Vector de Laplace-Runge-Lentz

En este artículo , los vectores están en negrita y sus valores absolutos en cursiva, por ejemplo,

|{\mathbf{A}}|=A

En mecánica clásica , el vector de Laplace-Runge-Lenz es un vector que se utiliza principalmente para describir la forma y la orientación de una órbita en la que un cuerpo celeste gira alrededor de otro (por ejemplo, la órbita en la que un planeta gira alrededor de una estrella). En el caso de dos cuerpos, cuya interacción está descrita por la ley de gravitación universal de Newton , el vector de Laplace-Runge-Lenz es una integral de movimiento , es decir, su dirección y magnitud son constantes sin importar en qué punto de la órbita. se calculan [1] ; se dice que el vector de Laplace-Runge-Lenz se conservaen la interacción gravitacional de dos cuerpos. Esta afirmación se puede generalizar a cualquier problema con dos cuerpos interactuando a través de una fuerza central , que varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Tal problema se llama el problema Kepleriano [2] .

Por ejemplo, tal potencial surge cuando se consideran órbitas clásicas (sin tener en cuenta la cuantificación) en el problema del movimiento de un electrón con carga negativa que se mueve en el campo eléctrico de un núcleo con carga positiva. Si se da el vector de Laplace-Runge-Lenz, entonces la forma de su movimiento relativo se puede obtener a partir de consideraciones geométricas simples, usando las leyes de conservación de este vector y energía.

Según el principio de correspondencia , el vector de Laplace-Runge-Lenz tiene un análogo cuántico , que se utilizó en la primera derivación del espectro del átomo de hidrógeno [3] , incluso antes del descubrimiento de la ecuación de Schrödinger .

El problema de Kepler tiene una característica inusual: el extremo del vector de momento siempre se mueve en un círculo [4] [5] [6] . Debido a la ubicación de estos círculos, para una energía total dada , el problema de Kepler es matemáticamente equivalente a una partícula que se mueve libremente en una esfera de cuatro dimensiones [7] . De acuerdo con esta analogía matemática, el vector de Laplace-Runge-Lenz conservado es equivalente a los componentes adicionales del momento angular en el espacio de cuatro dimensiones [8] . ${\ matemáticas {p}}$ $mi$ $S_{{3}}$

El vector de Laplace-Runge-Lenz también se conoce como vector de Laplace , vector de Runge-Lenz y vector de Lenz , aunque ninguno de estos científicos lo derivó por primera vez. El vector de Laplace-Runge-Lenz ha sido redescubierto varias veces [9] . También es equivalente al vector de excentricidad adimensional en la mecánica celeste [10] . Del mismo modo, no existe una designación generalmente aceptada para él, aunque . Para varias generalizaciones del vector de Laplace-Runge-Lenz, que se definen a continuación, se utiliza el símbolo . $\matemáticas {A}$ $\mathcal{A}$

Contexto

Una sola partícula que se mueve bajo la influencia de cualquier fuerza central conservativa tiene al menos cuatro integrales de movimiento (cantidades conservadas durante el movimiento): energía total y tres componentes del momento angular (vector ). La órbita de la partícula se encuentra en un plano, que está determinado por el momento inicial de la partícula (o, de manera equivalente, la velocidad ) y las coordenadas, es decir, el radio vector entre el centro de fuerza y la partícula (ver Fig. 1). Este plano es perpendicular a un vector constante , que se puede expresar matemáticamente mediante el producto escalar . $mi$ $\mathbf{L}$ ${\ matemáticas {p}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {L}}=0$

Como se define a continuación , el vector de Laplace-Runge-Lenz siempre está en el plano de movimiento, es decir, para cualquier fuerza central. También es constante solo para una fuerza que depende inversamente del cuadrado de la distancia [2] . Si la fuerza central depende aproximadamente del inverso del cuadrado de la distancia, el vector tiene una longitud aproximadamente constante pero gira lentamente. Sin embargo, para la mayoría de las fuerzas centrales, este vector no es constante, sino que cambia en longitud y dirección. El vector de Laplace-Runge-Lenz conservado generalizado se puede definir para todas las fuerzas centrales, pero este vector es una función compleja de posición y normalmente no se expresa analíticamente en funciones elementales o especiales [11] [12] . $\matemáticas {A}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $\mathcal{A}$

Historia

El vector de Laplace-Runge-Lenz es una cantidad conservada en el problema de Kepler y es útil para describir órbitas astronómicas , como el movimiento de un planeta alrededor del Sol. Sin embargo, nunca ha sido muy conocido entre los físicos, quizás porque es un vector menos intuitivo que el momento y el momento angular . El vector de Laplace-Runge-Lenz se ha descubierto de forma independiente varias veces durante los últimos tres siglos [9] . Jakob Herman fue el primero en mostrar lo que se conserva para el caso especial de una fuerza central que depende inversamente del cuadrado de la distancia [13] y encontró su conexión con la excentricidad de una órbita elíptica. El trabajo de Hermann fue generalizado a su forma moderna por Johann Bernoulli en 1710 [14] . A su vez, Pierre-Simon Laplace redescubrió la conservación a finales del siglo XVIII , demostrándola analíticamente, y no geométricamente, como sus predecesores [15] . $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$

A mediados del siglo XIX, William Hamilton derivó el equivalente del vector de excentricidad definido a continuación [10] , usándolo para mostrar que el extremo del vector de cantidad de movimiento se mueve en un círculo bajo la acción de una fuerza central que es inversamente proporcional a el cuadrado de la distancia (Fig. 3) [4] . A principios del siglo XX, Willard Gibbs obtuvo el mismo vector mediante análisis vectorial [16] . La derivación de Gibbs fue utilizada por Carl Runge en el popular libro de texto alemán sobre vectores como ejemplo [17] , al que Wilhelm Lenz se refirió en su artículo sobre el tratamiento mecánico cuántico (antiguo) del átomo de hidrógeno [18] . ${\ matemáticas {p}}$

En 1926 , Wolfgang Pauli usó este vector para derivar el espectro del átomo de hidrógeno utilizando la mecánica cuántica de matrices moderna en lugar de la ecuación de Schrödinger [3] . Después de la publicación de Pauli, el vector se conoció principalmente como el vector de Runge-Lenz .

Definición matemática

Para una sola partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central , que depende inversamente del cuadrado de la distancia y descrita por la ecuación , el vector de Laplace-Runge-Lenz se define matemáticamente mediante la fórmula [2] $\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ $\matemáticas {A}$

{\mathbf {A}}={\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}},

dónde

$metro$ es la masa de una partícula puntual que se mueve bajo la influencia de una fuerza central,
${\ matemáticas {p}}$ es el vector de impulso ,
${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\veces {\mathbf {p}}$ es el vector de momento angular ,
$k$ es un parámetro que describe la magnitud de la fuerza central,
${\ matemáticas {{\ sombrero {r}}}}$ es el vector unitario, es decir , donde es el vector de posición de la partícula, y es su longitud. ${\mathbf {{\sombrero {r}}}}={\frac {{\mathbf {r}}}{r}}$ $\mathbf{r}$ $r$

Como asumimos que la fuerza es conservativa , entonces la energía total se conserva $mi$

E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k} {r}}.

De la centralidad de la fuerza se sigue que el vector momento angular también se conserva y determina el plano en el que se mueve la partícula. El vector de Laplace-Runge-Lenz es perpendicular al vector de momento angular y, por lo tanto, se encuentra en el plano de la órbita . La ecuación es correcta porque los vectores y son perpendiculares . $\mathbf{L}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ ${\mathbf {p}}\veces {\mathbf {L}}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}$

Esta definición del vector de Laplace-Runge-Lenz es aplicable a una partícula de un solo punto con masa que se mueve en un potencial estacionario (independiente del tiempo). Además, la misma definición se puede extender a un problema de dos cuerpos, como el problema de Kepler, reemplazando la masa reducida de los dos cuerpos y el vector entre los dos cuerpos. $\matemáticas {A}$ $metro$ $metro$ $\mathbf{r}$

Lugar geométrico del impulso circular

La conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz y del vector de momento angular se usa para probar que el vector de momento se mueve en un círculo bajo la acción de una fuerza central que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Calculando el producto vectorial y , llegamos a una ecuación para $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$ ${\ matemáticas {p}}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$ ${\ matemáticas {p}}$

L^{2}{\mathbf {p}}={\mathbf {L}}\times {\mathbf {A}}-mk{\hat ({\mathbf {r}}}}\times {\mathbf { L}}.

Dirigiendo el vector a lo largo del eje y el semieje principal a lo largo del eje , llegamos a la ecuación $\mathbf{L}$ $z$ $X$

p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.

En otras palabras, el vector momento está acotado por un círculo de radio , cuyo centro está ubicado en el punto con coordenadas . La excentricidad corresponde al coseno del ángulo que se muestra en la fig. 2. Para abreviar, puede ingresar una variable . La hodógrafa circular es útil para describir la simetría del problema de Kepler. ${\ matemáticas {p}}$ $mk/L$ $(0,\;A/B)$ $mi$ $\eta$ $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$

Integrales de movimiento y superintegrabilidad

Siete cantidades escalares: la energía y los componentes de los vectores de Laplace-Runge-Lenz y el momento angular están conectados por dos relaciones. Para los vectores, se cumple la condición de ortogonalidad y la energía se incluye en la expresión de la longitud al cuadrado del vector de Laplace-Runge-Lenz obtenida anteriormente . Luego hay cinco cantidades conservadas independientes, o integrales de movimiento . Esto es consistente con las seis condiciones iniciales (la posición inicial de la partícula y su velocidad son vectores de tres componentes) que determinan la órbita de la partícula, ya que el tiempo inicial no está definido por las integrales de movimiento. Dado que la magnitud (y la excentricidad de la órbita) se pueden determinar a partir del momento angular y la energía totales , se argumenta que solo la dirección se conserva de forma independiente. Además, el vector debe ser perpendicular ; esto conduce a una cantidad conservada adicional. $mi$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\matemáticas {A}$ $mi$ $L$ $mi$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$

Un sistema mecánico con grados de libertad puede tener un máximo de integrales de movimiento, ya que existen condiciones iniciales y el tiempo inicial no se puede determinar a partir de las integrales de movimiento. Un sistema con más de integrales de movimiento se llama superintegrable , y un sistema con integrales se llama máximamente superintegrable [19] . Dado que la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en un sistema de coordenadas solo puede conducir a integrales de movimiento, las variables deben separarse para sistemas superintegrables en más de un sistema de coordenadas [20] . El problema de Kepler es máximamente superintegrable ya que tiene tres grados de libertad ( ) y cinco integrales de movimiento independientes; las variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi se separan en coordenadas esféricas y coordenadas parabólicas [21] como se describe a continuación . Los sistemas máximamente superintegrables se pueden cuantificar usando solo relaciones de conmutación , como se muestra a continuación [22] . $d$ $2d-1$ $2d$ $d$ $2d-1$ $d$ $re=3$

La ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas

La constancia del vector de Laplace-Runge-Lenz se puede derivar utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas , que se definen de la siguiente manera $(\xi,\;\eta)$

\xi=r+x,

\eta=rx,

donde esta el radio en el plano de la orbita $r$

r={\raíz cuadrada {x^{2}+y^{2}}}.

La transformación inversa de estas coordenadas se puede escribir como

x={\frac{1}{2}}(\xi -\eta ),

y={\sqrt {\xi \eta )).

La separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi en estas coordenadas da dos ecuaciones equivalentes [21] [23]

2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,

2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,

donde es la integral de movimiento . Restando estas ecuaciones y expresando en términos de las coordenadas cartesianas del momento y , se puede demostrar que es equivalente al vector de Laplace-Runge-Lenz $\beta$ $p_{x}$ $p_{y}$ $\beta$

\beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.

Este enfoque de Hamilton-Jacobi se puede utilizar para derivar el vector de Laplace-Runge-Lenz generalizado conservado en presencia de un campo eléctrico [21] [24] $\mathcal{A}$ $\mathbf {E}$

{\mathcal {A}}={\mathbf {A}}+{\frac {mq}{2}}\left[({\mathbf {r}}\times {\mathbf {E}})\times { \mathbf{r}}\derecho],

donde es la carga de la partícula circulante. $q$

Redacción alternativa

A diferencia del momento y del momento angular , el vector de Laplace-Runge-Lenz no tiene una definición generalmente aceptada. En la literatura científica se utilizan varios multiplicadores y símbolos diferentes. La definición más general se da arriba , pero surge otra definición después de dividir por una constante para obtener un vector de excentricidad conservada adimensional ${\ matemáticas {p}}$ $\mathbf{L}$ $mk$

{\mathbf {e}}={\frac {1}{mk}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\mathbf {{\hat {r}}}} ={\frac {m}{k}}({\mathbf {v}}\times {\mathbf {r}}\times {\mathbf {v}})-{\mathbf {{\hat {r}} }},

donde es el vector velocidad. La dirección de este vector escalado es la misma que , y su amplitud es igual a la excentricidad de la órbita. Obtenemos diferentes definiciones si dividimos por , $\mathbf{v}$ $\matemáticas {e}$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $metro$

{\mathbf {M}}={\mathbf {v}}\times {\mathbf {L}}-k{\mathbf {{\sombrero {r}}}}

o en $p_{0}$

{\mathbf {D}}={\frac {{\mathbf {A}}}{p_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {2m|E|}}}}\{{ \mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\sombrero {r}}}}\},

que tiene la misma dimensión que el momento angular (vector ). En casos raros, el signo del vector de Laplace-Runge-Lenz se puede invertir. Otros símbolos comunes para el vector de Laplace-Runge-Lenz incluyen , , y . Sin embargo, la elección de multiplicador y símbolo para el vector de Laplace-Runge-Lenz, por supuesto, no afecta su conservación. $\mathbf{L}$ ${\ matemáticas {a}}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf {F}$ ${\ matemáticas {J}}$ ${\mathbf{V}}$

Vector conservado alternativo: binormal - vector estudiado por William Hamilton [10] $\matemáticas {B}$

{\mathbf {B}}={\mathbf {p}}-\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)({\mathbf {L}}\times {\mathbf {r}}),

que se conserva y apunta a lo largo del semieje menor de la elipse. El vector de Laplace-Runge-Lenz es un producto vectorial de y (Fig. 3). El vector está etiquetado como binormal ya que es perpendicular tanto a , como a . Al igual que el vector de Laplace-Runge-Lenz, el vector binormal se puede definir con diferentes factores. ${\mathbf {A}}={\mathbf {B}}\veces {\mathbf {L}}$ $\matemáticas {B}$ $\mathbf{L}$ $\matemáticas {B}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{L}$

Dos vectores conservados, y se pueden combinar en un tensor de dos elementos conservado $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {B}$ ${\ matemáticas {W}}$

{\mathbf {W}}=\alpha {\mathbf {A}}\otimes {\mathbf {A}}+\beta {\mathbf {B}}\otimes {\mathbf {B}},

donde denota el producto tensorial , y y son factores arbitrarios [11] . Escrita en notación de componentes, esta ecuación dice lo siguiente $\otimes$ $\alfa$ $\beta$

W_{{ij}}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.

Los vectores y son ortogonales entre sí y pueden representarse como los ejes principales de un tensor conservado , es decir, como sus vectores propios . perpendicular $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {B}$ ${\ matemáticas {W}}$ ${\ matemáticas {W}}$ $\mathbf{L}$

{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {W}}=\alpha ({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}){\mathbf {A}}+\beta ({\ matemáticasbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}=0,

ya que y son perpendiculares, entonces . $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {B}$ ${\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}=0$

Derivación de las órbitas de Kepler

La forma y orientación de la órbita en el problema de Kepler , conociendo el vector de Laplace-Runge-Lenz , se puede determinar de la siguiente manera. Considere el producto escalar de los vectores y (la posición del planeta): $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{r}$

{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {r}}=Ar\cos \theta ={\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}) -mkr,

donde es el ángulo entre y (Fig. 4). Cambiemos el orden de los factores en el producto mixto , y con la ayuda de transformaciones simples obtenemos la definición de la sección cónica : $\ theta$ $\mathbf{r}$ $\matemáticas {A}$ ${\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\mathbf {L}}\cdot ({\mathbf {r}}\times {\mathbf {p)))={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}=L^{2}$

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)

con excentricidad dada por la fórmula: $mi$

e={\frac {A}{mk}}={\frac {|{\mathbf {A}}|}{mk}}.

Llegamos a la expresión del módulo al cuadrado de un vector en la forma $\matemáticas {A}$

A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},

que se puede reescribir usando la excentricidad orbital

e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.

Así, si la energía es negativa, lo que corresponde a órbitas acopladas, la excentricidad es menor que uno y la órbita tiene forma elíptica . Por el contrario, si la energía es positiva (órbitas desacopladas, también llamadas órbitas de dispersión ), la excentricidad es mayor que uno y la órbita es una hipérbola . Finalmente, si la energía es exactamente cero, la excentricidad es uno y la órbita es una parábola . En todos los casos, el vector está dirigido a lo largo del eje de simetría de la sección cónica y apunta al punto de la posición más cercana de la partícula puntual al origen ( periapsis ). $\matemáticas {A}$

Conservación bajo una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Se supone que la fuerza que actúa sobre la partícula es central . Es por eso $\mathbf {F}$

{\mathbf {F}}={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}=f(r){\frac {{\mathbf {r}}}{r}}=f(r ){\mathbf {{\sombrero {r))))

para alguna función de radio . Dado que el momento angular se conserva bajo la acción de las fuerzas centrales, entonces $f(r)$ $r$ ${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\veces {\mathbf {p}}$ ${\frac{d}{dt}}{\mathbf{L}}=0$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}\times {\ mathbf {L}}=f(r){\mathbf {{\hat {r}}}}\times \left({\mathbf {r}}\times m{\frac {d{\mathbf {r}} {dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[{\mathbf {r}}\left({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d {\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right],

donde el momento se escribe como , y el doble producto vectorial se simplifica utilizando la fórmula de Lagrange ${\mathbf {p}}=m{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}$

{\mathbf {r}}\times \left({\mathbf {r}}\times {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)={\mathbf {r}}\ izquierda({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}} {dt}}.

Identidad

{\frac {d}{dt))({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {r}})=2{\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}

conduce a la ecuación

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r )){\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}} \right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right).

Para el caso especial de una fuerza central que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia , la última expresión es $f(r)={\frac{-k}{r^{2}}}$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}}).

Luego guardado en este caso $\matemáticas {A}$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {A}}={\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}})=0.

Como se muestra a continuación , el vector de Laplace-Runge-Lenz es un caso especial del vector conservado generalizado , que se puede definir para cualquier fuerza central [11] [12] . Sin embargo, la mayoría de las fuerzas centrales no forman órbitas cerradas (consulte el teorema de Bertrand ), un vector similar rara vez tiene una definición simple y, en general, es una función de varios valores del ángulo entre y . $\matemáticas {A}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ $\ theta$ $\mathbf{r}$ $\mathcal{A}$

Cambio bajo la acción de fuerzas centrales perturbadoras

En muchos problemas prácticos, como el movimiento planetario, la interacción entre dos cuerpos es sólo aproximadamente inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. En tales casos, el vector de Laplace-Runge-Lenz no es constante. Sin embargo, si el potencial perturbador depende solo de la distancia, entonces se conservan la energía total y el vector de momento angular . Por lo tanto, la trayectoria del movimiento todavía está en la perpendicular al plano, y el valor se conserva, de acuerdo con la ecuación . Por lo tanto, la dirección orbita lentamente en el plano. Usando la teoría de la perturbación canónica y las coordenadas del ángulo de acción , se puede mostrar directamente [2] que gira con la velocidad $\matemáticas {A}$ $hora)$ $mi$ $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$ $A$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\matemáticas {A}$ $\matemáticas {A}$

{\frac {\parcial }{\parcial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\parcial }{\parcial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\ int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\parcial }{\parcial L))\left\{{\frac {m}{L^{ 2}}}\int \limits _{0}^{{2\pi }}r^{2}h(r)\,d\theta \right\},

donde es el período del movimiento orbital y la ecuación se usó para convertir la integral sobre el tiempo en una integral sobre el ángulo (Fig. 5). Por ejemplo, teniendo en cuenta los efectos de la teoría general de la relatividad , llegamos a una suma que, a diferencia de la fuerza gravitacional newtoniana habitual, depende inversamente del cubo de la distancia [25] : $T$ $L\,dt=mr^{2}\,d\theta$

h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).

Sustituyendo esta función en la integral y usando la ecuación

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),

para expresar en términos de , la tasa de precesión del periapsis , causada por esta perturbación, se escribe como [25] $r$ $\ theta$

{\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.

que tiene un valor cercano a la magnitud de la precesión de Mercurio no explicada por la teoría newtoniana de la gravedad [26] . Esta expresión se utiliza para estimar la precesión asociada con las correcciones a la teoría general de la relatividad para púlsares binarios [27] . Este acuerdo con el experimento es un fuerte argumento a favor de la relatividad general [28] .

Teoría de grupos

Teorema de Noether

El teorema de Noether establece que la variación infinitesimal de las coordenadas generalizadas de un sistema físico

\delta q_{i}=\varepsilon g_{i}({\mathbf {q)),\;{\mathbf {{\dot {q)))),\;t)

hace que la función de Lagrange cambie en primer orden por el valor de la derivada del tiempo total

\delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,

que corresponde a la conservación de la cantidad

J=-G+\sum_{i}g_{i}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.

Esta componente del vector de Laplace-Runge-Lenz corresponde a la variación de las coordenadas [29] $Como$

\delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon}{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta_{ es}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],

donde es 1, 2 y 3, y y son las componentes de los vectores de posición y velocidad , respectivamente. La función de Lagrange de un sistema dado $i$ $x_{yo}$ ${\dot {x}}_{i}$ $i$ $\mathbf{r}$ $\mathbf {\dot {r}}$

L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.

El cambio resultante en el primer orden de pequeñez de la función de Lagrange se escribe como

\delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

Esto hace que el componente se guarde $Como$

A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\ izquierda({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right] _{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

La transformación de Lee

Hay otro método para derivar la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz, usando la variación de coordenadas sin involucrar velocidades [30] . Escalado de coordenadas y tiempo con diferentes grados del parámetro (Fig. 6) $\mathbf{r}$ $t$ $\lambda$

t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1} {\ lambda }}\ mathbf {p}

cambia el momento angular total y la energía : $L$ $mi$

L\a \lambda L,\;E\a {\frac {1}{\lambda ^{2))}E

— pero conserva el producto . De ello se deduce que la excentricidad y la magnitud se conservan en la ecuación antes mencionada $EL^{2}$ $mi$ $A$

A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.

La dirección también se conserva porque los semiejes no cambian al escalar. Esta transformación deja verdadera la tercera ley de Kepler , a saber, que el semieje y el período forman una constante . $\matemáticas {A}$ $a$ $T$ $T^{2}/a^{3}$

corchetes de Poisson

Para los tres componentes del vector de momento angular, se pueden definir corchetes de Poisson $L_i$ $\mathbf{L}$

[L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},

donde el índice recorre los valores 1, 2, 3 y es un tensor absolutamente antisimétrico , es decir, el símbolo de Levi-Civita (el tercer índice sumatorio , que no debe confundirse con el parámetro de fuerza definido anteriormente ). Los corchetes (en lugar de los corchetes) se utilizan como corchetes de Poisson, como en la literatura y, entre otras cosas, para interpretarlos como relaciones de conmutación de la mecánica cuántica en la siguiente sección . $i$ $\varepsilon_{{ijs}}$ $s$ $k$

Como se muestra arriba , el vector de Laplace-Runge-Lenz modificado se puede determinar con la misma dimensión que el momento angular al dividir por . El paréntesis de Poisson con el vector de momento angular se escribirá de forma similar $\matemáticas {D}$ $\matemáticas {A}$ $p_{0}$ $\matemáticas {D}$ $\mathbf{L}$

[D_{i},\;L_{{j}}]=\sum_{{s=1}}^{3}\varepsilon_{{ijs}}D_{s}.

El corchete de Poisson c depende del signo de , es decir, cuando la energía total es negativa (órbitas elípticas bajo la acción de una fuerza central que depende inversamente del cuadrado de la distancia) o positiva (órbitas hiperbólicas). Para energías negativas , los corchetes de Poisson toman la forma $\matemáticas {D}$ $\matemáticas {D}$ $mi$ $mi$

[D_{i},\;D_{j}]=-\sum_{{s=1}}^{3}\varepsilon_{{ijs}}L_{s}.

Mientras que para energías positivas los corchetes de Poisson tienen el signo contrario

[D_{i},\;D_{j}]=\sum_{{s=1}}^{3}\varepsilon_{{ijs}}L_{s}.

Las invariantes de Casimir para energías negativas están definidas por las siguientes relaciones

C_{1}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {D}}+{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}={\frac {mk^{2}}{ 2|E|}},

C_{2}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {L}}=0

y tenemos cero soportes de Poisson para todos los componentes y $\matemáticas {D}$ $\mathbf{L}$

[C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\; D_{i}]=0.

$C_{2}$ es cero, debido a la ortogonalidad de los vectores. Sin embargo, el otro invariante no es trivial y depende solo de , y . Este invariante se puede usar para derivar el espectro del átomo de hidrógeno , usando solo la relación de conmutación canónica de la mecánica cuántica, en lugar de la ecuación de Schrödinger más compleja . $C_{1}$ $metro$ $k$ $mi$

Leyes de conservación y simetría

La variación de la coordenada conduce a la conservación de la longitud del vector de Laplace-Runge-Lenz (ver el teorema de Noether ). Esta conservación puede verse como una cierta simetría del sistema. En la mecánica clásica , las simetrías son operaciones continuas que asignan una órbita a otra sin cambiar la energía del sistema; En mecánica cuántica , las simetrías son operaciones continuas que mezclan orbitales atómicos sin cambiar la energía total. Por ejemplo, cualquier fuerza central que conduzca a la conservación del momento angular . En física, normalmente se encuentran fuerzas centrales conservativas que tienen la simetría del grupo de rotación SO(3) . Clásicamente, la rotación total del sistema no afecta la energía de la órbita; mecánicamente cuántica, las rotaciones mezclan funciones esféricas con el mismo número cuántico (estados degenerados) sin cambiar la energía. $\mathbf{L}$ $yo$

La simetría aumenta para la fuerza central inversamente al cuadrado de la distancia. La simetría específica del problema de Kepler conduce a la conservación tanto del vector de momento angular como del vector de Laplace-Runge-Lenz (como se definió anteriormente ), y garantiza mecánicamente cuánticamente que los niveles de energía del átomo de hidrógeno son independientes de la energía cuántica . números de momento angular y . La simetría es más sutil porque la operación de simetría debe tener lugar en un espacio dimensional superior; tales simetrías a menudo se denominan simetrías ocultas [30] . Clásicamente, la mayor simetría del problema de Kepler permite cambios continuos en las órbitas que conservan la energía pero no el momento angular; en otras palabras, las órbitas con la misma energía pero diferente momento angular (excentricidad) se pueden convertir continuamente entre sí. Cuánticamente, esto corresponde a la mezcla de orbitales que difieren en números cuánticos y orbitales atómicos del tipo ( ) y ( ). Tal combinación no se puede hacer con traslaciones o rotaciones 3D normales, pero es equivalente a la rotación en un espacio dimensional superior. $\mathbf{L}$ $\matemáticas {A}$ $yo$ $metro$ $yo$ $metro$ $s$ $l=0$ $pags$ $l=1$

Un sistema acoplado con una energía total negativa tiene simetría SO(4) , que conserva la longitud de los vectores de cuatro dimensiones

|{\mathbf {e}}|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.

En 1935, Vladimir Fok demostró que el problema de la mecánica cuántica de Kepler es equivalente al problema de una partícula libre limitada por una hiperesfera de cuatro dimensiones [7] . En particular, Fock demostró que la función de onda de la ecuación de Schrödinger en el espacio de momento para el problema de Kepler es una generalización en cuatro dimensiones de la proyección estereográfica de funciones esféricas desde una esfera tridimensional a un espacio tridimensional. La rotación y reproyección de la hiperesfera da como resultado una transformación continua de las órbitas elípticas sin cambiar la energía; mecánicamente cuántica, esto corresponde a mezclar todos los orbitales con el mismo número cuántico principal . Valentin Bargman señaló más tarde que los corchetes de Poisson para el vector de momento angular y el vector escalado de Laplace-Runge-Lenz forman el álgebra de Lie para . [8] En pocas palabras, estas seis cantidades corresponden a los seis momentos angulares conservados en cuatro dimensiones asociados con las seis rotaciones simples posibles en este espacio (hay seis formas de elegir dos de los cuatro ejes). Esta conclusión no implica que nuestro universo sea una hiperesfera de cuatro dimensiones ; simplemente significa que este problema particular de la física ( el problema de dos cuerpos para una fuerza central que depende inversamente del cuadrado de la distancia) es matemáticamente equivalente a una partícula libre en una hiperesfera de cuatro dimensiones. $norte$ $\mathbf{L}$ $\matemáticas {D}$ $SO(4)$ $\matemáticas {D}$ $\mathbf{L}$

Un sistema disperso con una energía total positiva tiene simetría SO(3,1) , que conserva la longitud de un cuadrivector en un espacio con la métrica de Minkowski

ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.

Fock [7] y Bargman [8] consideraron tanto las energías negativas como las positivas. También han sido considerados enciclopédicamente por Bender e Itsikson [31] [32] .

Simetría de rotaciones en el espacio de cuatro dimensiones

La conexión entre el problema de Kepler y las rotaciones en el espacio de cuatro dimensiones SO(4) se puede visualizar de forma muy sencilla [31] [33] [34] . Sean dadas las coordenadas cartesianas en el espacio tetradimensional , que se denotan por , donde representan las coordenadas cartesianas de la posición habitual del vector tridimensional . El vector de momento 3D está relacionado con el vector 4D en la esfera unitaria 4D por $(W x Y Z)$ $(x,\;y,\;z)$ $\mathbf{r}$ ${\ matemáticas {p}}$ ${\ símbolo de negrita {\ eta))$

{\boldsymbol \eta }={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {{\sombrero {w))))+{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {p}}={\frac {mk-rpp_{0 }}{mk}}{\mathbf {{\sombrero {w}}}}+{\frac {rp_{0}}{mk}}{\mathbf {p}},

donde es el vector unitario a lo largo del nuevo eje . Como tiene solo tres componentes independientes, este vector se puede invertir obteniendo una expresión para . Por ejemplo, para un componente ${\mathbf {{\sombrero {w))))$ $w$ ${\ símbolo de negrita {\ eta))$ ${\ matemáticas {p}}$ $X$

p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}

y análogamente para y . En otras palabras, un vector tridimensional es una proyección estereográfica de un vector tetradimensional multiplicado por (Fig. 8). $p_{y}$ $p_{z}$ ${\ matemáticas {p}}$ ${\ símbolo de negrita {\ eta))$ $p_{0}$

Sin pérdida de generalidad, podemos eliminar la simetría rotacional normal eligiendo coordenadas cartesianas , donde el eje se dirige a lo largo del vector de momento angular , y la hodógrafa de momento se ubica como se muestra en la Figura 7, con centros circulares en el eje . Dado que el movimiento se produce en un plano, y y son ortogonales, y la atención se puede centrar en un vector tridimensional . La familia de círculos de Apolonio de hodógrafas de impulso (Fig. 7) corresponde a un conjunto de círculos máximos en la esfera tridimensional , todos los cuales se cruzan con el eje en estos dos focos correspondientes a los focos de la hodógrafa de impulso en . Los círculos grandes están conectados por una simple rotación alrededor del eje (Fig. 8). Esta simetría rotacional transforma todas las órbitas con la misma energía entre sí; sin embargo, tal rotación es ortogonal a las rotaciones tridimensionales ordinarias, ya que transforma la cuarta dimensión . Esta mayor simetría es característica del problema de Kepler y corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz. $z$ $\mathbf{L}$ $y$ ${\ matemáticas {p}}$ $L$ $p_{z}=\eta _{z}=0$ ${\ símbolo de negrita {\ eta }} = (\ eta _ {w}, \; \ eta _ {x}, \; \ eta _ {y})$ ${\ símbolo de negrita {\ eta))$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}=\pm 1$ $p_{x}=\pm p_{0}$ $\eta _{x}$ $\eta _{w}$

Se puede obtener una solución elegante al problema de Kepler utilizando variables de acción angular eliminando las coordenadas tetradimensionales redundantes y utilizando coordenadas cilíndricas elípticas [35] ${\ símbolo de negrita {\ eta))$ $(\alfa,\;\beta,\;\varphi)$

\eta _{w}={\mathrm {cn}}\,\alpha \,{\mathrm {cn}}\,\beta ,

\eta _{x}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \cos \varphi ,

\eta _{y}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \sin \varphi ,

\eta _{z}={\mathrm {dn}}\,\alpha \,{\mathrm {sn}}\,\beta ,

donde se utilizan las funciones elípticas de Jacobi : , y . ${\ matemáticas {sn}}$ ${\ matemáticas {cn}}$ ${\ matemáticas {dn}}$

Aplicaciones y generalizaciones

Mecánica cuántica del átomo de hidrógeno

Los corchetes de Poisson proporcionan una manera fácil de cuantificar un sistema clásico . El conmutador de dos operadores mecánicos cuánticos es igual al corchete de Poisson de las variables clásicas correspondientes multiplicado por [36] . Al realizar esta cuantificación y calcular los valores propios del operador de Casimir para el problema de Kepler, Wolfgang Pauli derivó el espectro de energía del átomo similar al hidrógeno (Fig. 9) y, por lo tanto, su espectro de emisión atómica [3] . Esta elegante solución se obtuvo antes de obtener la ecuación de Schrödinger [37] . $yo\hbar$ $C_{1}$

Una característica del operador mecánico cuántico para el vector de Laplace-Runge-Lenz es que los operadores de cantidad de movimiento y de cantidad de movimiento angular no se conmutan entre sí, por lo tanto, el producto vectorial debe definirse cuidadosamente [38] . Por regla general, los operadores en el sistema de coordenadas cartesianas se definen utilizando el producto simetrizado $\matemáticas {A}$ ${\ matemáticas {p}}$ $\mathbf{L}$ $Como$

A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j= 1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),

a partir del cual se determinan los operadores de escalera correspondientes

A_{0}=A_{3},

A_{{\pm 1}}=\mp {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(A_{1}\pm iA_{2}).

El operador normalizado del primer invariante de Casimir se puede definir de manera similar

C_{1}=-{\frac{mk^{2}}{2\hbar^{2}}}H^{{-1}}-I,

donde es el operador inverso al operador de energía ( hamiltoniano ) y es el operador identidad. Aplicando estos operadores de escalera a los estados propios de los operadores de momento angular total, momento angular azimutal y energía, se puede demostrar que los estados propios del primer operador de Casimir están dados por . Por lo tanto, los niveles de energía están dados por $H^{{-1}}$ $yo$ $|lmn\ángulo$ $n^{2}-1$

E_{n}=-{\frac{mk^{2}}{2\hbar^{2}n^{2}}},

que es idéntica a la fórmula de Rydberg para el átomo de hidrógeno (Fig. 9).

Generalización a otros potenciales y SRT

El vector de Laplace-Runge-Lenz se ha generalizado a otros potenciales e incluso a la relatividad especial . La forma más general de este vector se puede escribir como [11]

{\mathcal {A}}=\left({\frac {\parcial \xi }{\partial u}}\right)({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+\left [\xi -u\left({\frac {\parcial \xi }{\parcial u}}\right)\right]L^{2}{\mathbf {{\hat {r))))

donde (ver el teorema de Bertrand ) y , con el ángulo definido como $tu=1/r$ $\xi =\cos \theta$ $\ theta$

\theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u ^{2}}}}}.

Aquí está el factor relativista . Como antes, se puede obtener el vector binormal conservado tomando el producto vectorial con el vector de momento angular conservado $\gama$ $\matemáticas {B}$

{\mathcal {B}}={\mathbf {L}}\times {\mathcal {A}}.

Estos dos vectores se pueden combinar en un tensor de dos componentes conservado $W$

{\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.

Como ejemplo, calculamos el vector de Laplace-Runge-Lenz para un oscilador armónico isotrópico no relativista. [11] Considere la fuerza central:

{\mathbf {F}}(r)=-k{\mathbf {r}}

el vector de momento angular se conserva y, por lo tanto, el movimiento ocurre en un plano. El tensor conservado se puede reescribir en una forma más simple:

{\mathbf {W}}={\frac {1}{2m}}{\mathbf {p}}\otimes {\mathbf {p}}+{\frac {k}{2}}{\mathbf {r }}\otimes {\mathbf {r}},

aunque cabe señalar que y no son perpendiculares, al igual que . El vector de Laplace-Runge-Lenz correspondiente tiene una notación más compleja $pags$ $r$ $A$ $B$

{\mathbf {A}}={\frac {1}{{\sqrt {mr^{2}\omega_{0}A-mr^{2}E+L^{2))))}\{ ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+(mr\omega _{0}A-mrE){\mathbf {{\sombrero {r}}}}\},

donde es la frecuencia del oscilador. $\omega _{0}={\sqrt {{\frac {k}{m})))$

Véase también

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Enlaces

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