Subgrupo normal

Un subgrupo normal (también un subgrupo invariante o un divisor normal ) es un subgrupo de un tipo especial cuyas clases laterales izquierda y derecha coinciden. Dichos grupos son importantes porque permiten la construcción de un grupo de factores .

Definiciones

Un subgrupo de un grupo se llama normal si es invariante bajo conjugaciones, es decir, para cualquier elemento de y cualquiera de los elementos se encuentra en :

Las siguientes condiciones de normalidad para un subgrupo son equivalentes:

1. Para cualquiera de .
2. Para cualquiera de .
3. Los conjuntos de clases laterales izquierda y derecha coinciden.
4. Para cualquiera de .
5. es isomorfo a la unión de clases de elementos conjugados.

La condición (1) es lógicamente más débil que (2), y la condición (3) es lógicamente más débil que (4). Por lo tanto, las condiciones (1) y (3) se usan a menudo para probar la normalidad de un subgrupo, y las condiciones (2) y (4) se usan para probar las consecuencias de la normalidad.

Ejemplos

• y  son siempre subgrupos normales de . Se llaman triviales. Si no hay otros subgrupos normales, entonces el grupo se llama simple .

• El centro de un grupo  es un subgrupo normal.

• El conmutador de un grupo es un subgrupo normal.

• Cualquier subgrupo característico es normal, ya que la conjugación es siempre un automorfismo .

• Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales, ya que . Un grupo no abeliano en el que todos los subgrupos son normales se llama hamiltoniano .

• El grupo de traslaciones paralelas en un espacio de cualquier dimensión es un subgrupo normal del grupo euclidiano ; por ejemplo, en el espacio 3D, girar, desplazar y girar hacia atrás da como resultado un desplazamiento simple.

• En el grupo del cubo de Rubik , un subgrupo que consiste en operaciones que actúan solo en los elementos de las esquinas es normal, ya que ninguna transformación conjugada hará que dicha operación actúe en el elemento del borde, no en el elemento de la esquina. Por el contrario, un subgrupo que consta únicamente de rotaciones de la cara superior no es normal, ya que los empalmes permiten que partes de la cara superior se muevan hacia abajo.

Propiedades

• La normalidad se conserva bajo homomorfismos sobreyectivos y pullbacks.
• El núcleo del homomorfismo  es un subgrupo normal.
• Se conserva la normalidad al construir el producto directo .
• Un subgrupo normal de un subgrupo normal no necesita ser normal en el grupo, es decir, la normalidad no es transitiva . Sin embargo, el subgrupo característico de un subgrupo normal es normal.
• Cada subgrupo del índice 2 es normal. Si  es el divisor primo más pequeño del orden de , entonces cualquier subgrupo del índice es normal.
• Si  es un subgrupo normal en , entonces en el conjunto de clases laterales izquierda (derecha) se puede introducir una estructura de grupo de acuerdo con la regla

• es normal si y solo si actúa trivialmente sobre las clases laterales izquierdas de .
• Todo subgrupo normal es cuasinormal.

Hechos históricos

Évariste Galois fue el primero en comprender la importancia de los subgrupos normales.

Enlaces

• Curso de álgebra Vinberg E. B. - M. : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Kostrikin I.A. Introducción al álgebra. Parte III. Estructuras básicas. - 3ra ed. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0489-6 .