Lema de Shapley-Folkman

El lema de Shapley-Folkman [aprox. 1] vincula dos operaciones de geometría convexa : la suma de Minkowski y el casco convexo . El lema tiene aplicaciones en varias disciplinas, incluida la economía matemática , la optimización y la teoría de la probabilidad [2] . El lema y los resultados relacionados nos permiten dar una respuesta afirmativa a la pregunta "¿La suma de varios conjuntos es cercana al estado de convexidad [3] .

El lema lleva el nombre de Lloyd Shapley y John Folkman.y fue publicado por primera vez en el trabajo del economista Ross Starr. En 2012, Shapley, junto con Alvin Roth , ganó el Premio Nobel de Economía [aprox. 2] . El trabajo de Starr, en el que se produjo la primera mención del lema, se publicó en 1969. Luego, el economista colaboró con el famoso científico estadounidense Kenneth Arrow y trató el tema de la existencia de ciertos equilibrios económicos [1] . En el trabajo de Starr, se llevó a cabo un estudio de la economía , en el que algunas relaciones expresadas geométricamente que tenían la propiedad de no convexidad fueron reemplazadas por las contrapartes convexas más cercanas: cascos convexos . Starr demostró que tal economía "convexa" tiene equilibrios que están muy cerca de los cuasi-equilibrios de la economía original. Además, el científico demostró que cada cuasiequilibrio tiene una serie de características óptimas de un verdadero equilibrio, que se encuentran en economías convexas. El trabajo de Shapley, Folkman y Starr mostró que los principales resultados de la economía convexa son buenas aproximaciones de la economía con elementos no convexos. El lema sugiere que si el número de sumandos de conjuntos excede la dimensión del espacio vectorial D , entonces se requiere encontrar cascos convexos ("ov-convexidad") solo para sumandos D [1] . El economista francés Roger Gesnery escribió: "Obtener estos resultados de forma general fue uno de los principales logros de la teoría económica de la posguerra " [4] .

El tema de los conjuntos no convexos en economía se convirtió en el tema de investigación de muchos otros premios Nobel [aprox. 2] . Paul Samuelson (Premio 1970), Kenneth Arrow (1972), Tjalling Koopmans (1975), Gerard Debreux (1983), Robert Aumann (2005), Paul Krugman (2008) trabajaron en este número . Leonid Kantorovich (1975), Robert Solow (1987), Leonid Gurvich (2007) trataron temas relacionados con los conjuntos convexos . En la teoría de la optimización , el lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para explicar la solución exitosa de problemas de minimización de las sumas de varias funciones [5] [6] , así como para probar la " ley de los promedios " para conjuntos aleatorios (este teorema solo se ha probado para conjuntos convexos) [7] .

Categorías bajo consideración

El lema se basa en algunas categorías matemáticas y resultados de geometría convexa.

Espacio vectorial real

Una estructura algebraica se denomina espacio vectorial , para cuyos elementos se definen dos operaciones: suma y multiplicación por un número (llamado " escalar " ). En este caso, las operaciones están sujetas a ocho axiomas: $V$

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , para cualquiera ( conmutatividad de la suma ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , para cualquiera ( asociatividad de la suma ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
hay un elemento tal que para cualquiera ( la existencia de un elemento neutro con respecto a la adición ), en particular, no está vacío; $\ theta \ en V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $V$
para cualquier hay un elemento tal que ( la existencia de un elemento opuesto con respecto a la adición ). $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\lambda (\mu {\mathbf {x}})=(\lambda \mu ){\mathbf {x}}$ ( asociatividad de la multiplicación por un escalar );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitaridad: la multiplicación por un escalar neutral a la multiplicación conserva un vector ).
$(\lambda +\mu ){\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}+\mu {\mathbf {x}}$ ( distributividad de la multiplicación por un vector con respecto a la suma de escalares );
$\lambda ({\mathbf {x}}+{\mathbf {y}})=\lambda {\mathbf {x}}+\lambda {\mathbf {y}}$ ( distributividad de la multiplicación por un escalar con respecto a la suma de vectores ),

donde es un conjunto no vacío de elementos ( "vectores" ) del espacio dado [8] . $V$

Una característica importante de un espacio vectorial es la dimensión , que caracteriza el número máximo de elementos linealmente independientes del espacio. Estos elementos linealmente independientes forman la base del espacio vectorial [9] .

