Promedio

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La media aritmética (en matemáticas y estadística ) es un tipo de valor medio . Se define como un número igual a la suma de todos los números del conjunto dividida por su número. Es una de las medidas de tendencia central más comunes .

Fue propuesta (junto con la media geométrica y la media armónica ) por los pitagóricos [1] .

Casos especiales de la media aritmética son la media ( de la población general ) y la media muestral ( de la muestra ).

En el caso de que el número de elementos del conjunto de números de un proceso aleatorio estacionario sea infinito, la esperanza matemática de una variable aleatoria juega el papel de media aritmética .

Introducción

Denotemos el conjunto de números X = ( x 1 , x 2 , …, x n ) - luego, la media de la muestra generalmente se denota con una barra horizontal sobre la variable ( , pronunciada “ x con una barra”). ${\ barra {x}}$

La letra griega μ generalmente se usa para denotar la media aritmética de toda la población de números . Para una variable aleatoria , para la cual se define el valor medio, μ es la media de probabilidad , o la expectativa matemática de la variable aleatoria. Si el conjunto X es un conjunto de números aleatorios con media de probabilidad μ, entonces para cualquier muestra x i de este conjunto μ = E{ x i } es la expectativa de esta muestra.

En la práctica, la diferencia entre μ y μ es que μ es una variable típica, porque se puede ver la muestra en lugar de toda la población . Por lo tanto, si la muestra se presenta aleatoriamente (en términos de la teoría de la probabilidad ), entonces (pero no μ) puede tratarse como una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad en la muestra (distribución de probabilidad de la media). ${\ barra {x}}$ ${\ barra {x}}$

Ambas cantidades se calculan de la misma manera:

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum_{{i=1}}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{ 1}+\cdots +x_{n}).

Si X es una variable aleatoria , entonces la media de X puede considerarse como la media aritmética de los valores en mediciones repetidas de X. Esta es una manifestación de la ley de los grandes números . Por lo tanto, la media de la muestra se usa para estimar la expectativa matemática desconocida.

En álgebra elemental se demuestra que la media de n + 1 números es mayor que la media de n números si y solo si el nuevo número es mayor que la media anterior, menor si y solo si el nuevo número es menor que la media , y no cambia si y solo si el nuevo número es el promedio. Cuanto mayor sea n , menor será la diferencia entre los promedios nuevos y antiguos.

Tenga en cuenta que hay varios otros "promedios" disponibles, incluida la media de potencia , la media de Kolmogorov, la media armónica, la media aritmético -geométrica y varias medias ponderadas (p. ej., media aritmética ponderada , media geométrica ponderada , media armónica ponderada ).

Ejemplos

Para obtener la media aritmética de tres números, debes sumarlos y dividirlos por 3:

{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.

Para obtener la media aritmética de cuatro números, debes sumarlos y dividirlos por 4:

{\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.

Variable aleatoria continua

Si hay una integral de alguna función de una variable, entonces la media aritmética de esta función en el segmento se determina a través de una integral definida : $f(x)$ $[a;b]$

{\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx.

Aquí, para determinar el segmento , se entiende que, además , el denominador no es igual a 0. $[a;b]$ ${\ Displaystyle b \ geq a,}$ ${\ Displaystyle b \ neq a,}$

Transformación lineal

Se puede obtener un conjunto de datos transformados linealmente aplicando un mapeo lineal a un conjunto de datos escalado métricamente de la siguiente manera: . Entonces la nueva media del conjunto de datos será , ya que . $y_{1},\puntos,y_{n}$ ${\ estilo de visualización y = a + bx}$ $x_{1},\puntos,x_{n}$ ${\displaystyle y_{i}=a+bx_{i},i\in \{1,\dots,n\))$ ${\overline {y}}=a+b{\overline {x}}$ ${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}(a+bx_{i})=a+{\frac {b}{n}}\sum_{i=0}^{n}bx_{i}=a+b {\sobrelínea {x))$

Algunos problemas con la aplicación de la media

Falta de robustez

Aunque la media aritmética se usa a menudo como media o tendencia central, este concepto no se aplica a las estadísticas sólidas, es decir, la media aritmética está fuertemente influenciada por "grandes desviaciones". Cabe señalar que para distribuciones con una gran asimetría , la media aritmética puede no corresponder al concepto de "promedio", y los valores de la media de estadísticas robustas (por ejemplo, la mediana ) pueden describir mejor la tendencia central.

El ejemplo clásico es el cálculo de la renta media. La media aritmética puede malinterpretarse como la mediana , lo que puede llevar a la conclusión de que hay más personas con más ingresos de las que realmente hay. El ingreso "medio" se interpreta de tal manera que los ingresos de la mayoría de las personas están cerca de este número. Este ingreso "promedio" (en el sentido de media aritmética) es más alto que el ingreso de la mayoría de las personas, ya que un ingreso alto con una gran desviación del promedio hace que la media aritmética sea fuertemente sesgada (en contraste, el ingreso mediano "resiste" tal sesgo). Sin embargo, este ingreso "promedio" no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso medio (y no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso modal). Sin embargo, si los conceptos de "promedio" y "mayoría" se toman a la ligera, se puede concluir incorrectamente que la mayoría de las personas tienen ingresos más altos de lo que realmente son. Por ejemplo, un informe sobre el ingreso neto "promedio" en Medina, Washington , calculado como el promedio aritmético de todos los ingresos netos anuales de los residentes, dará un número sorprendentemente grande, debido a Bill Gates . Considere la muestra (1, 2, 2, 2, 3, 9). La media aritmética es 3,17, pero cinco de los seis valores están por debajo de esta media.

Interés compuesto

Si los números se multiplican , no se suman , se debe usar la media geométrica , no la media aritmética. Muy a menudo, este incidente ocurre al calcular el retorno de la inversión en finanzas.

Por ejemplo, si las acciones cayeron un 10 % en el primer año y aumentaron un 30 % en el segundo año , calculando el aumento "promedio" durante estos dos años como la media aritmética ( -10 % + 30 % ) / 2 = 10 % es incorrecto, y el promedio correcto en este caso viene dado por la tasa de crecimiento anual compuesta : el crecimiento anual es de aproximadamente 8,16653826392% ≈ 8,2% .

La razón de esto es que el interés tiene un nuevo punto de partida cada vez: el 30 % es el 30 % del número más bajo que el precio al comienzo del primer año: si la acción comenzó en $30 y cayó un 10 % , vale el comienzo del segundo año $27. Si la acción sube un 30% , vale $35,1 al final del segundo año. La media aritmética de este crecimiento es del 10% , pero como la acción solo ha subido $5,1 en 2 años, un aumento medio del 8,2% da un resultado final de $35,1:

$30 × (1 – 0,1) (1 + 0,3) = $30 × (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1. Si usamos la media aritmética del 10% de la misma manera, no obtendremos el valor real: $30 × (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3.

Interés compuesto al final del año 2: 90% * 130% = 117% , es decir, un aumento total del 17% , y el interés compuesto anual promedio , es decir, un aumento anual promedio del 8,2% . ${\sqrt {117\%}}\aproximadamente 108,2\%$

Direcciones

Al calcular la media aritmética de alguna variable que cambia cíclicamente (por ejemplo, fase o ángulo ), se debe tener especial cuidado. Por ejemplo, el promedio de 1 ° y 359 ° sería 180 ° . Este resultado es incorrecto por dos razones.

Primero, las medidas angulares solo se definen para el rango de 0 ° a 360 ° (o 0 a 2π cuando se mide en radianes ). Por lo tanto, el mismo par de números podría escribirse como (1° y −1°) o como (1° y 719°). Los valores medios de cada uno de los pares serán diferentes: , . ${\frac{1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }$ ${\frac {1^{\circ}+719^{\circ}}{2}}=360^{\circ}$
En segundo lugar, en este caso, el valor 0° (equivalente a 360°) será la mejor media geométrica, ya que los números se desvían menos de 0° que de cualquier otro valor (el valor 0° tiene la varianza más pequeña ). Para comparacion:
- el número 1° se desvía de 0° en solo 1°;
- el número 1° se desvía del promedio calculado de 180° en 179°.

El valor promedio de una variable cíclica, calculado de acuerdo con la fórmula anterior, se desplazará artificialmente en relación con el promedio real a la mitad del rango numérico. Debido a esto, el promedio se calcula de una manera diferente, es decir, el número con la varianza más pequeña (punto central) se elige como valor promedio. Además, en lugar de restar, se utiliza la distancia de módulo (es decir, la distancia circunferencial). Por ejemplo, la distancia modular entre 1° y 359° es 2°, no 358° (en un círculo entre 359° y 360° = 0° - un grado, entre 0° y 1° - también 1°, en total - 2°).

Notas

↑ Cantrell, David W., "Pythagorean Means" Archivado el 22 de mayo de 2011 en Wayback Machine de MathWorld .

Véase también

Enlaces

Media aritmética // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
matemáticas financieras. Dispersión. Promedio. Desviación Estándar. Coeficiente de variación Archivado el 19 de septiembre de 2020 en Wayback Machine / Métodos de análisis financiero
Media aritmética - un indicador de la tendencia central / Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución