Aplicaciones para otras partículas

La ecuación de Dirac es válida no solo para electrones, sino también para otras partículas elementales con espín 1/2 (en unidades de ħ) - fermiones (por ejemplo, muones , neutrinos ).

En este caso, se obtiene un buen acuerdo con la experiencia mediante la aplicación directa de la ecuación de Dirac a partículas simples (en lugar de compuestas).

Para el protón y el neutrón (partículas compuestas que consisten en quarks unidos por un campo de gluones , pero que también poseen espín 1/2), cuando se aplica directamente (como a partículas simples), conduce a valores incorrectos de momentos magnéticos: el magnético momento del protón "Dirac" "debería ser" es igual al magnetón nuclear eħ/2Mc (M es la masa del protón), y el neutrón (ya que no está cargado) es igual a cero. La experiencia demuestra que el momento magnético del protón es aproximadamente 2,8 veces mayor que el del magnetón nuclear, y el momento magnético del neutrón es negativo y en valor absoluto es aproximadamente 2/3 del momento magnético del protón. Este fenómeno se denomina momento magnético anómalo del protón y el neutrón.

El momento magnético anómalo de estas partículas indica su estructura interna y es una de las importantes confirmaciones experimentales de su estructura de quarks.

De hecho, esta ecuación es aplicable a los quarks, que también son partículas elementales con espín 1/2. La ecuación de Dirac modificada se puede utilizar para describir protones y neutrones , que no son partículas elementales (están formados por quarks).

La ecuación de Dirac y la teoría cuántica de campos

La ecuación de Dirac no describe la amplitud de probabilidad de un electrón, como podría parecer, sino la cantidad asociada con la carga y la densidad de corriente de la partícula de Dirac: debido a la conservación de la carga, la cantidad que se consideró la probabilidad total de encontrar la partícula se conserva. Por lo tanto, la ecuación de Dirac es de muchas partículas desde el principio.

Una teoría que incluye solo la ecuación de Dirac interactuando con un campo electromagnético externo clásico no tiene en cuenta correctamente la creación y aniquilación de partículas. Predice bien el momento magnético del electrón y la estructura fina de las líneas en el espectro de los átomos. Explica el espín del electrón porque dos de las cuatro soluciones de la ecuación corresponden a dos estados de espín del electrón. Las dos soluciones restantes con energía negativa corresponden a la antipartícula electrónica ( positrón ), predicha por Dirac a partir de su teoría y descubierta experimentalmente casi inmediatamente después.

A pesar de estos éxitos, dicha teoría tiene la desventaja de que no describe la interacción de un campo de electrones cuantificado con un campo electromagnético cuantificado, incluida la creación y aniquilación de partículas, uno de los procesos fundamentales de la teoría relativista de campos en interacción. Esta dificultad se resuelve en la teoría cuántica de campos . En el caso de los electrones, se agrega un campo electromagnético cuantizado, una cuantización del propio campo de electrones y la interacción de estos campos, y la teoría resultante se llama electrodinámica cuántica .

Derivación de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una generalización relativista de la ecuación de Schrödinger :

H\izquierda| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \psi (t) \right\rangle.

Por conveniencia, trabajaremos en la representación de coordenadas, en la que el estado del sistema viene dado por la función de onda ψ ( x , t ). En esta representación, la ecuación de Schrödinger se puede escribir en la forma

H\psi (\mathbf {x},t)=i\hbar {\frac {\parcial \psi (\mathbf {x},t)}{\parcial t)),

donde el hamiltoniano H ahora actúa sobre la función de onda.

Debemos definir el hamiltoniano para que describa la energía total del sistema. Considere un electrón libre (que no interactúa con nada, aislado de todos los campos extraños). Para un modelo no relativista, tomaríamos un hamiltoniano similar a la energía cinética de la mecánica clásica (sin tener en cuenta ni las correcciones relativistas ni el espín en este caso):

H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m},

donde p j son operadores de proyección de momento, y el índice j =1,2,3 denota coordenadas cartesianas. Cada uno de estos operadores actúa sobre la función de onda como una derivada espacial:

p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\parcial\psi (\mathbf{x},t)}{ \parcial x_j}.

Para describir una partícula relativista, debemos encontrar otro hamiltoniano. Al mismo tiempo, hay razones para suponer que el operador de cantidad de movimiento conserva la definición que acabamos de dar. Según la relación relativista, la energía total del sistema se expresa como

E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.

Esto lleva a la expresión

\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{dt}.

Esta no es una ecuación completamente satisfactoria, ya que no se ve una covarianza explícita de Lorentz (que expresa la igualdad formal de tiempo y coordenadas espaciales, que es una de las piedras angulares de la teoría especial de la relatividad ), y además, la raíz escrita del operador es no escrito explícitamente. Sin embargo, elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho da como resultado una ecuación de Klein-Gordon explícitamente covariante de Lorentz . Dirac sugirió que dado que el lado derecho de la ecuación contiene la primera derivada con respecto al tiempo, entonces el lado izquierdo también debería tener solo derivadas de primer orden con respecto a las coordenadas espaciales (en otras palabras, operadores de momento hasta el primer grado). Entonces, suponiendo que los coeficientes frente a las derivadas, cualquiera que sea su naturaleza, sean constantes (debido a la homogeneidad del espacio), sólo queda escribir:

i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi

— esta es la ecuación de Dirac (para una partícula libre).

Sin embargo, aún no hemos determinado los coeficientes . Si la conjetura de Dirac es correcta, entonces el lado derecho al cuadrado debería dar $\alpha_i\$

(mc^{2})^{2}+\sum_{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2},

eso es

\left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2 = (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc) ^ 2.

Simplemente expandiendo los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación resultante, obtenemos las siguientes condiciones en α:

{\ estilo de visualización \ alfa _ {i} \ alfa _ {j} + \ alfa _ {j} \ alfa _ {i} = 0}

para todos

i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),

{\ estilo de visualización \ alfa _ {i} ^ {2} = 1}

para todos

{\ estilo de visualización i = 0,1,2,3\,}

o, en definitiva, escribiéndolo todo junto:

\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\

por

\ i, j = 0, 1, 2, 3,

o, aún más corto, usando llaves para denotar anticonmutadores:

\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\

por

\i,j = 0, 1, 2, 3.

donde {,} es el anticonmutador definido como { A ,B } ≡ AB + BA , y δij es el símbolo de Kronecker , que toma el valor 1 si los dos índices son iguales y 0 en caso contrario. Véase Álgebra de Clifford .

Dado que tales relaciones no se pueden mantener para los números ordinarios (después de todo, los números conmutan, pero α no), queda (la forma más fácil) suponer que α son algún tipo de operadores lineales o matrices (entonces unos y ceros a la derecha). lado de las relaciones se puede considerar respectivamente operador de identidad y cero o matriz), y uno puede intentar encontrar un conjunto específico α usando estas relaciones (y tiene éxito).

Es aquí donde queda absolutamente claro por primera vez que la función de onda no debe ser de un solo componente (es decir, no escalar), sino vectorial, es decir, los vectores de algún espacio "interno" abstracto, no directamente relacionado con la física ordinaria. espacio o espacio-tiempo.

Las matrices deben ser hermitianas para que el hamiltoniano sea también un operador hermitiano. La dimensión más pequeña de las matrices que satisfacen los criterios anteriores son las matrices complejas de 4 × 4, aunque su elección específica (o representación ) no es única. Estas matrices con la operación de multiplicación de matrices forman un grupo. Aunque la elección de la representación de este grupo no afecta las propiedades de la ecuación de Dirac, sí afecta el significado físico de los componentes de la función de onda. La función de onda, obviamente, debe ser un campo vectorial abstracto complejo de cuatro dimensiones (no directamente relacionado con los vectores espacio-temporales habituales) (es decir, un campo bispinor).

En la introducción, hemos dado la representación utilizada por Dirac. Esta representación se puede escribir correctamente como

\alpha _{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \alpha _{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j }\\\sigma _{j}&0\end{bmatriz}},

donde 0 e I son matrices cero e identidad de 2×2, respectivamente, y σ j ( j = 1, 2, 3) son matrices de Pauli , que, por cierto, son la representación matricial de los cuaterniones , que se conocen desde hace mucho tiempo anticonmutación

El hamiltoniano en esta ecuación

{\displaystyle H=\,mc^{2}\alpha_{0}+c\sum_{j=1}^{3}\alpha_{j}p_{j))

se llama hamiltoniano de Dirac .

Para la ecuación de Dirac habitual en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional, pero con m = 0, en lugar de las matrices alfa, bastan simplemente las matrices de Pauli; en lugar de un campo bispinor de cuatro componentes, el papel de la función de onda lo desempeñará un campo espinor de dos componentes.

También la ecuación de Dirac

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \parcial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

se puede derivar de consideraciones de teoría de grupos como una ecuación que es invariante bajo las transformaciones de Poincaré y describe la función de onda de una partícula elemental con masa , espín , energía positiva, paridad P fija. [6] $metro$ $1/2$

La naturaleza de la función de onda

Dado que la función de onda ψ actúa sobre matrices de 4 × 4, debe ser un objeto de cuatro componentes. A continuación se demostrará que la función de onda tiene dos grados de libertad, uno de los cuales corresponde a las energías positivas y el otro a las negativas. Cada uno de ellos tiene dos grados de libertad más asociados con la proyección del giro en una dirección seleccionada, condicionalmente a menudo denotada por las palabras "arriba" o "abajo".

Podemos escribir la función de onda como una columna:

\psi ({\mathbf {x)),t)\ {\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\ {\begin{bmatrix}\psi _{1}({\mathbf {x} },t)\\\psi _{2}({\mathbf {x)),t)\\\psi _{3}({\mathbf {x)),t)\\\psi _{4} ({\mathbf {x}},t)\end{bmatriz}}.

La función de onda dual se escribe como una cadena:

{\bar {\psi }}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}{\bar {\psi }}({\mathbf {x}},t)\ {\stackrel {{ \mathrm {def}}}{=}}\ \psi ^{\dagger }\alpha ^{0},

dónde

\psi ^{\daga }={\begin{bmatrix}\psi _{1}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{2}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{3}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{4}^{*}({\mathbf {x)),t )\end{bmatriz}}

(el símbolo * denota la conjugación compleja habitual ).

Al igual que con la función de onda habitual de un componente, se puede introducir el cuadrado del módulo de la función de onda, que da la densidad de probabilidad en función de la coordenada x y el tiempo t . En este caso, el papel del cuadrado del módulo lo juega el producto escalar de la función de onda y su dual, es decir, el cuadrado de la norma hermitiana del bispinor:

\bar{\psi} \psi = \bar{\psi}(\mathbf{x},t) \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{a, b = 1}^4 \ psi_a^*(\mathbf{x},t) (\alpha^0)_{ab} \psi_b(\mathbf{x},t).

La conservación de la probabilidad establece la condición de normalización.

\int \bar{\psi} \psi\; d^3x = 1.

Invocando la ecuación de Dirac, se puede obtener la corriente de probabilidad "local" :

\frac{\parcial}{\parcial t} \bar{\psi} \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}.

La corriente de probabilidad J se da como

J_j = c \bar{\psi} \alpha_j \psi.

Multiplicando J por la carga del electrón e , llegamos a la densidad de corriente eléctrica j para el electrón.

El valor de los componentes de la función de onda depende del sistema de coordenadas. Dirac mostró cómo ψ se transforma a medida que cambia el sistema de coordenadas, incluidas las rotaciones en el espacio tridimensional y las transformaciones entre marcos de referencia (rápidamente) que se mueven entre sí. ψ no se transforma como un vector del espacio ordinario (o espacio-tiempo) bajo rotaciones del espacio o transformaciones de Lorentz (lo que en sí mismo no es sorprendente, ya que sus componentes inicialmente no están directamente relacionados con direcciones en el espacio ordinario). Dicho objeto se denominó espinor de Dirac de cuatro componentes (también llamado bispinor; este último nombre se debe al hecho de que inicialmente solo los objetos complejos de dos componentes se consideraban espinores, un par de los cuales pueden formar un bispinor). El bispinor se puede interpretar como un vector en un espacio especial, generalmente llamado "espacio interior", que no se cruza con el espacio ordinario ("exterior"). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, las componentes de las funciones de onda de espinor cambian de manera bastante definida al transformar las coordenadas del espacio exterior, aunque difiere de la transformación de las componentes de los vectores espaciales ordinarios.

En aras de la precisión, debe decirse que todos los cambios asociados con las rotaciones de coordenadas en el espacio externo pueden transferirse a las matrices α (que luego se verán diferentes para diferentes sistemas de coordenadas externas, pero conservarán sus propiedades principales: anticonmutatividad y igualdad al cuadrado unitario de cada matriz). En este caso, los componentes de los (bi-)espinores no cambiarán en absoluto a medida que gira el espacio externo.

