Independencia lineal

En álgebra lineal, la dependencia lineal es una propiedad que puede tener un subconjunto de un espacio lineal . Con una dependencia lineal, existe una combinación lineal no trivial de elementos de este conjunto, igual al elemento cero . En ausencia de tal combinación, es decir, cuando los coeficientes de la única combinación lineal son cero, se dice que el conjunto es linealmente independiente .

Ejemplo

Los vectores , y son linealmente independientes, ya que la ecuación $\mathbb{R} ^{3}$ $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\ cuádruple a_{i}\in {\mathbb {R}}

tiene una sola solución, trivial.

Los vectores y son linealmente dependientes, ya que $(1,0,0)$ $(5,0,0)$

(1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),

y por lo tanto,

-5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).

Definición

Sea un espacio lineal sobre el campo y . Se llama conjunto linealmente independiente si cualquiera de sus subconjuntos finitos es linealmente independiente. $V$ $k$ $M\subconjunto V$ $METRO$

Un conjunto finito se llama linealmente independiente si la única combinación lineal igual a cero es trivial, es decir, todos sus coeficientes son iguales a cero: $M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}= \ldots=a_{n}=0.

Si existe tal combinación lineal con al menos una , se denomina linealmente dependiente. Tenga en cuenta que la primera igualdad implica , mientras que la segunda implica . $a_{i}\neq 0$ $METRO'$ $0\en V$ $0\en K$

Propiedades

$0\en M\Flecha derecha M$ linealmente dependiente.
$METRO$ linealmente independiente linealmente independiente para todos . $\Flecha correcta$ $METRO'$ $M'\subconjunto M$
$METRO$ linealmente dependiente linealmente dependiente para todos . $\Flecha correcta$ $METRO'$ $M'\supseteq M$

Aplicación

Sistemas lineales de ecuaciones

Un sistema lineal de ecuaciones, donde es el número de variables, tiene solución única si y sólo si las columnas de su matriz principal son linealmente independientes. $norte$ $norte$

Rango de matriz

El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas o columnas linealmente independientes.

sentido geométrico

Los vectores y son linealmente dependientes si y solo si son colineales (se encuentran en líneas paralelas ). ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$
Los vectores son linealmente dependientes si y solo si son coplanares (se encuentran en el mismo plano ). ${\vec {a)],\;{\vec {b)],\;{\vec {c}}$

Base

La base de un espacio lineal es el conjunto máximo de vectores linealmente independientes (la maximalidad se entiende en el sentido de que cuando a este conjunto se suma cualquier vector de este espacio, el nuevo conjunto dejará de ser linealmente independiente).

Véase también

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro