Topología algebraica

La topología algebraica (nombre obsoleto: topología combinatoria ) es una sección de la topología que estudia los espacios topológicos comparándolos con objetos algebraicos ( grupos , anillos , etc.), así como el comportamiento de estos objetos bajo la acción de diversas operaciones topológicas.

Métodos básicos

Los métodos de topología algebraica se basan en la suposición de que las estructuras algebraicas generales son más simples que las topológicas.

Una herramienta importante en la topología algebraica son los llamados grupos de homología (por ejemplo, simplicial o singular). Cada espacio topológico corresponde en cada dimensión a su propio grupo de homología abeliana , y cada mapeo continuo corresponde a un homomorfismo de grupo , y la composición de los mapeos corresponde a la composición de los homomorfismos , y el mapeo idéntico corresponde al homomorfismo idéntico . En el lenguaje de la teoría de categorías , esto significa que el grupo de homología -ésima es un funtor covariante de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos. $X$ $norte$ $H_{n}(X)$ $f:X\a Y$ $f_{*}:H_{n}(X)\a H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\ matemáticas {id}}$ ${\matemáticas {id}}_{*}$ $norte$

Además de varias teorías de homología (la homología extraordinaria , como la teoría o la teoría del bordismo , ahora se han vuelto muy importantes ), los grupos de homotopía son importantes para la topología algebraica . De estos, el principal es el llamado grupo fundamental , que, a diferencia de los grupos de todas las demás dimensiones, puede ser no abeliano. $k$ $\pi_{n}(X)$ $\pi_{1}(X)$

Un ejemplo de una técnica

Un ejemplo clásico de la aplicación de métodos de topología algebraica es la demostración del teorema del punto fijo de Brouwer . El enunciado del teorema es que cualquier aplicación continua de una bola de dimensión cerrada en sí misma tiene un punto fijo, es decir, . $norte$ $f\dos puntos D_{n}\a D_{n}$ $\existe x\dos puntos f(x)=x$

Para la demostración, se usa el siguiente lema: no hay retracción de una bola bidimensional sobre su límite, una esfera bidimensional (un mapeo continuo tal que para todos los puntos del límite). En efecto: si el mapeo no tiene puntos fijos, entonces es posible construir un mapeo de una pelota sobre una esfera dibujando para cada punto de la pelota un rayo que sale y lo atraviesa (en ausencia de puntos fijos, estos son puntos diferentes); sea el punto de intersección del rayo con la esfera , y . El mapeo es continuo, y si pertenece a la esfera, entonces . Así se obtiene una retracción de una bola sobre una esfera, lo cual es imposible por el lema. Por lo tanto, existe al menos un punto fijo. $norte$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ ${\ estilo de visualización g: D_ {n} \ a S_ {n-1},}$ $g(x)=x$ $F$ $gramo$ $X$ $f(x)$ $X$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $X$ $g(x)=x$

Para probar el lema, se supone que tal retractación existe . Para incrustar una esfera en una bola , se cumple la siguiente propiedad: la composición de las asignaciones es la asignación idéntica de la esfera (primero , luego ). Además, se demuestra que , y . Entonces la aplicación será una aplicación a 0, pero, por otro lado, como , tenemos — no es un homomorfismo cero, sino un isomorfismo idéntico. $gramo$ $yo(x)=x$ $gi={\matemáticas {id}}$ $i$ $gramo$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf{Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\a H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\matemáticas {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

También se conocen demostraciones no algebraicas del teorema de Brouwer, pero la introducción de la homología facilitó inmediatamente la demostración de muchos enunciados que antes parecían no estar relacionados entre sí.

Historia

Algunos teoremas de topología algebraica ya eran conocidos por Euler , por ejemplo, que para cualquier poliedro convexo con el número de vértices , aristas y caras , . $V$ $mi$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss y Riemann estaban interesados en cuestiones topológicas .

Pero el papel principal en la creación de la topología algebraica como ciencia lo desempeñó Poincaré : es él quien posee los conceptos de homología simplicial y el grupo fundamental. Grandes contribuciones fueron hechas por Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Entre los matemáticos soviéticos/rusos, cabe señalar a P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Kontsevich , Voevodsky , Perelman .

Literatura

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Prasolov VV Elementos de la teoría de la homología. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Topología algebraica: homotopía y homología. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Topología algebraica. — M.: Mir, 1971
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Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curso de topología homotópica. — M.: Nauka, 1989

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