Solución de la ecuación

Para resolver la ecuación en el caso de una partícula libre se utiliza el espinor $\ chi$

\chi^{(1)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{(2)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix } ,

donde corresponde al back up , y corresponde al back down . ${\ estilo de visualización \ chi ^ {(1)))$ ${\ estilo de visualización \ chi ^ {(2)))$

Para las antipartículas, lo contrario es cierto:

\chi^{*(1)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{*(2)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end {bmatriz} .

Introduzcamos también las matrices de Pauli ,

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_3 = \ comenzar{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

Para partículas

La solución de la ecuación de Dirac para partículas libres se puede escribir como

\psi =u(\mathbf {p} )e^{ip\cdot x},

dónde

{\ matemáticas {p}}

es un vector tridimensional ordinario, y p y x son 4 vectores .

El bispinor u es una función del momento y el espín,

u^{(s)}(\mathbf {p} )={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}\chi ^{(s)}\\{\frac {\mathbf { \sigma } \cdot \mathbf {p} }{E+m}}\chi ^{(s)}\end{bmatriz}}.

Para antipartículas

\psi =v(\mathbf {p} )e^{ip\cdot x}

Con

v^{(s)}(\mathbf {p} )={\sqrt {|E|+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {-\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {p} }{|E|+m}}\chi ^{*(s)}\\\chi ^{*(s)}\end{bmatriz}}.

Bispinores

Las relaciones de completitud para los biespinores u y v son:

\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\! /+m,

\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v))_{p}^{(s)))=p\!\!\! /-metro,

dónde

{\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu ))

(definición - ver más abajo).

{\ estilo de visualización \ gamma ^ {\ mu}}

Espectro de energía

Es útil para encontrar los valores propios de energía del hamiltoniano de Dirac. Para ello, debemos resolver la ecuación estacionaria:

H\psi _{0}(\mathbf {x} )=E\psi _{0}(\mathbf {x} ),

donde ψ 0 es la parte independiente del tiempo de la función de onda total

\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar},

sustituyendo cuál en la ecuación de Dirac no estacionaria obtenemos la estacionaria.

Buscaremos una solución en forma de ondas planas. Por conveniencia, elegiremos el eje z como el eje de movimiento . De este modo,

\psi _{0}=nosotros^{\frac {ipz}{\hbar}),

donde w es un espinor constante de cuatro componentes y p es la cantidad de movimiento de la partícula, como se puede demostrar actuando como operador de cantidad de movimiento en esta función de onda. En la representación de Dirac, la ecuación para ψ 0 se reduce a un problema de valores propios:

\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^ 2 \end{bmatrix} w = E w.

Para cada valor de p , hay dos espacios de valores propios bidimensionales. Un espacio de valores propios contiene valores propios positivos y el otro contiene valores propios negativos en la forma

E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}.

El espacio con valores propios positivos es generado por los estados propios:

\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{ bmatriz} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2))

y para los negativos:

\left\{{\begin{bmatrix}-\epsilon \\0\\pc\\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\\epsilon \\0 \\pc\end{bmatrix}}\right\}\times {\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2)))),

dónde

\epsilon \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ |E| - mc^2.

El primer estado propio generador en cada espacio propio tiene una proyección de espín positivo en el eje z ("espín hacia arriba"), y el segundo estado propio tiene un espín que apunta en la dirección opuesta - z ("espín hacia abajo").

En el límite no relativista , la componente ε del espinor se reduce a la energía cinética de la partícula, que es despreciable en comparación con pc :

\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} \ll pc.

En este límite, la función de onda de cuatro componentes se puede interpretar como la amplitud relativa de (i) girar hacia arriba con energía positiva, (ii) girar hacia abajo con energía positiva, (iii) girar hacia arriba con energía negativa y (iv) girar hacia abajo. con energía negativa. Esta descripción no es precisa en el caso relativista, donde los componentes distintos de cero del espinor son del mismo orden de magnitud.

Teoría del agujero

Las soluciones de energía negativa encontradas en la sección anterior son problemáticas porque se supuso que la partícula tenía energía positiva. Sin embargo, matemáticamente hablando, no parece haber ninguna razón para que rechacemos las soluciones de energía negativa. Dado que existen, no podemos simplemente ignorarlos, una vez que encendemos la interacción entre el electrón y el campo electromagnético, cualquier electrón colocado en un estado de energía positiva pasaría a un estado de energía negativa reduciendo con éxito la energía emitiendo el exceso de energía en el forma de fotones . Los electrones reales obviamente no se comportan de esta manera.

