Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica

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La desigualdad de la media aritmética, la media geométrica y la media armónica dice que para cualquier número no negativo , la desigualdad es verdadera: $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {aritmo} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {geom } }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {armonía} },

y la igualdad se logra si y sólo si . ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n))$

Esta desigualdad es un caso especial de la desigualdad media (desigualdad de Cauchy).

Definiciones

Expresión

{\bar {x}}_{\mathrm {aritmo} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\ fracción {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}

se llama la media aritmética de los números . $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

Expresión

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}{x_{i}}}}={ \sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

se llama la media geométrica de los números . $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

Expresión

{\bar {x}}_{\mathrm {armonía} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}} ))}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_ {norte}}}}}

se llama la media armónica de los números . $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

Expresión

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum_{i=1}^{n}{x_{i} ^{2))))={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}

se llama la raíz cuadrada media de los números . $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

Resultados relacionados

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La desigualdad de Cauchy en forma generalizada formó la base de la programación geométrica .
La desigualdad de Carleman .

Historia

Cauchy publicó una prueba de esta desigualdad en su libro de texto sobre cálculo en 1821 [1] .

Prueba

Para n = 2

El número de pruebas de esta desigualdad en este momento es comparable, quizás, solo con el número de pruebas del teorema de Pitágoras. Damos una hermosa prueba geométrica para el caso . Se nos dan dos segmentos de longitud y . Luego construimos un círculo con un diámetro (ver Fig. 1). Desde uno de los extremos del diámetro, marque un punto a una distancia . Dibujemos una perpendicular al diámetro por este punto; la línea resultante interseca al círculo en dos puntos, y . Considere el acorde resultante. El triángulo es rectángulo, ya que el ángulo está inscrito en un círculo y en función de su diámetro, lo que significa que es una línea recta. Entonces, es la altura del triángulo , y la altura en un triángulo rectángulo es la media geométrica de los dos segmentos de la hipotenusa . Entonces _ Del mismo modo, del triángulo obtenemos que , por lo tanto . Como es la cuerda de un círculo con diámetro , y la cuerda no excede el diámetro, obtenemos que , o . Nótese que la igualdad será cuando la cuerda coincida con el diámetro, es decir, cuando . $n=2$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización a + b}$ $METRO$ $a$ $C$ $C_{1}$ $A B C$ $C$ $CM$ $A B C$ $CM={\sqrt {ab}}$ $ABC_{1}$ $C_{1}M={\sqrt {ab))$ $CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab))$ $CC_{1}$ ${\ estilo de visualización a + b}$ $2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b$ ${\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}$ $a=b$

La demostración algebraica se puede construir de la siguiente manera:

{\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(ab )^{2}\geqslant 0

Tenga en cuenta que la primera transición es equivalente debido a la no negatividad de y . $a$ $b$

Para n = 4

Es suficiente poner , así como . Es fácil ver, en virtud de lo que se ha probado, que $\alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}$ $\alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}$

{\frac {\alpha +\beta }{2))\geqslant {\sqrt {\alpha \beta ))\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '))\;\Leftrightarrow \;{ \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3} a_{4}}}

Por inducción con un paso hacia atrás

Obviamente, el paso de 2 a 4 por inducción implica la validez de la desigualdad para , y para la que nos interesa existe . Asumiendo que la desigualdad es verdadera para , probaremos su validez para . Para ello, basta con poner , entonces $N=2^{k}$ $norte$ ${\ Displaystyle k: N \ geqslant n}$ $norte$ $N-1$ ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1))))$

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}} }\;\Flecha izquierda-derecha \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1)) }}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\Leftrightarrow \;

a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1 }}}\;\Flecha izquierda-derecha \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \ cdot a_{N-1}}}

Por el principio de inducción, la prueba anterior también es válida para . $norte$

Prueba directa

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_ {n}}{n}}}

Dividamos ambos lados de la desigualdad por y hagamos el cambio . Entonces bajo las condiciones es necesario probar que (1). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}$

Usemos el método de inducción matemática .

Necesitamos demostrar que si , entonces . Usamos la desigualdad (1), que, por la suposición inductiva, consideramos probada para . Sea , y elija de la sucesión ( ) dos términos tales que , (estos existen exactamente, porque ). Entonces ambas condiciones se cumplen y se supone que la desigualdad o está probada . Ahora reemplacemos con . Esto se puede hacer debido al hecho de que o , que obviamente se cumple, ya que . Por lo tanto, la desigualdad está probada. $m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}= una$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1$ $norte$ ${\displaystyle y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1))$ $mi$ ${\ Displaystyle m_ {n} \ geq 1}$ $m_{n+1}\leq 1$ $m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geqn$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geqn$ $m_{n}m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1$ $m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0$ $m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0$

Reflexión en la cultura

El episodio con la prueba de que la media aritmética es mayor que la media geométrica está presente en una de las escenas de la película " Corazones de cuatro " de 1941.

Notas

↑ Cauchy, Agustín-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Fiesta de estreno. Analizar álgebra . - París, 1821. - S. 457-459 . Archivado desde el original el 15 de marzo de 2017.

Literatura

Solovyov Yu. Augustin Louis Cauchy y la inducción matemática // Kvant . - 1991. - Nº 3 . - S. 13-14 .

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución