Gravedad

La gravedad ( atracción , gravitación universal , gravitación ) (del lat. gravitas - "gravedad") es una interacción fundamental universal entre cuerpos materiales que tienen masa . En la aproximación de pequeñas velocidades en comparación con la velocidad de la luz y una interacción gravitatoria débil, está descrita por la teoría de la gravitación de Newton , en el caso general está descrita por la teoría general de la relatividad de Einstein . En el límite cuántico , la interacción gravitatoria está supuestamente descrita por la teoría cuántica de la gravedad , que aún no ha sido desarrollada.

La gravedad juega un papel extremadamente importante en la estructura y evolución del Universo (estableciendo una relación entre la densidad del Universo y la tasa de su expansión) [1] , definiendo las condiciones clave para el equilibrio y la estabilidad de los sistemas astronómicos [2] . Sin gravedad, no habría planetas, estrellas, galaxias, agujeros negros en el Universo [3] . La contracción gravitatoria es la principal fuente de energía en las últimas etapas de la evolución estelar (enanas blancas, estrellas de neutrones, agujeros negros). [cuatro]

De acuerdo con la teoría general de la relatividad , la interacción gravitacional es invariante bajo simetría C, simetría P y simetría T [ 5]

Atracción gravitatoria

En el marco de la mecánica clásica , la atracción gravitacional se describe mediante la ley de gravitación universal de Newton , que establece que la atracción gravitatoria entre dos puntos materiales de masa y , separados por una distancia , es proporcional a ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: $m_1$ $m_2$ $r$

F=G{\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.

Aquí está la constante gravitatoria , igual a aproximadamente 6,67⋅10 −11 m³/(kg s²) [6] [7] . Esta ley se cumple en la aproximación a velocidades bajas con respecto a la velocidad de la luz y con interacción gravitacional débil (si para el objeto en estudio, ubicado a una distancia del cuerpo de masa , el valor [8] ). En general, la gravedad es descrita por la teoría general de la relatividad de Einstein . $GRAMO$ $v \ ll c$ $R$ $METRO$ ${\frac{GM}{c^{2}R}}\ll 1$

La ley de la gravitación universal es una de las aplicaciones de la ley del inverso del cuadrado , que también se da en el estudio de la radiación (por ejemplo, la presión de la luz ) y es consecuencia directa del aumento cuadrático del área de la esfera con radio creciente, lo que conduce a una disminución cuadrática en la contribución de cualquier unidad de área al área de toda la esfera.

El campo gravitacional, así como el campo de gravedad , es potencialmente . Esto quiere decir que el trabajo de la fuerza de atracción no depende del tipo de trayectoria, sino únicamente de los puntos de inicio y fin . Equivalentemente: es posible introducir la energía potencial de la atracción gravitacional de un par de cuerpos, y esta energía no cambiará después de mover los cuerpos a lo largo de un contorno cerrado. La potencialidad del campo gravitatorio conlleva la ley de conservación de la suma de las energías cinética y potencial, y al estudiar el movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio, muchas veces simplifica mucho la solución. En el marco de la mecánica newtoniana, la interacción gravitacional es de largo alcance . Esto significa que no importa cómo se mueva un cuerpo masivo, en cualquier punto del espacio, el potencial gravitatorio depende únicamente de la posición del cuerpo en un momento dado.

Los objetos espaciales grandes (planetas, estrellas y galaxias) tienen una masa enorme y, por lo tanto, crean campos gravitatorios significativos.

La gravedad es la fuerza más débil. Sin embargo, dado que actúa a todas las distancias y todas las masas son positivas, es una acción muy importante en el universo. En particular, la interacción electromagnética entre cuerpos a escala cósmica es pequeña, ya que la carga eléctrica total de estos cuerpos es cero (la sustancia en su conjunto es eléctricamente neutra).

Además, la gravedad, a diferencia de otras interacciones, es universal en su efecto sobre toda la materia y la energía. No se han encontrado objetos que no tengan ninguna interacción gravitacional.

