Modelo de pila de arena

El modelo de pila  de arena es un modelo clásico de la teoría de la criticidad autoorganizada asociada con muchas áreas de las matemáticas.

Descripción y propiedades del modelo

En la versión más simple, el modelo se formula de la siguiente manera. Considere una cuadrícula cuadrada. En esta cuadrícula hay una pila de arena: en cada nodo de esta cuadrícula se coloca una pila de varios granos de arena. Si hay 4 o más granos de arena en algún nodo de la pila, entonces el montón es inestable y se produce un colapso ( toppling en inglés  ): 1 grano de arena se mueve de este nodo a 4 nodos vecinos. Los bloqueos ocurren hasta que el montón se vuelve estable , es decir, hasta que quedan menos de 4 granos de arena en cada nodo; al mismo tiempo, el montón de arena resultante no depende del orden en que ocurrieron los derrumbes [1] .

Es natural introducir la operación de "suma" en el conjunto de montones de arena estables: para obtener la suma de dos montones, debe colocar todos los granos de arena del nodo correspondiente en el primer y segundo montones en cada nodo del grid, y luego realice los colapsos necesarios para volver a obtener un montón estable. Con tal operación de suma, el conjunto de sandhills se convierte en un monoide conmutativo [2] . Un elemento neutro es un montón que, cuando se suma a cualquier otro montón, no lo cambia, es una cuadrícula vacía sin un solo grano de arena.

No es necesario considerar el modelo de pila de arena exactamente en una cuadrícula. En lugar de una cuadrícula cuadrada, puede tomar otra (en este caso, el colapso no debe ocurrir con 4 granos de arena en el nodo, sino con la cantidad de granos de arena igual a la cantidad de vecinos), por ejemplo, triangular , o en general varios infinitos grafos o multigrafos no dirigidos o dirigidos . Además, también se pueden considerar montones de arena en el gráfico final, si algunos nodos son sumideros ( fregadero en inglés  ): al entrar en ellos, los granos de arena no se acumulan, sino que desaparecen.

El conjunto de montones de arena estables en un gráfico finito (por ejemplo, una cuadrícula rectangular finita rodeada por todos lados por vértices de sumidero) también será finito. En un monoide conmutativo finito, se puede seleccionar un determinado subconjunto (es decir, su ideal mínimo ) que será un grupo con respecto a la misma operación (en este caso, la suma de montones). Tal grupo se denomina, para un gráfico dado , el grupo de montones de arena del gráfico, y los montones incluidos en él se denominan recurrentes .  Sin embargo, el elemento neutro de este grupo, en términos generales, difiere del elemento neutro del monoide. Además, el grupo de montones de arena es notable, entre otras cosas, por el hecho de que el elemento neutral en él parece completamente no trivial e incluso muestra las características de un fractal [3] .

Las conexiones del modelo de pila de arena con varias áreas de las matemáticas son profundas y diversas [1] . El tamaño del área afectada por colapsos cuando se agrega un grano de arena más a una pila aleatoria de arena obedece a una distribución de ley de potencia [4] , que es típica para fenómenos críticos . Puede pensar en un montón inestable en el que se producen colapsos como un autómata celular . El colapso de un montón de arena se puede describir utilizando la matriz de Kirchhoff , que, a través del teorema del árbol de matrices, relaciona el orden del grupo del montón de arena con el número de árboles de expansión en el gráfico (también hay una biyección directa ), así como con el teorema de Riemann-Roch para grafos. El cálculo de la densidad de los granos de arena en una pila, que se obtiene a partir de muchos granos de arena apilados en un nodo de una cuadrícula infinita, está relacionado con la cuadrícula de Apolonio . Las curvas tropicales se pueden obtener en montones de arena en una cuadrícula cuadrada finita [5] .

Notas

1. ↑ 1 2 Levine y Peres, 2017 , 1. El modelo de pila de arena abeliana.
2. ↑ Corry y Perkinson, 2018 , 6.1.1. Estructura aditiva.
3. ↑ Jarai, 2018 , pág. 252.
4. ↑ Corry y Perkinson, 2018 , 12.4. Criticidad autoorganizada.
5. ↑ Kalinin et al, 2018 , Curvas tropicales en montones de arena.

Literatura

• N. S. Kalinin. Modelo de vertido de arena y divisores en gráficos (Modelo de arena) . Escuela de Verano "Matemáticas Modernas" (2017). Recuperado: 20 junio 2018. (indefinido)
• Lionel Levine y James Propp. ¿Qué es... un montón de arena? // Avisos de la AMS. - 2010. - Vol. 57. - Pág. 976-979.
• Lionel Levine y Yuval Peres. Crecimiento laplaciano, pilas de arena y límites de escala // Bull. amer Matemáticas. Soc.. - 2017. - Vol. 54.—Pág. 355–382. -doi : 10.1090 / toro/1573 .
• Antal A. Jarai. Modelos de pilas de arena // Encuestas de probabilidad. - 2018. - Vol. 15.- Pág. 243-306. -doi : 10.1214 / 14-PS228 .
• N. Kalinin, A. Guzmán-Sáenz, Y. Prieto, M. Shkolnikov, V. Kalinina y E. Lupercio. Criticidad autoorganizada y aparición de patrones a través de la lente de la geometría tropical // PNAS. - 2018. - Vol. 115. - P.E8135-E8142. -doi : 10.1073/ pnas.1805847115 .
• Scott Corry y David Perkinson. Divisores y Sandpiles . - AMS, 2018. - ISBN 978-1-4704-4218-7 .
• P. Bak , C. Tang, K. Wiesenfeld. Criticidad autoorganizada: una explicación del ruido 1/ f // Cartas de revisión física. - 1987. - vol. 59.—Pág. 381–384. -doi :/ PhysRevA.38.364 .
• G. Yu. Ivanyuk, A. M. Perlikov. V.6.1. Modelo de "montón de arena" // Autoorganización de sistemas minerales  / P. M. Goryainov, G. Yu. Ivanyuk. - M  .: GEOS, 2001. - ISBN 5-89118-209-2 .