Conjunto convexo

Un conjunto no vacío en un espacio vectorial real se considera convexo si el segmento que conecta dos puntos cualesquiera es un subconjunto [10] . Por ejemplo, el conjunto no convexo de enteros {0, 1, 2} es un subconjunto del intervalo [0, 2], que tiene la propiedad de convexidad. La circunferencia es un conjunto convexo, y la circunferencia no puede ser considerada como tal, ya que no todos los puntos del segmento serán simultáneamente puntos del conjunto: . Se considera que el conjunto vacío es convexo por definición [11] o según el principio de verdad vacío $q$ $q$ $q$ $\bala$ $\circ$ $\oslash$ [aprox. 3] .

Formalmente, un conjunto convexo se puede definir de la siguiente manera:

Un conjunto es convexo si para cualquier punto y cualquier número real la condición $q$ $v_{0}$ $v_{1}\en Q$ $\lambda\in[0,1]$

(1-\lambda)v_{0}+\lambda v_{1}\en Q

Una combinación convexa de un conjunto es un promedio ponderado definido por la fórmula

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}

bajo condiciones

{\begin{casos}\lambda _{i}\geqslant 0,\\\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}=1.\end{casos}}

Usando el método de inducción matemática , se puede establecer que un conjunto es convexo si y solo si toda combinación convexa pertenece al propio conjunto [12] [13] [14] : $q$ $q$

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}\in Q

La definición de un conjunto convexo supone que la intersección de dos conjuntos convexos siempre es convexa. Esto también implica que la intersección de una familia de conjuntos convexos también es convexa. En particular, un par de conjuntos disjuntos tiene una intersección del conjunto vacío, el cual, como se estableció anteriormente, es convexo [11] .

Casco convexo

La envolvente convexa de un conjunto es el conjunto convexo más pequeño que contiene como subconjunto. El conjunto más pequeño es el elemento más pequeño con respecto a la incrustación de conjuntos, es decir, un conjunto convexo que contiene una figura dada tal que está contenido en cualquier otro conjunto convexo que contiene una figura dada. Entonces, es la intersección de todos los conjuntos convexos que cubren . Por ejemplo, la envolvente convexa del conjunto {0, 1} es el segmento de la recta numérica [0, 1] que contiene los números enteros 0 y 1 [15] . $ConvQ$ $q$ $q$ $ConvQ$ $q$

Adición de Minkowski

La suma de Minkowski de conjuntos no vacíos y en un espacio vectorial real es el conjunto formado por las sumas de todos los elementos posibles de los sumandos de los conjuntos [16] [17] : $Q_1$ $Q_{2}$ $Q_{3}$

$Q_{3}=\izquierda\{\,q_{3}\mid q_{3}=q_{1}+q_{2},q_{1}\en Q_{1},q_{2}\en Q_ {2}\,\derecha\}.$

Entonces, como resultado de la operación, se forma un conjunto de sumas que incluye todas las sumas posibles de elementos del primer y segundo conjunto. Por ejemplo, si un conjunto que consta de cero y uno se suma a sí mismo, entonces el resultado será un conjunto que incluye cero, uno y dos [15] :

\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.

Según el método de inducción matemática, la suma de Minkowski de una familia finita de conjuntos no vacíos bajo las condiciones $Q_{n}$

{\begin{casos}Q_{n}\neq \varnada,\\1\leqslant n\leqslant N.\\\end{casos))

es un conjunto formado por la suma elemento-sabia de conjuntos de sumandos [18] [19] :

\sum Q_{n}=\{\sum q_{n}:q_{n}\in Q_{n}\}

La suma de un conjunto y un conjunto que contiene solo un elemento cero es igual a : $q$ $\{0\}$ $q$

Q+\{0\}=Q

El casco convexo de la suma de Minkowski

La operación de suma de Minkowski tiene una propiedad útil en conjuntos "convexos", es decir, para encontrar sus envolturas convexas. Para cualquier conjunto y en un espacio vectorial real, la envolvente convexa de su suma de Minkowski es igual a la suma de Minkowski de sus envolventes convexas: $Q_1$ $Q_{2}$

Conv(Q_{1}+Q_{2})=ConvQ_{1}+ConvQ_{2}

Usando inducción matemática, se deriva una declaración similar para un conjunto finito de conjuntos [20] [21] :

Conv(\sum Q_{n})=\sum Conv(Q_{n})

Lema

Identidad

Conv(\sum Q_{n})=\sum Conv(Q_{n})

nos permite establecer que si un punto pertenece a la envolvente convexa de la suma de conjuntos de Minkowski, entonces también pertenece a la suma de las envolventes convexas de los sumandos de los conjuntos: $v$ $norte$

v\in Conv(\sum Q_{n})\Rightarrow v\in \sum Conv(Q_{n})

De esta implicación y de la definición de la suma de Minkowski se sigue que cualquier punto perteneciente al conjunto puede representarse como la suma de algunos puntos pertenecientes a las envolventes convexas de los sumandos de los conjuntos: $Conv(\sum Q_{n})$ $q_{n}$

{\begin{casos}v=\sum q_{n},\\v\in Conv(\sum Q_{n}),\\q_{n}\in Conv(Q_{n}).\\\end {casos}}

En esta representación, el conjunto de puntos de suma depende del punto de suma elegido . $q_{n}$ $v$

El lema de Shapley-Folkman

Tomemos la representación indicada del punto . $v=\suma q_{n}$

Si la dimensión del espacio vectorial es estrictamente menor que el número de sumandos de los conjuntos

D<N

entonces, según el lema de Shapley-Folkman, la "convexidad" se requiere sólo para los sumandos de los conjuntos (su conjunto específico depende de la elección del punto ) [22] . Esto permite expresar el punto de la siguiente manera: $D$ $v$ $v$

v=\sum_{{1\leq {d}\leq {D}}}{q_{d}}+\sum_{{D+1\leq {n}\leq {N}}}{q_{ norte}}

v\in {\sum_{{1\leq {d}\leq {D))}{\operatorname {Conv}{(Q_{d)))))+\sum_{{D+1\leq { n }\leq {N}}}{Q_{n}}}.

En otras palabras, la suma de puntos pertenece a la envolvente convexa de la suma de conjuntos (o un número menor de conjuntos), y la suma de puntos pertenece a la suma de los restantes conjuntos de sumandos. $q_{d}$ $D$ $q_{n}$

Ilustremos el contenido del lema con el ejemplo más simple: cada punto del conjunto convexo [0, 2] se puede representar como la suma de un número entero del conjunto no convexo {0, 1} y un número real del conjunto no convexo {0, 1} conjunto convexo [0, 1] [15] .

Dimensión

El lema también nos permite sacar las conclusiones opuestas , que no se refieren a conjuntos, sino a la dimensión de un espacio vectorial. Si en algún espacio vectorial real de dimensión finita el lema se cumple para un número natural y para ningún número menor que , entonces la dimensión del espacio vectorial es [23] . Por supuesto, esta declaración es relevante solo para espacios vectoriales de dimensión finita [24] [25] . $D$ $D$ $D$

El teorema de Shapley-Folkman y el corolario de Starr

Shapley y Folkman usaron el lema para probar su teorema, que establecía un límite superior distanciasentre la suma de Minkowski y su casco convexo, la suma "convexa". El teorema de Shapley-Folkman establece que el cuadrado de la distancia euclidiana entre cualquier punto de la suma "convexa" y el punto correspondiente de la suma original no excede el valor de la suma de los cuadrados de los radios más grandes de los círculos circunscritos alrededor de los conjuntos (la esfera circunscrita es la esfera más pequeña que incluye al conjunto) [26] . El valor de dicho límite no depende del número de sumandos de los conjuntos si [27] . Por lo tanto, la distancia es cero si y solo si la suma es en sí misma un conjunto convexo. Cuando la cota superior depende de la dimensión , la forma del sumando se establece y no depende del número de sumandos de los conjuntos [2] . $Conv(\sum Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$ $norte$ $N>D$ $N>D$ $D$

El radio del circuncírculo excede el radio interior del conjunto o, más raramente, lo iguala [28] . El radio interior es el número más pequeño , tal que para cualquier punto hay un círculo de radio , que contiene los puntos que rodean el centro del círculo (es decir , ) [29] . El radio interior es una característica de las dimensiones de las no convexidades del conjunto. Formalmente, el radio interior de un conjunto se puede definir de la siguiente manera [29] [aprox. 4] : $r$ $q\in Conv(Q_{n})$ $r$ $Q_{n}$ $q$

r(Q_{n})=\sup \,\{q\in Conv(Q_{n})\}\inf \,\{T\subset Q_{n}\}rad(T).