Para hacer frente a este problema, Dirac introdujo la hipótesis, conocida como teoría del agujero , de que el vacío es un estado cuántico de muchas partículas en el que todos los estados de energía negativa están ocupados. Esta descripción del vacío como un "mar" de electrones se llama el mar de Dirac . Debido a que el principio de exclusión de Pauli prohíbe que los electrones ocupen el mismo estado, cualquier electrón adicional se vería obligado a ocupar un estado de energía positiva y los electrones de energía positiva no pasarían a estados de energía negativa.

Dirac razonó además que si los estados de energía negativa no se llenaban por completo, cada estado desocupado, llamado agujero , se comportaría como una partícula cargada positivamente. El agujero tiene una energía "positiva", ya que la energía es necesaria para crear un par partícula-agujero a partir del vacío. Como se señaló anteriormente, Dirac pensó originalmente que un agujero podría ser un protón, pero Weyl señaló que un agujero debería comportarse como si tuviera la misma masa que un electrón, mientras que un protón es 1800 veces más pesado. El agujero fue finalmente identificado como el positrón , descubierto experimentalmente por Carl Anderson en 1932 .

La descripción de un "vacío" a través de un mar interminable de electrones de energía negativa no es del todo satisfactoria. Las contribuciones infinitamente negativas del mar de electrones de energía negativa deben cancelarse con la contribución de densidad de carga y energía "desnuda" positiva infinita, y la corriente proveniente del mar de electrones de energía negativa se cancela exactamente con la "gelatina" positiva infinita. " fondo para que la densidad de carga eléctrica total del vacío fuera igual a cero. En la teoría cuántica de campos , la transformación de Bogolyubov de los operadores de creación y aniquilación (convertir un estado electrónico de energía negativa ocupado en un estado de positrón de energía positiva desocupado y un estado electrónico de energía negativa desocupado en un estado de positrón de energía positiva ocupado) nos permite eludir el formalismo del mar de Dirac a pesar de que, formalmente, estos enfoques son equivalentes.

Sin embargo, en ciertas aplicaciones de la física del estado sólido , los conceptos básicos de la "teoría de los agujeros" son correctos. El mar de electrones de conducción en un conductor, llamado mar de Fermi , contiene electrones con energías hasta el potencial químico del sistema. Los estados vacíos en el Mar de Fermi se comportan como electrones cargados positivamente, aunque es un "agujero" y no un "positrón". La carga negativa del mar de Fermi se equilibra con la red iónica cargada positivamente del material [7] .

La ecuación de Dirac en representación de cuaterniones

La ecuación de Dirac se puede escribir simplemente en una representación usando cuaterniones . Lo escribimos en términos de una representación de dos campos sobre cuaterniones para electrones derecho (Ψ) e izquierdo (Φ):

\parcial_t\psi i + i \parcial_x \psi+j \parcial_y \psi + k\parcial_z \psi= m_e \phi j,

\parcial_t\phi i - i \parcial_x \phi-j \parcial_y \phi-k\parcial_z \phi = m_e \psi j.

Aquí es importante de qué lado se multiplican los cuaterniones unitarios. Tenga en cuenta que los términos de masa y tiempo se multiplican por los cuaterniones de la derecha. Esta representación de la ecuación de Dirac se usa en simulaciones por computadora.

Forma covariante relativista

La representación covariante de la ecuación de Dirac para una partícula libre se ve así:

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \parcial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,

o, usando la regla de suma de Einstein sobre un índice repetido, como sigue:

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \parcial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Explicaciones

A menudo es útil utilizar la ecuación de Dirac en una forma covariante relativista, en la que las coordenadas espaciales y temporales se tratan formalmente por igual.

Para hacer esto, primero recuerda que el operador de cantidad de movimiento p actúa como una derivada espacial:

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).

Multiplicando la ecuación de Dirac en cada lado por α 0 (recordando que α 0 ²=I ) y sustituyéndola en la definición de p , obtenemos

\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \ derecha) - mc^2 \right] \psi = 0.

Ahora definimos cuatro matrices gamma :

\gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \alpha_j.

Estas matrices tienen la propiedad de que

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }\cdot I\,,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3,

donde η es la métrica del espacio plano. Estas relaciones definen el álgebra de Clifford , llamada álgebra de Dirac .

La ecuación de Dirac ahora se puede escribir usando los cuatro vectores x = ( ct , x ) como

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

De esta forma, la ecuación de Dirac se puede obtener encontrando el extremo de la acción

{\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\sum_{\mu}\gamma ^{\mu}\parcial_{\mu}- mc^{2})\psi\,d^{4}x,

dónde

\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\daga \gamma_0

se llama la matriz adjunta de Dirac para ψ . Esta es la base para usar la ecuación de Dirac en la teoría cuántica de campos .

De esta forma, la interacción electromagnética se puede sumar simplemente expandiendo la derivada parcial a una derivada covariante de calibre :

\parcial_\mu \rightarrow D_\mu = \parcial_\mu - es decir, A_\mu.

Grabado usando "Feynman slash"

A veces se utiliza una notación que utiliza "matrices tachadas" ("barra oblicua de Feynman"). Al adoptar la designación

a\!\!\!/\leftrightarrow \sum _{\mu }\gamma ^{\mu }a_{\mu },

vemos que la ecuación de Dirac se puede escribir como

(i \hbar c \, \parcial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0

y la expresión de la acción se escribe como

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \parcial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x.

La ecuación de Dirac para los componentes de la función de onda

Al sustituir los valores de las matrices gamma en la ecuación covariante relativista presentada anteriormente, se puede obtener un sistema de ecuaciones para los componentes individuales de la función psi

$i\hbar c{\Biggl (}{\frac {1}{c))\parcial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\ -\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatriz}}+\parcial _{x}{\begin{bmatriz}\psi _{4}\\\psi _{3}\ \-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatriz}}+i\parcial _{y}{\begin{bmatriz}-\psi _{4}\\\psi _{ 3}\\\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatriz}}+\parcial _{z}{\begin{bmatriz}\psi _{3}\\-\psi _ {4}\\-\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}{\Biggr )}-mc^{2}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\ \\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\end{bmatriz}}=0$

También puedes expresar derivadas con respecto al tiempo

${\begin{casos}{\begin{matriz}\parcial _{t}\psi _{1}=-i{\frac {mc^{2}}{\hbar}}\psi _{1 }+c(-\parcial _{x}\psi _{4}+i\parcial _{y}\psi _{4}-\parcial _{z}\psi _{3})\\\parcial _ {t}\psi _{2}=-i{\frac {mc^{2}}{\hbar}}\psi _{2}+c(-\parcial _{x}\psi _{3}- i\parcial _{y}\psi _{3}+\parcial _{z}\psi _{4})\\\parcial _{t}\psi _{3}=i{\frac {mc^{ 2}}{\hbar }}\psi _{3}+c(-\parcial_{x}\psi_{2}+i\parcial_{y}\psi_{2}-\parcial_{z }\psi _{1})\\\parcial _{t}\psi _{4}=i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\psi _{4}+c(-\ parcial _ {x} \ psi _ {1}-i \ parcial _ {y} \ psi _ {1} + \ parcial _ {z} \ psi _ {2}) \ final {matriz}} \ final {casos} }$

Cuando se utilizan unidades naturales, la ecuación se simplifica a

$\parcial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{ bmatriz}}+\parcial _{x}{\begin{bmatriz}\psi _{4}\\\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end {bmatriz}}+i\parcial _{y}{\begin{bmatriz}-\psi _{4}\\\psi _{3}\\\psi _{2}\\-\psi _{1} \end{bmatriz}}+\parcial _{z}{\begin{bmatriz}\psi _{3}\\-\psi _{4}\\-\psi _{1}\\\psi _{2} }\end{bmatriz}}+im{\begin{bmatriz}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\end{bmatriz} }=0$

${\begin{casos}{\begin{matriz}\parcial _{t}\psi _{1}=-im\psi _{1}-\parcial _{x}\psi _{4}+ i\parcial _{y}\psi _{4}-\parcial _{z}\psi _{3}\\\parcial _{t}\psi _{2}=-im\psi _{2}- \parcial _{x}\psi _{3}-i\parcial _{y}\psi _{3}+\parcial _{z}\psi _{4}\\\parcial _{t}\psi _ {3}=im\psi _{3}-\parcial _{x}\psi _{2}+i\parcial _{y}\psi _{2}-\parcial _{z}\psi _{1 }\\\parcial _{t}\psi _{4}=im\psi _{4}-\parcial _{x}\psi _{1}-i\parcial _{y}\psi _{1} +\parcial _{z}\psi _{2}\end{matriz}}\end{casos}}$

Formas bilineales de Dirac

Hay cinco formas bilineales de Dirac diferentes (neutras) sin derivadas:

(S) escalar : (escalar, P-par) $\bar{\psi}\psi$
(P) pseudoescalar : (escalar, P-impar) $\bar{\psi} \gamma^5 \psi$
(V) vector : (vector, P-par) $\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$
(A) vector axial : (vector, P-impar) $\bar{\psi} \gamma^\mu \gamma^5 \psi$
(T) tensor : (tensor antisimétrico de segundo rango) $\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \psi$

donde y . $\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-}$ $\gamma^{5}=\gamma_{5}=\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma ^{\rho}\gamma^{\lambda}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$

Interacción electromagnética

Hasta ahora, hemos considerado un electrón que no se ve afectado por ningún campo externo. Por analogía con el hamiltoniano de una partícula cargada en la electrodinámica clásica, podemos cambiar el hamiltoniano de Dirac para incluir el efecto de un campo electromagnético . El hamiltoniano reescrito tomará la forma (en unidades SI ):

H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x},t)\right]c+e\varphi (\mathbf {x},t),

donde e es la carga eléctrica del electrón (aquí se acepta que el signo de e es negativo), y A y φ son los potenciales electromagnéticos vectorial y escalar, respectivamente.

Estableciendo φ = 0 y trabajando en el límite no relativista, Dirac encontró para los dos componentes superiores en la región de energía positiva las funciones de onda (que, como se discutió anteriormente, son los componentes dominantes en el límite no relativista):

\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{ x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}

=(E-mc^{2}){\begin{bmatriz}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatriz)),

donde B = × A es el campo magnético que actúa sobre la partícula. Esta es la ecuación de Pauli para partículas no relativistas con espín medio entero, con un momento magnético (es decir, el factor g es 2). El momento magnético real del electrón es mayor que este valor, aunque solo en un 0,12 % aproximadamente. La discrepancia se debe a las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético, que se han despreciado (ver función de vértice ). $\nabla$ $\hbar e/2mc$

Durante varios años después del descubrimiento de la ecuación de Dirac, la mayoría de los físicos creían que también describía el protón y el neutrón , que son fermiones con espín medio entero. Sin embargo, a partir de los experimentos de Stern y Frisch en 1933 , quedó claro que los momentos magnéticos de estas partículas difieren significativamente de los valores predichos por la ecuación de Dirac. El momento magnético del protón resultó ser 2,79 veces mayor que el previsto (con la masa del protón sustituida por m en las fórmulas anteriores), es decir, el factor g es 5,58. El neutrón, que es eléctricamente neutro, tiene un factor g de -3,83. Estos "momentos magnéticos anómalos" fueron la primera indicación experimental de que el protón y el neutrón no son partículas elementales, sino compuestas (que tienen alguna estructura interna). Posteriormente, resultó que se puede considerar que están compuestos por partículas más pequeñas llamadas quarks , asociadas, se cree, por un campo de gluones . Los quarks tienen un espín medio entero y se sabe que la ecuación de Dirac los describe exactamente.

Interacción hamiltoniana

Cabe destacar el hecho de que el hamiltoniano se puede escribir como la suma de dos términos:

H=H_{\mathrm {gratis} }+H_{\mathrm {int} },

donde H libre es el hamiltoniano de Dirac para un electrón libre y H int es el hamiltoniano de la interacción de un electrón con un campo electromagnético. Este último se escribe como

H_{\mathrm{int}} = e \varphi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t).

Tiene una expectativa matemática (promedio)

\langle H_{\mathrm {int} }\rangle =\int \,\psi ^{\dagger }H_{\mathrm {int} }\psi \,d^{3}x=\int \, \left(\rho \varphi -\sum _{i=1}^{3}j_{i}A_{i}\right)\,d^{3}x,

donde ρ es la densidad de carga eléctrica y j es la densidad de corriente eléctrica, definida en términos de ψ . El integrando en la última integral, la densidad de energía de interacción, es una cantidad escalar invariante de Lorentz, que se puede ver fácilmente escribiendo en términos de la densidad de corriente tetradimensional j = ( ρc , j ) y el potencial electromagnético tetradimensional A = ( φ/c , A ), cada uno de los cuales es un vector de 4 y, por lo tanto, su producto interno es invariante. La energía de interacción se escribe como una integral espacial de este invariante:

\langle H_{\mathrm {int} }\rangle =\int \,\left(\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}\eta ^{\mu \nu }j_{ \mu }A_{\nu }\right)\;d^{3}x,

donde η es la métrica del espacio plano de Minkowski (la métrica de Lorentz del espacio-tiempo):

\eta^{00} = 1,\

\eta^{ii} \;= -1 \quad\, (i=1,2,3),

\eta^{\mu\nu} = 0 \ \ \ \ (\mu, \nu = 0,1,2,3; \mu \ne \nu).

Por lo tanto, la energía de interacción integrada en el tiempo dará el término invariante de Lorentz en acción (ya que las rotaciones y las transformaciones de Lorentz no cambian el volumen de cuatro dimensiones).

Lagrangiano

La densidad clásica del Lagrangiano de un fermión de masa m viene dada por

{\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ,

dónde ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}.$

Para obtener las ecuaciones de movimiento, este Lagrangiano se puede sustituir en las ecuaciones de Euler-Lagrange :

\parcial_{\mu}\left({\frac {\parcial L}{\parcial (\parcial_{\mu}\psi_{\sigma)))))\right)-{\frac { \parcial L}{\parcial \psi _{\sigma}}}=0.

Después de evaluar dos términos:

{\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {\ sigma}}}}} = {\ overline {\ psi}} _ {\ sigma ^ {\ prime } }\left(i\gamma ^{\mu }\right)_{\sigma ^{\prime }\sigma },}

{\frac {\parcial L}{\parcial \psi _{\sigma}}}=-m{\overline {\psi}}_{\sigma},

Juntando ambos resultados obtenemos la ecuación

i\parcial _ {\mu }{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }+m{\overline {\psi }}=0,

que es idéntica a la ecuación de Dirac :

i\gamma ^{\mu }\parcial _{\mu }\psi -m\psi =0.

Véase también

Notas

↑ Walter E. Thirring Principios de electrodinámica cuántica. - M., Escuela Superior, 1964. - p. 136-198
↑ Ivanenko D. D. Partículas elementales // otv. edición Grigoryan A. T. , Polak L. S. Ensayos sobre el desarrollo de ideas físicas básicas. - M., Academia de Ciencias de la URSS , 1959. - Circulación 5000 ejemplares. - Con. 437;
↑ El Premio Nobel de Física 1933 Paul A.M. Dirac . Consultado el 26 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ Dirac P.A.M. Memorias de una era extraordinaria. - M., Nauka , 1990. - 208 p. - ISBN 5-02-014344-8
↑ Dado que la forma con matrices alfa también es covariante de Lorentz, es más correcto llamar a la forma con matrices gamma simplemente tetradimensional (y al reemplazar las derivadas ordinarias con las covariantes, dará una representación generalmente covariante de la ecuación de Dirac) .
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Grupos de simetría y partículas elementales. - L., Universidad Estatal de Leningrado , 1983. - p. 323
↑ Zee, 2009 , pág. 6.

Literatura

Björken JD , Drell S.D. Teoría cuántica relativista. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 296 p.
Dyson F. Mecánica cuántica relativista. - Izhevsk: RHD, 2009. - 248 p.
Dirac P. A. M. Principios de la mecánica cuántica. — M .: Nauka, 1979. — 440 p.
Dirac P. A. M. Ecuación de onda relativista de un electrón // Uspekhi fizicheskikh nauk. - 1979. - T. 129 , núm. 4 . - S. 681-691 . (Ruso)
Zee E. Teoría cuántica de campos en pocas palabras. - Izhevsk: Dinámica regular y caótica, 2009. - 632 p. — ISBN 978-5-93972-770-9 .
Peskin M., Schroeder D. Introducción a la teoría cuántica de campos. - Izhevsk: RHD, 2001. - 784 p.
Schiff L. Mecánica cuántica. - M. : IL, 1959. - 476 p.
Shankar R. Principios de Mecánica Cuántica. — Pleno, 1994.
Thaller B. La ecuación de Dirac. — Springer, 1992.
La ecuación de Dirac en la " Enciclopedia física "

Artículos seleccionados

PAM Dirac "La teoría cuántica del electrón", Proc. R. Soc. A117 610 (1928) , doi: http://doi.org/10.1098/rspa.1928.0023 - enlace al volumen de Proceedings of the Royal Society of London que contiene el artículo en la página 610
PAM Dirac "Una teoría de electrones y protones", Proc. R. Soc. A126 360 (1930) enlace al volumen de Proceedings of the Royal Society of London que contiene el artículo en la página 360
CD Anderson, Phys. Rvdo. 43 , 491 (1933)
R. Frisch y O. Stern, Z. Phys. 854 (1933)

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