Debido a su naturaleza global, la gravedad es responsable de efectos a gran escala como la estructura de las galaxias, los agujeros negros y la expansión del Universo, y de los fenómenos astronómicos elementales: las órbitas de los planetas y de la atracción simple a la superficie de la Tierra y cuerpos que caen.

La gravedad fue la primera interacción descrita por una teoría matemática. Aristóteles (siglo IV a. C.) creía que los objetos con diferentes masas caen a diferentes velocidades. Y solo mucho más tarde (1589) Galileo Galilei determinó experimentalmente que esto no es así: si se elimina la resistencia del aire, todos los cuerpos aceleran por igual. La ley de la gravedad de Isaac Newton (1687) fue una buena descripción del comportamiento general de la gravedad. En 1915, Albert Einstein creó la relatividad general , describiendo la gravedad con mayor precisión en términos de geometría del espacio-tiempo.

Mecánica celeste y algunas de sus tareas

La rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos en el espacio vacío únicamente bajo la influencia de la gravedad se denomina mecánica celeste .

La tarea más simple de la mecánica celeste es la interacción gravitacional de dos cuerpos puntuales o esféricos en el espacio vacío. Este problema en el marco de la mecánica clásica se resuelve analíticamente de forma cerrada; el resultado de su solución a menudo se formula en la forma de las tres leyes de Kepler .

A medida que aumenta el número de cuerpos que interactúan, el problema se vuelve mucho más complicado. Entonces, el ya famoso problema de los tres cuerpos (es decir, el movimiento de tres cuerpos con masas distintas de cero) no puede resolverse analíticamente de forma general. Sin embargo, con una solución numérica, la inestabilidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales se establece con bastante rapidez. Cuando se aplica al sistema solar , esta inestabilidad hace imposible predecir con precisión el movimiento de los planetas en escalas que superan los cien millones de años.

En algunos casos especiales, es posible encontrar una solución aproximada. El más importante es el caso cuando la masa de un cuerpo es significativamente mayor que la masa de otros cuerpos (ejemplos: el sistema solar y la dinámica de los anillos de Saturno ). En este caso, en una primera aproximación, podemos suponer que los cuerpos ligeros no interactúan entre sí y se mueven a lo largo de trayectorias keplerianas alrededor de un cuerpo masivo. Las interacciones entre ellos pueden tenerse en cuenta en el marco de la teoría de perturbaciones y promediarse a lo largo del tiempo. En este caso pueden surgir fenómenos no triviales, como resonancias , atractores , aleatoriedad , etc. Un buen ejemplo de tales fenómenos es la compleja estructura de los anillos de Saturno.

A pesar de los intentos de describir con precisión el comportamiento de un sistema de un gran número de cuerpos que se atraen de aproximadamente la misma masa, esto no se puede hacer debido al fenómeno del caos dinámico .

Fuertes campos gravitatorios

En campos gravitatorios fuertes (así como al moverse en un campo gravitatorio con velocidades relativistas ), comienzan a aparecer los efectos de la relatividad general (GR):

cambio en la geometría del espacio-tiempo;
- como consecuencia, la desviación de la ley de la gravedad de la newtoniana
- y en casos extremos, la aparición de agujeros negros ;
retardo potencial asociado con la velocidad de propagación finita de las perturbaciones gravitacionales ;
- como consecuencia, la aparición de ondas gravitacionales;
Efectos de no linealidad: los campos gravitatorios tienden a "interferir" con la intensidad de los demás, por lo que el principio de superposición en campos fuertes ya no es válido.

Radiación gravitacional

Una de las predicciones importantes de la relatividad general es la radiación gravitacional , cuya presencia fue confirmada por observaciones directas en 2015 [9] . Sin embargo, incluso antes hubo evidencia indirecta de peso a favor de su existencia, a saber: pérdidas de energía en sistemas binarios cercanos que contienen objetos gravitantes compactos (como estrellas de neutrones o agujeros negros ), en particular, descubierto en 1979 en el famoso sistema PSR B1913 + 16 (púlsar de Hulse-Taylor) están en buen acuerdo con el modelo de la relatividad general, en el que esta energía es arrastrada precisamente por la radiación gravitacional [10] .

La radiación gravitacional solo puede ser generada por sistemas con momentos cuadripolares variables o multipolares superiores , este hecho sugiere que la radiación gravitacional de la mayoría de las fuentes naturales es direccional, lo que complica mucho su detección. La potencia de la fuente de campo gravitatorio es proporcional a si el multipolo es de tipo eléctrico y si el multipolo es de tipo magnético [11] , donde es la velocidad característica de las fuentes en el sistema radiante, y es la velocidad de luz en el vacío. Así, el momento dominante será el momento cuadripolar de tipo eléctrico, y la potencia de la radiación correspondiente es igual a: $norte$ $(v/c)^{2n + 2}$ $(v/c)^{2n + 4}$ $v$ $C$

L = \frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q^{ij }}{dt^3}\derecho\rango,

donde es el tensor del momento cuadripolar de la distribución de masa del sistema radiante. La constante (1/W) permite estimar el orden de magnitud de la potencia de radiación. $Q_{ij}$ ${\frac {G}{c^{5}}}=2{,}76\cdot 10^{-53}$

A partir de 1969 ( experimentos de Weber ), se están construyendo detectores de radiación gravitatoria. En los EE. UU., Europa y Japón, actualmente hay varios detectores terrestres activos ( LIGO , VIRGO , TAMA , GEO 600 ), así como el proyecto de detector gravitatorio espacial LISA (Laser Interferometer Space Antenna ). Se está desarrollando un detector terrestre en Rusia en el Centro Científico para la Investigación de Ondas Gravitacionales " Dulkyn " [12] de la República de Tatarstán .

Efectos sutiles de la gravedad

Además de los efectos clásicos de atracción gravitatoria y dilatación del tiempo, la teoría general de la relatividad predice la existencia de otras manifestaciones de la gravedad, que son muy débiles en condiciones terrestres y por tanto su detección y verificación experimental son muy difíciles. Hasta hace poco, superar estas dificultades parecía estar más allá de las capacidades de los experimentadores.

Entre ellos, en particular, se pueden nombrar el arrastre de los sistemas de referencia inercial (o el efecto Lense-Thirring) y el campo gravitomagnético . En 2005, la sonda Gravity Probe B de la NASA llevó a cabo un experimento de precisión sin precedentes para medir estos efectos cerca de la Tierra. El procesamiento de los datos obtenidos se llevó a cabo hasta mayo de 2011 y confirmó la existencia y magnitud de los efectos de precesión geodésica y arrastre de los marcos de referencia inerciales, aunque con una precisión ligeramente inferior a la supuesta originalmente.

Después de un intenso trabajo de análisis y extracción de ruido de medición, los resultados finales de la misión se anunciaron en una conferencia de prensa en NASA-TV el 4 de mayo de 2011 y se publicaron en Physical Review Letters [13] . El valor medido de la precesión geodésica fue −6601.8±18.3 ms /año, y el efecto de arrastre fue −37.2±7.2 ms / año (comparar con los valores teóricos de −6606.1 mas /año y −39,2mas/año ) .

Teorías clásicas de la gravedad

Debido al hecho de que los efectos cuánticos de la gravedad son extremadamente pequeños incluso en las condiciones más extremas y observables, todavía no hay observaciones confiables de ellos. Las estimaciones teóricas muestran que, en la gran mayoría de los casos, uno puede limitarse a la descripción clásica de la interacción gravitatoria.

Existe una moderna teoría canónica [14] clásica de la gravitación: la teoría general de la relatividad , y muchas hipótesis y teorías que la refinan con diversos grados de desarrollo, compitiendo entre sí. Todas estas teorías dan predicciones muy similares dentro de la aproximación en la que actualmente se están realizando pruebas experimentales. Las siguientes son algunas de las principales, mejor desarrolladas o conocidas teorías de la gravedad.

Relatividad general

En el enfoque estándar de la teoría general de la relatividad (GR), la gravedad se considera inicialmente no como una interacción de fuerzas, sino como una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Así, en la relatividad general, la gravedad se interpreta como un efecto geométrico, y el espacio-tiempo se considera en el marco de la geometría no euclidiana riemanniana (más precisamente, pseudo-riemanniana) . El campo gravitacional (una generalización del potencial gravitatorio newtoniano), a veces también llamado campo gravitatorio, en relatividad general se identifica con el campo métrico tensorial, la métrica del espacio-tiempo de cuatro dimensiones, y la intensidad del campo gravitatorio , con la conexión afín del espacio-tiempo, determinada por la métrica.

La tarea estándar de la relatividad general es determinar los componentes del tensor métrico, que juntos determinan las propiedades geométricas del espacio-tiempo, a partir de la distribución conocida de fuentes de energía-momento en el sistema de coordenadas de cuatro dimensiones en consideración. A su vez, el conocimiento de la métrica permite calcular el movimiento de las partículas de prueba, lo que equivale a conocer las propiedades del campo gravitatorio en un sistema dado. En relación con la naturaleza tensorial de las ecuaciones GR, así como con la justificación fundamental estándar para su formulación, se cree que la gravedad también tiene un carácter tensorial. Una de las consecuencias es que la radiación gravitacional debe ser al menos del orden de los cuadrupolos.

Se sabe que existen dificultades en la relatividad general debido a la no invariancia de la energía del campo gravitatorio, ya que esta energía no está descrita por un tensor y puede determinarse teóricamente de diferentes formas. En la relatividad general clásica, también surge el problema de describir la interacción espín-órbita (ya que el espín de un objeto extendido tampoco tiene una definición única). Se cree que existen ciertos problemas con la unicidad de los resultados y la justificación de la consistencia (el problema de las singularidades gravitacionales ).

Sin embargo, la relatividad general experimental ha sido confirmada hasta hace muy poco tiempo ( 2012 ). Además, muchos enfoques alternativos a los de Einstein, pero estándar para la física moderna, para la formulación de la teoría de la gravedad conducen a un resultado que coincide con la relatividad general en la aproximación de baja energía, que es la única disponible ahora para verificación experimental.

La teoría de Einstein-Cartan

La teoría de Einstein-Cartan (EC) fue desarrollada como una extensión de la relatividad general, incluyendo internamente una descripción del impacto en el espacio-tiempo, además de la energía-momento, también el giro de los objetos [15] . En la teoría EC , se introduce la torsión afín y, en lugar de la geometría pseudo-riemanniana para el espacio-tiempo, se utiliza la geometría de Riemann-Cartan . Como resultado, pasan de la teoría métrica a la teoría afín del espacio-tiempo. Las ecuaciones resultantes para describir el espacio-tiempo se dividen en dos clases: una de ellas es similar a la relatividad general, con la diferencia de que el tensor de curvatura incluye componentes con torsión afín; la segunda clase de ecuaciones define la relación entre el tensor de torsión y el tensor de espín de la materia y la radiación.
Las correcciones resultantes de la relatividad general, bajo las condiciones del universo moderno, son tan pequeñas que aún no son visibles formas hipotéticas de medirlas.

La teoría de Brans-Dicke

En las teorías de tensores escalares, la más famosa de las cuales es la teoría de Brans-Dicke (o Jordan-Brans-Dicke), el campo gravitacional como una métrica efectiva del espacio-tiempo está determinada por la influencia no solo del tensor de energía-momentum de materia, como en la relatividad general, sino también un campo escalar gravitacional adicional. Se considera que el tensor plegado de energía-momento de la materia es la fuente del campo escalar. Por lo tanto, las teorías escalares-tensoriales como GR y RTG (Teoría Relativista de la Gravedad) son teorías métricas que explican la gravedad utilizando únicamente la geometría del espacio-tiempo y sus propiedades métricas. La presencia de un campo escalar conduce a dos grupos de ecuaciones para los componentes del campo gravitatorio: uno para el métrico y otro para el campo escalar. La teoría de Brans-Dicke, debido a la presencia de un campo escalar, también puede considerarse que actúa en una variedad de cinco dimensiones que consta de espacio-tiempo y un campo escalar [16] .

Una división similar de ecuaciones en dos clases también tiene lugar en RTG, donde se introduce la segunda ecuación tensorial para tener en cuenta la conexión entre el espacio no euclidiano y el espacio de Minkowski [17] . Debido a la presencia de un parámetro adimensional en la teoría de Jordan-Brance-Dicke, es posible elegirlo de modo que los resultados de la teoría coincidan con los resultados de los experimentos gravitacionales. Al mismo tiempo, a medida que el parámetro tiende a infinito, las predicciones de la teoría se acercan cada vez más a la relatividad general, de modo que es imposible refutar la teoría de Jordan-Brance-Dicke mediante ningún experimento que confirme la teoría de la relatividad general.

La teoría cuántica de la gravedad

A pesar de más de medio siglo de intentos, la gravedad es la única interacción fundamental para la cual aún no se ha construido una teoría cuántica consistente generalmente aceptada . A bajas energías, en el espíritu de la teoría cuántica de campos , la interacción gravitatoria puede representarse como un intercambio de gravitones - bosones de medida con espín 2. Sin embargo, la teoría resultante no es renormalizable y, por lo tanto, se considera insatisfactoria.

En las últimas décadas, se han desarrollado varios enfoques prometedores para resolver el problema de la cuantización de la gravedad: la teoría de cuerdas , la gravedad cuántica de bucles y otros.

Teoria de las cuerdas

En él, en lugar de partículas y espacio-tiempo de fondo , aparecen cuerdas y sus contrapartes multidimensionales, las branas . Para problemas de alta dimensión, las branas son partículas de alta dimensión, pero desde el punto de vista de las partículas que se mueven dentro de estas branas, son estructuras de espacio-tiempo. Una variante de la teoría de cuerdas es la teoría M.

Gravedad cuántica de bucles

Se intenta formular una teoría cuántica de campos sin referencia al trasfondo del espacio-tiempo, el espacio y el tiempo, según esta teoría, constan de partes discretas. Estas pequeñas células cuánticas del espacio están conectadas entre sí de cierta manera, de modo que en pequeñas escalas de tiempo y longitud crean una estructura de espacio discreta y colorida, y en grandes escalas se convierten suavemente en un espacio-tiempo uniforme y continuo. Aunque muchos modelos cosmológicos solo pueden describir el comportamiento del universo desde el tiempo de Planck después del Big Bang , la gravedad cuántica de bucles puede describir el proceso de explosión en sí mismo, e incluso mirar antes. La gravedad cuántica de bucles hace posible describir todas las partículas del modelo estándar sin necesidad de introducir el bosón de Higgs para explicar sus masas .

Triangulación dinámica causal

Triangulación dinámica causal : la variedad de espacio-tiempo en ella se construye a partir de simples simples euclidianos ( triángulo , tetraedro , pentácoro ) de dimensiones de orden de Planck , teniendo en cuenta el principio de causalidad . La cuatridimensionalidad y el espacio-tiempo pseudo- euclidiano a escala macroscópica no se postulan en él, sino que son una consecuencia de la teoría.

Gravedad en el microcosmos

La gravedad en el microcosmos a bajas energías de partículas elementales es muchos órdenes de magnitud más débil que otras interacciones fundamentales. Por lo tanto, la relación entre la fuerza de la interacción gravitatoria de dos protones en reposo y la fuerza de la interacción electrostática es igual a . ${\ estilo de visualización 10^{-36}}$

Para comparar la ley de la gravitación universal con la ley de Coulomb , la cantidad se llama carga gravitacional. En virtud del principio de equivalencia de masa y energía, la carga gravitacional es igual a . La interacción gravitacional se vuelve igual en fuerza a la electromagnética cuando la carga gravitatoria es igual a la eléctrica , es decir, a energías GeV , que aún son inalcanzables en los aceleradores de partículas elementales. [18] [19] ${\sqrt {G_{N}}}m$ ${\displaystyle {\sqrt {G_{N))}{\frac {E}{c^{2))))$ ${\sqrt {G_{N}}}{\frac {E}{c^{2}}}=e$ $E={\frac {ec^{2}}{\sqrt {G_{N}}}}=10^{18}$

Se supone que la interacción gravitacional fue tan fuerte como las otras interacciones en los primeros segundos después del Big Bang [20] . ${\ estilo de visualización 10^{-43}}$

Notas

↑ Weinberg S. Los primeros tres minutos. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 135.
↑ Narlikar J. Universo furioso. - M.: Mir, 1985. - S. 25. - Circulación 100.000 ejemplares.
↑ Narlikar J. Gravedad sin fórmulas. - M.: Mir, 1985. - S. 144. - Circulación 50.000 ejemplares.
↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. Mecánica. - M., Nauka, 1979. - Circulación 50.000 ejemplares. - Con. 311.
↑ V. Pauli Violación de la simetría especular en las leyes de la física atómica // Física teórica del siglo XX. En memoria de Wolfgang Pauli. - M., IL, 1962. - pág. 383
↑ Determinación mejorada de G usando dos métodos // Phys. Rvdo. Letón. 111, 101102 (2013), DOI:10.1103/PhysRevLett.111.101102
↑ G. Rosi, F. Sorrentino, L. Cacciapuoti, M. Prevedelli, GM Tino. Medida de precisión de la constante gravitatoria newtoniana utilizando átomos fríos . Naturaleza (18 de junio de 2014). (indefinido)
↑ Narlikar J. Universo furioso. - M.: Mir, 1985. - S. 70. - Circulación 100.000 ejemplares.
↑ Colaboración científica LIGO y Colaboración Virgo, B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. R. Abernathy. Observación de ondas gravitacionales de una fusión binaria de agujeros negros // Cartas de revisión física. — 2016-02-11. - T. 116 , n. 6 _ - S. 061102 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.116.061102 .
↑ Narlikar J. Gravedad sin fórmulas. - M.: Mir, 1985. - S. 87. - Circulación 50.000 ejemplares.
↑ Ver el artículo gravitomagnetismo para una analogía entre un campo gravitatorio débil y un campo electromagnético .
↑ Centro científico para la investigación de ondas gravitacionales "Dulkyn" Copia de archivo del 25 de septiembre de 2006 en Wayback Machine
↑ CWF Everitt et al . Sonda de gravedad B: resultados finales de un experimento espacial para probar la relatividad general , Physical Review Letters (1 de mayo de 2011). Consultado el 6 de mayo de 2011.
↑ Esta teoría es canónica en el sentido de que es la más desarrollada y ampliamente utilizada en la mecánica celeste moderna , la astrofísica y la cosmología , y el número de resultados experimentales confiablemente establecidos que la contradicen es casi cero.
↑ Ivanenko D. D. , Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Teoría de calibre de la gravedad. — M.: Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1985.
↑ Salvados, CH; Dicke, RH (1 de noviembre de 1961). "Principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Revisión física 124 (3): 925-935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925. Consultado el 23-09-2006.
↑ Desde un punto de vista ortodoxo, esta ecuación es una condición de coordenadas.
↑ Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Manual de física para ingenieros y estudiantes universitarios. - M.: Oniks, 2007. - S. 948. - ISBN 978-5-488-01248-6 - Circulación 5100 ejemplares.
↑ Narlikar J. Gravedad sin fórmulas. - M.: Mir, 1985. - S. 145. - Circulación 50.000 ejemplares.
↑ Weinberg S. Los primeros tres minutos. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 136.

Literatura

Vizgin V. P. Teoría relativista de la gravitación (orígenes y formación, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352c.
Vizgin V.P. Teorías unificadas en el 1er tercio del siglo XX. — M.: Nauka, 1985. — 304c.
Ivanenko D. D. , Sardanashvili G. A. Gravity. 3ra ed. — M.: URSS, 2008. — 200p.
Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravedad. — M.: Mir, 1977.
Thorn K. Agujeros negros y pliegues del tiempo. El audaz legado de Einstein. - M.: Editorial estatal de literatura física y matemática, 2009.
Halliday, David; Roberto Resnick; Kenneth S. Krane. física v. 1.- Nueva York: John Wiley & Sons , 2001.- ISBN 978-0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Física para científicos e ingenieros . — 6to. —Brooks /Cole, 2004. - ISBN 978-0-534-40842-8 .
Tipler, Pablo. Física para científicos e ingenieros : mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica . — 5to. — WH Freeman, 2004. - ISBN 978-0-7167-0809-4 .