El corolario de Starr al teorema estableció un nuevo límite superior (más pequeño que el de Shapley y Folkman) entre la suma y la suma "convexa":

según el corolario de Starr, el cuadrado de la distancia euclidiana entre cualquier punto y el punto correspondiente del conjunto está limitado por la suma de los cuadrados de los radios interiores mayores de los conjuntos [28] [30] . $v\in Conv(\sum Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Para simplificar la presentación de la teoría .la medida de distancia propuesta por Starr se llama non- convexity ( del inglés non-convexity ) [aprox. 5] conjuntos. El límite impuesto por el corolario de Starr sobre la no convexidad del conjunto de sumas depende solo de los radios internos más grandes de los conjuntos de sumandos y no depende del número de sumandos en . $D$ $norte$ $N>D$

El subconjunto de términos ( ), más precisamente, su forma , determina el límite superior de la distancia entre el valor medio de los conjuntos según Minkowski $D$ $N>D$ $norte$

{\frac {1}{N}}(Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{n})

y el casco convexo de este medio. Como N tiende a infinito , la distancia máxima tiende a cero (para sumandos de tamaño uniformemente acotado ) [2] .

Prueba

La prueba original del lema establecía solo la certeza de la existencia de tal representación de puntos, mientras que el algoritmo para encontrarlos no se presentaba en la prueba. Arrow y Hahn [31] , Cassels [32] , Schneider [33] y otros han propuesto pruebas similares . Prueba abstracta y elegante presentada por Ivar Ekeland — su trabajo fue posteriormente complementado por Artstein [5] [34] . Algunas pruebas no han sido publicadas [3] [35] . En 1981, Starr publicó un método iterativo para calcular la representación de un punto de suma dado. Sin embargo, la prueba presentada en el artículo era menos fuerte que la original [36] .

Demostración de Ekeland [5] [aprox. 6]

Sea , y todo menos pertenecer al conjunto . $v=\sum_{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Definamos un mapeo que actúe de a de la siguiente manera: $\Fi$ ${\matemáticas {R}}^{{Dn}}$ ${\ matemáticas {R}}^{D}$

\Phi (q_{n})=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}

Por definición, . $\sum_{{n}}^{{}}Q_{n}=\Phi (\prod_{{n}}^{{}}Q_{n})$

De la linealidad se sigue que $\Fi$

Conv(\Phi (\prod_{{n}}^{{}}Q_{n}))=\Phi(Conv(\prod_{{n}}^{{}}Q_{n}))= \Phi (\prod_{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}))

Conv(\sum_{{n}}^{{}}Q_{n})=\sum_{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}).

Tenga en cuenta que si y solo si también pertenece a la envolvente convexa de un número finito de puntos en el conjunto . Sin embargo, de acuerdo con el teorema del casco convexo de Carathéodory , este resultado no se utilizará en esta demostración. Así que podemos imaginarlo así: $v\in Conv(\sum_{{n}}^{{}}Q_{n})$ $v$ $metro$ $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}$ $m\leqslant D+1$ $v$

v=\sum_{{p=1}}^{{m}}\alpha_{p}y_{p},

dónde

y_{p}\en \sum _{{n}}^{{}}Q_{n},

\alpha _{p}>0,\sum _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}=1.

A su vez, cualquiera puede ser representado como $y_{p}$

y_{p}=\sum_{{n}}^{{}}y_{{np}},y_{{np}}\in Q_{n}.

Denotemos el conjunto m como . Es obvio que para cada $\{y_{{np}}\}_{{1\leqslant p\leqslant m}}$ $F_{n}$ $pags$

y_{p}\en \sum_{{n}}^{{}}F_{n},

donde

v\in Conv(\sum_{{n}}^{{}}F_{n}).

Por lo tanto, hemos reemplazado cada conjunto con un subconjunto finito de . Para otros fines, tenga en cuenta que son politopos en , y el producto es un politopo en . $Q_{n}$ $F_{n}$ $Conv(F_{n})$ ${\ matemáticas {R}}^{D}$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ ${\matemáticas {R}}^{{Dn}}$

Denotemos la imagen previa del elemento cuando se muestra con la letra . Estamos interesados en el subconjunto : $v$ $\Fi$ $H$ $A\en {\mathbb {R}}^{{Dn}}$

A=H\cap Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})=\{q_{n}|q_{n}\in Conv(F_{n}),\sum _ {{n}}^{{}}q_{n}=v\}.

Asunción significa que no está vacío. Además, dado que hay un politopo y es un subespacio afín de , entonces también es un politopo. Sea uno de sus picos. Como antes, , donde en . También probaremos que todos los puntos excepto en la mayoría de los puntos son vértices . Dado que cualquier vértice debe pertenecer a , la prueba de este enunciado servirá como prueba del lema como un todo. $v\in \sum _{{n}}^{{}}Conv(F_{n})$ $A$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ $H$ $A$ $q_{n}$ $v=\sum_{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}\in Conv(F_{n})$ $q_{n}\en A$ $q_{n}$ $D$ $Conv(F_{n})$ $Conv(F_{n})$ $F_{n}$

Suponga que la declaración especificada es falsa y que hay puntos que no son vértices . Vamos a denotarlos $D+1$ $q_{n}$ $F_{n}$

q_{n},\puntos,q_{{D+1}}.

Para cada uno existe un vector y un número tal que $q_{n}$ $z_{n}\in {\matemáticas {R}}^{D}$ $\varepsilon_{n}$

\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).

Denotar

\varepsilon =\min _{{1\leqslant n\leqslant D+1}}\varepsilon _{n}.

Entonces, si hay vectores en el espacio de dimensiones , existe una dependencia lineal entre ellos . Por lo tanto, no todos los números son iguales a cero tales que $D+1$ $D$ $\alpha _{1},\puntos,\alpha _{{D+1}}$

\sum _{{n}}^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=0.

Podemos suponer que en . Ahora definimos dos puntos de pertenencia y : $|\alpha _{n}|\leqslant 1$ $1\leqslant n\leqslant D+1$ ${\matemáticas {R}}^{{Dn}}$ $q_{n}'$ $q_{n}''$

q_{n}'=q_{n}+\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}''=q_{n}-\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}'=q_{n}=q_{n}''

en otros casos.

De ello se deduce que y pertenecen a . Además, $\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).$ $q_{n}'$ $q_{n}''$ $Conv(F_{n})$

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'+\varepsilon \sum_{{n=1}} ^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v,

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}''=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'-\varepsilon \sum _{{n=1} }^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v.

Por lo tanto, los puntos y pertenecen a . Al mismo tiempo, obviamente $q_{n}'$ $q_{n}''$ $A$

q_{n}=1/2q_{n}'+1/2q_{n}''.

Contrariamente a lo que se supone, no puede ser un top . $q_{n}$ $A$

Aplicaciones

El lema permite a los investigadores extrapolar resultados relevantes para las sumas de Minkowski de conjuntos convexos a otras sumas de conjuntos no necesariamente convexos. Las herramientas de Shapley, Folkman y Starr han encontrado aplicaciones en la economía , la optimización matemática y la teoría de la probabilidad .

Economía

Muchas relaciones económicas, dependencias y procesos pueden modelarse presentando su interpretación geométrica. Por lo tanto, si algún conjunto que tiene significado económico se presta a la operación de suma de Minkowski, entonces el lema, el teorema y sus consecuencias se vuelven relevantes para el modelo de este fenómeno económico. Un ejemplo de tal conjunto es la curva de indiferencia , un modelo microeconómico simple pero importante de consumo y utilidad .

En la teoría microeconómica, se supone que las preferencias de los consumidores están definidas en todo el espacio de algunas “canastas” , es decir, conjuntos definidos cuantitativamente de diferentes bienes: los consumidores tienen un conocimiento preciso de sus preferencias y sus características cuantitativas. Cada canasta está representada por un vector no negativo , cuyas coordenadas indican la cantidad de cada producto considerado. Sobre este conjunto de canastas se determinan curvas de indiferencia para cada consumidor . Cada curva representa el lugar geométrico de los puntos correspondientes a aquellas canastas que el consumidor considera equivalentes en utilidad . En otras palabras, el comprador experimenta indiferencia sobre qué canasta (entre las ubicadas en la misma curva) obtendrá. En este modelo, se supone que solo una curva de indiferencia puede pasar por una determinada cesta (punto). Las posibilidades financieras del comprador están limitadas por la línea presupuestaria (en el espacio bidimensional). Así, la decisión óptima para el consumidor es elegir la canasta que se encuentra en el punto donde la recta presupuestaria toca alguna curva de indiferencia. El conjunto de preferencias de un consumidor es la unión de alguna curva de indiferencia y todos los puntos ubicados sobre su gráfico ( es decir, el conjunto de algunas canastas igualmente valiosas para el consumidor y todas las demás canastas más valiosas). Una relación de preferencia del consumidor es convexa si este conjunto de preferencias es convexo [37] [38] .

Entonces, si se encuentra la solución óptima para el consumidor, entonces la línea presupuestaria es la línea recta de referencia de la mejor curva de indiferencia disponible. La posición de la recta presupuestaria está determinada por el vector de precios y el vector de ingresos del comprador (más precisamente, el vector de ingresos y la propensión a consumir). Por lo tanto, el conjunto de canastas óptimas es una función de los precios, y esta función se llama demanda del consumidor . Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces la demanda del consumidor también es un conjunto convexo a cualquier precio. Un ejemplo de funciones de demanda convexas son la canasta óptima única y el segmento de canastas óptimas [39] .

Relación de preferencia no convexa

Sin embargo, si el conjunto de preferencias no es convexo, a algunos precios se forma una recta presupuestaria que permite elegir una de dos cestas óptimas aisladas. Por ejemplo, un cuidador de zoológico que quiere comprar un león o un águila (que tienen el mismo valor) no puede comprar una parte de un animal y una parte del otro: su conjunto de preferencias no es convexo. Así, el consumidor se niega a comprar una combinación estrictamente convexa de bienes a favor de comprar un solo producto en una cantidad arbitraria [40] .

Si el conjunto de preferencias del consumidor no es convexo, entonces, a algunos precios, la función de demanda del consumidor no es un espacio conexo . Harold Hotelling habló de demanda incoherente:

Si, al considerar la compra de curvas de indiferencia, asumimos que son ondulantes, convexas en algunos lugares y cóncavas en otros, invariablemente concluiremos que solo las partes convexas pueden percibirse como significativas, ya que las otras son esencialmente inobservables. Solo pueden detectarse por las brechas que pueden surgir en la demanda con un cambio en las relaciones de precios; [las rupturas] conducen a saltos bruscos en el punto de contacto "a través del abismo" que ocurren cuando la línea [tangencial] gira. Pero, si bien estos vacíos pueden indicar la existencia de "abismos", en principio no podrán caracterizar su profundidad. Los cóncavos de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si es que existen, permanecerán para siempre en una oscuridad inconmensurable [41] .

Texto original (inglés)[ mostrarocultar] Si se piensa que las curvas de indiferencia para las compras poseen un carácter ondulado, convexas al origen en algunas regiones y cóncavas en otras, nos vemos obligados a concluir que sólo las partes convexas al origen pueden considerarse con alguna importancia. , ya que los otros son esencialmente inobservables. Solo pueden detectarse por las discontinuidades que pueden ocurrir en la demanda con la variación en las relaciones de precios, lo que lleva a un salto abrupto de un punto de tangencia a través de un abismo cuando se gira la línea recta. Pero, mientras tales discontinuidades pueden revelar la existencia de abismos, nunca pueden medir su profundidad. Las porciones cóncavas de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si existen, deben permanecer para siempre en una oscuridad inconmensurable.

Herman Vold [42] [43] y Paul Samuelson señalaron la dificultad de estudiar las preferencias no convexas . Este último, según Divert [44] , escribió que los no bultos están "envueltos en una oscuridad eterna" [aprox. 7] [45] .

Sin embargo, varias publicaciones en 1959-1961 en The Journal of Political Economyarrojar luz sobre el problema de las preferencias no convexas. Farrell [46] [47] [48] , Baytor [49] [50] , Koopmans [51] [52] y Rotenberg [53] [54] se convirtieron en los principales investigadores en esta área . En particular, la cuestión de la convexidad aproximada de las sumas de conjuntos no convexos se consideró en el trabajo de Rotenberg [55] . Artículos en JPE empujaron a Shapley y Martin Shubika escribir un artículo que describiera las relaciones de preferencia de los consumidores "convexas". El concepto de “equilibrio aproximado” también fue mencionado allí por primera vez [ 56 ] . El artículo de Shapley y Shubik, así como publicaciones anteriores, inspiró a Robert Aumann a acuñar el término " cuasi-equilibrio " [57] .

El Informe Starr de 1969 y la economía moderna

Mientras estudiaba en la Universidad de Stanford, Ross Starr tomó un curso especial de economía y matemáticas de complejidad avanzada bajo la guía de Kenneth Arrow . Arrow, quien en el pasado compiló una bibliografía comentada de publicaciones sobre el tema de la no convexidad en economía, se la pasó a un joven colega [58] . Starr pasó el trabajo de su semestre estudiando los equilibrios generales de una economía ficticia en la que las relaciones de preferencia no convexas fueron reemplazadas por sus cascos convexos. La demanda agregada en esta economía "convexa" era la suma de los cascos convexos de las funciones de demanda del consumidor a cada precio. Las ideas de Starr interesaron a Shapley y Folkman: en el marco de una correspondencia privada, los científicos probaron el lema y el teorema que recibieron su nombre, y luego estos resultados se publicaron en el artículo de Starr de 1969 [1] .

Starr pudo encontrar que si el número de agentes en el mercado excede la "dimensión" de la mercancía (el número de bienes intercambiados), entonces los equilibrios generales de la economía "convexa" están muy cerca de los cuasi-equilibrios de la economía original. . El economista ha obtenido una prueba rigurosa de que en tal situación existe al menos un cuasi-equilibrio de precios p opt , que tiene las siguientes propiedades:

en cada precio, todos los consumidores pueden elegir las canastas óptimas (preferidas y asequibles desde el punto de vista del presupuesto),
a precios p opt , el mercado para cada producto en una economía "convexa" está en equilibrio (la oferta y la demanda son iguales),
para cada cuasi-equilibrio, los precios contribuyen a un equilibrio casi completo del mercado: el valor del límite superior de la distancia entre el conjunto de equilibrios de la economía "convexa" y el conjunto de cuasi-equilibrios de la economía original está determinado por el corolario de Starr [59] [60] .

Starr descubrió que

en general, la discrepancia entre la ubicación en una economía ficticia [generada al encontrar las envolventes convexas de todos los conjuntos de consumo y producción] y alguna ubicación en una economía real está acotada independientemente del número de agentes económicos [61] .

Texto original (inglés)[ mostrarocultar] en conjunto, la discrepancia entre una asignación en la economía ficticia generada [tomando los cascos convexos de todos los conjuntos de consumo y producción] y alguna asignación en la economía real está limitada de una manera que es independiente del número de agentes económicos .

Los resultados de Shapley, Folkman y Starr también se han aplicado en otras ramas de la ciencia económica: microeconomía [62] [63] , teoría del equilibrio general [59] [64] [65] [66] [67] , economía del sector público [ 68] (al incluirse en la teoría de los fallos de mercado [69] ), así como en la teoría de juegos [70] , la economía matemática [71] y las matemáticas aplicadas [72] [73] [74] [75] . Los logros de Shapley, Folkman y Starr impulsaron la introducción de la teoría de la medida establecida y la teoría de la integración en la metodología económica [76] .

Optimización matemática

La optimización no lineal se basa en los siguientes conceptos básicos:

un gráfico de funciónes un conjunto de pares de argumento de funcióny valor: $F$ $X$ $f(x)$

gráfica(f)=\{x,f(x)\},

El epígrafe de una función real es el conjunto de puntos situados encima de la gráfica de la función: $F$

Epi(f)=\{x,u;f(x)<u\},

una función real es convexa si su epígrafe es un conjunto convexo [77] .

Por ejemplo, las funciones y son convexas, pero la función (sinusoide) no tiene tal propiedad (la sinusoide no es convexa en el intervalo ). $f(x) = x^2$ $g(x)=|x|$ $h(x)=senx$ $[0,\pi]$

Problemas de optimización aditiva

En muchos problemas de optimización , la función objetivo es separable , es decir, es la suma de muchos sumandos de funciones, cada uno de los cuales tiene su propio argumento: $f(x)$

f(x)=f(x_{1},\ldots,x_{n})=\suma f_{n}(x_{n})

En particular, las funciones objetivo en problemas de programación lineal son separables.

Los problemas de optimización pueden ser "convexos" al encontrar cascos convexos de sumandos de funciones. La solución óptima a tal problema es el límite de la secuencia [aprox. 8] puntos con coordenadas pertenecientes al conjunto [5] . El punto óptimo, según el lema, es la suma de los puntos de las gráficas de los términos "convexos" de las funciones y un cierto número de puntos de las gráficas de las funciones originales. $(x_{j},f(x_{j}))$ $\sum Conv(Gráfico(f_{n}))$ $D$

Este análisis fue publicado por primera vez por Ivar Ekelanden 1974. Luego, el matemático trató de explicar por qué los problemas separables con una gran cantidad de términos son convexos cuando los términos iniciales no lo son. Unos meses antes, el científico francés Claude Lemarechalaplicó con éxito métodos iterativos de minimización convexa para resolver problemas no convexos. La solución del problema de minimización no lineal dual no siempre lleva información útil para resolver el problema directo (sin embargo, para problemas directos convexos que satisfacen las condiciones de regularidad , este no es el caso). El problema de Lemarechal era aditivamente separable y cada función de sumando no era convexa. No obstante, la solución del problema dual dio una aproximación bastante precisa del valor óptimo para el problema directo [78] [79] [80] [5] [81] . El análisis de Ekeland aclaró las razones del éxito de los métodos de minimización convexos aplicados a problemas grandes y separables con sumandos de funciones no convexos. Ekeland y otros argumentaron que la separabilidad aditiva permitía considerar que el problema era aproximadamente convexo si los términos no lo eran. Un punto de inflexión en esta área de investigación fue la apelación de los matemáticos al lema de Shapley-Folkman [81] [5] [82] [83] . La aparición del lema estimuló el uso de métodos de minimización convexa para resolver otras clases de problemas con funciones separables [5] [6] [73] [84] .

Probabilidad y teoría de la medida

Los conjuntos convexos a menudo se estudian dentro del marco de la teoría de la probabilidad . Cada punto perteneciente a la envolvente convexa de un conjunto no vacío en un espacio de dimensión finita es el valor esperado de un vector aleatorio simple que toma valores en el conjunto (esto se deriva del lema de Carathéodory [Nota 9]) . para un conjunto no vacío, el conjunto de valores esperados de los valores de un vector aleatorio simple es equivalente a la envolvente convexa de un conjunto —por lo tanto, el lema también se puede aplicar en esta área.85 Por otro lado, la propia teoría de la probabilidad tiene herramientas para estudiar conjuntos convexos en general y el lema en particular.86 Los resultados de Shapley, Folkaman y Starr han sido ampliamente utilizados en la teoría probabilística de conjuntos aleatorios. $q$ $q$ $q$ $q$ [87] , por ejemplo, para demostrar la ley de los grandes números [7] [88] , el teorema del límite central [88] [89] y la teoría de las grandes desviaciones[90] . Para evitar la suposición de que todos los conjuntos aleatorios son convexos, se usaron los resultados de Shapley, Folkman y Starr para probar estos teoremas de límite de la teoría de la probabilidad .

El lema también tiene aplicaciones en aquellas secciones de la teoría de la medida que no están relacionadas con la probabilidad, por ejemplo, en las teorías del volumen y la medida vectorial .. El lema permite refinar el teorema de Brunn-Minkowski , que establece la relación entre el volumen de un conjunto-suma y la suma de los volúmenes de conjuntos-sumandos [91] . El volumen de un conjunto se caracteriza por la medida de Lebesgue , que se define para conjuntos en el espacio euclidiano . El lema también se utilizó en la demostración del teorema de Lyapunov , que indica que la imagen [aprox. 10] de una medida vectorial sin átomos es convexa [92] . Una medida vectorial cuyos valores son vectores es una generalización del concepto de medida. Por ejemplo, si y son medidas de probabilidad definidas en un espacio medible, entonces su función de producto es una medida vectorial, donde se define para cada evento aleatorio : $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $\omega$

(p_{1}p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega ))

El teorema de Lyapunov se utiliza en economía matemática [93] , la teoría de los controladores de relé automáticoy teoría estadística[94] . Este teorema se considera un análogo continuo del lema de Shapley-Folkman [2] , que, a su vez, se denomina el “doble” discreto del teorema de Lyapunov [95] .

Notas

Comentarios

↑ Las variantes de Folkman , Folkmann también se utilizan en la literatura .
↑ 1 2 3 4 La concesión del Premio Nobel de Ciencias Económicas no es formalmente el legado de Alfred Nobel . El premio ha sido otorgado por el Banco Estatal Sueco desde 1969.
↑ Una verdad vacía es una declaración sin sentido sobre todos los elementos de alguna clase vacía. Así, la implicación “si A… entonces B…” se convierte en una verdad vacía si A es obviamente falsa.
↑ ver el artículo " Límites superiores e inferiores exactos de los conjuntos "
↑ El uso de la palabra "no convexidad" en este sentido solo se permite en esta sección. En otras secciones, la palabra se usa como antónimo del término "bulto".
↑ A continuación hay extractos de la prueba del lema de Ivar Ekeland. Las denominaciones utilizadas en este artículo difieren de las presentadas en la fuente original. El reemplazo se realizó para mantener la uniformidad en el diseño.
↑ Inglés. envuelto en la oscuridad eterna
↑ Un punto se llama límite de una secuencia si para cada uno hay un número tal que la desigualdad se cumple para todos . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon >0$ $N_{{\ varepsilon))$ $n>N_{{\ varepsilon))$ $|x_{n}-a|<\varepsilon$
↑ La posibilidad de representar puntos de un conjunto convexo por variables aleatorias es relevante para conjuntos acotados cerrados en un espacio de Banach con la propiedad de Radon-Nikodim (según el teorema de Edgar) y para conjuntos cerrados completamente acotados en espacios localmente convexos (según el teorema de Krein-Milman )
↑ Aquí, el término "imagen" significa un conjunto de valores en los que se asignan los elementos del conjunto original .

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