Sistema de coordenadas polares

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Un sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está definido por dos números: un ángulo polar y un radio polar. El sistema de coordenadas polares es especialmente útil cuando las relaciones entre puntos son más fáciles de representar como radios y ángulos; en el sistema de coordenadas cartesiano , o rectangular, más común , tales relaciones solo se pueden establecer mediante la aplicación de ecuaciones trigonométricas .

El sistema de coordenadas polares está dado por un rayo, que se llama rayo cero o eje polar. El punto de donde sale este rayo se llama origen o polo. Cualquier punto en el plano está definido por dos coordenadas polares: radial y angular. La coordenada radial (generalmente denotada ) corresponde a la distancia desde el punto hasta el origen. La coordenada angular también se denomina ángulo polar o acimut y se denota por , igual al ángulo en el que debe girar el eje polar en sentido contrario a las agujas del reloj para llegar a este punto [1] . $r$ $\varphi$

La coordenada radial así definida puede tomar valores de cero a infinito , y la coordenada angular varía de 0° a 360°. Sin embargo, por conveniencia, el rango de valores de la coordenada polar puede extenderse más allá del ángulo completo y también puede tomar valores negativos, lo que corresponde a la rotación del eje polar en el sentido de las agujas del reloj.

Historia

Los conceptos de ángulo y radio se conocían desde el primer milenio antes de Cristo. El astrónomo griego Hiparco (190-120 a. C.) creó una tabla en la que se daban las longitudes de las cuerdas para diferentes ángulos. Hay evidencia de su uso de coordenadas polares para determinar la posición de los cuerpos celestes [2] . Arquímedes en su ensayo "Espirales" describe la llamada espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. El trabajo de los investigadores griegos, sin embargo, no se convirtió en una definición coherente del sistema de coordenadas.

En el siglo IX, el matemático persa Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) utilizó los métodos de proyecciones cartográficas y trigonometría esférica para transformar las coordenadas polares en otro sistema de coordenadas centrado en algún punto de la esfera, en este caso, para determinar Qibla - la dirección a La Meca [3] . El astrónomo persa Abu Rayhan Biruni ( 973 - 1048 ) presentó ideas que parecen una descripción del sistema de coordenadas polares. Fue el primero que, hacia 1025 , describió la proyección polar equi-azimutal equidistante de la esfera celeste [4] .

Existen diferentes versiones sobre la introducción de las coordenadas polares como un sistema de coordenadas formal. La historia completa de la aparición y la investigación se describe en el trabajo del profesor de Harvard Julian Lovell Coolidge "El origen de las coordenadas polares" [5] . Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri llegaron de forma independiente a un concepto similar a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent describió el sistema polar en notas personales en 1625, habiendo publicado sus obras en 1647 ; y Cavalieri publicó sus obras en 1635 y una versión revisada en 1653 . Cavalieri utilizó coordenadas polares para calcular el área delimitada por la espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente coordenadas polares para calcular las longitudes de los arcos parabólicos .

En El método de las fluxiones, escrito en 1671 , impreso en 1736, Sir Isaac Newton exploró la transformación entre coordenadas polares, a la que denominó “El séptimo camino; For Spirals ” (“ Séptima Manera; Para Espirales ”), y otros nueve sistemas de coordenadas [6] . En un artículo publicado en 1691 en la revista Acta eruditorum , Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto sobre una línea, al que denominó polo y eje polar, respectivamente. Las coordenadas se dieron como una distancia desde el polo y un ángulo desde el eje polar. El trabajo de Bernoulli se dedicó al problema de encontrar el radio de curvatura de las curvas definidas en este sistema de coordenadas.

La introducción del término "coordenadas polares" se atribuye a Gregorio Fontana . En el siglo XVIII, se incluyó en el léxico de los autores italianos. El término llegó al inglés a través de la traducción del tratado de Sylvester Lacroix "Differential and Integral Calculus", realizada en 1816 por George Peacock [7] [8] Para el espacio tridimensional, las coordenadas polares fueron propuestas por primera vez por Alexi Clairaut y Leonard Euler . fue el primero en desarrollar el sistema correspondiente [ 5] .

Representación gráfica

Cada punto en el sistema de coordenadas polares se puede definir mediante dos coordenadas polares, que generalmente se denominan (coordenada radial, hay una variante de designación ) y (coordenada angular, ángulo polar, ángulo de fase, acimut, ángulo de posición , a veces escrito o ). La coordenada corresponde a la distancia desde el punto hasta el centro, o polo del sistema de coordenadas, y la coordenada es igual al ángulo contado en sentido antihorario desde el haz hasta 0° (a veces llamado eje polar del sistema de coordenadas) [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\ theta$ $t$ $r$ $\varphi$

El radio polar se define para cualquier punto del plano y siempre toma valores no negativos . El ángulo polar se define para cualquier punto del plano, excepto el polo , y toma los valores . El ángulo polar se mide en radianes y se mide desde el eje polar: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi\leqslant\pi$

en sentido positivo (contra el sentido de las agujas del reloj) si el valor del ángulo es positivo;
en la dirección negativa (dirección de las manecillas del reloj) si el valor del ángulo es negativo.

Por ejemplo, un punto con coordenadas aparecerá en el gráfico como un punto en un rayo que forma un ángulo de 60° con el eje polar, a una distancia de 3 unidades del polo. El punto con coordenadas se dibujará en el mismo lugar. $(3,\;60^{\circ })$ $(3,\;-300^{\circ })$

Una de las características importantes del sistema de coordenadas polares es que el mismo punto se puede representar de infinitas maneras. Esto se debe a que para determinar el acimut de un punto, debe rotar el eje polar para que apunte al punto. Pero la dirección al punto no cambiará si se da un número arbitrario de vueltas completas adicionales. En el caso general, un punto se puede representar como o , donde es un número entero arbitrario [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$ $norte$

Las coordenadas se utilizan para designar el polo . Independientemente de la coordenada , un punto con distancia cero del polo siempre se ubica en él [10] . Para obtener coordenadas de puntos inequívocas, normalmente se debe limitar el valor de la distancia a valores no negativos y el ángulo al intervalo o (en radianes o ) [11] . $(0,\;\varfi)$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\circ })$ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Los ángulos en coordenadas polares se especifican en grados o en radianes, con . La elección suele depender de la aplicación. La navegación tradicionalmente usa grados , mientras que algunas ramas de la física y casi todas las ramas de las matemáticas usan radianes [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Relación entre coordenadas cartesianas y polares

Un par de coordenadas polares y se pueden convertir a coordenadas cartesianas y aplicando las funciones trigonométricas de seno y coseno (se supone que el rayo cero del sistema de coordenadas polares coincide con el eje del sistema cartesiano): $r$ $\varphi$ $X$ $y$ $X$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin\varphi,

mientras que las dos son coordenadas cartesianas y se pueden convertir a una coordenada polar : $X$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

(por el teorema de Pitágoras ).

Para determinar la coordenada angular , se deben tener en cuenta las siguientes dos consideraciones: $\varphi$

Para , puede ser un número real arbitrario. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
Porque , para obtener un valor único , debe limitarse a un intervalo de . Por lo general, elija intervalo o . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Para calcular en el intervalo , puede usar las siguientes ecuaciones ( denota la función inversa a la tangente): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac { y {x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\nombre del operador {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { casos}}

Para calcular en el intervalo , puedes usar las siguientes ecuaciones: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ casos}}

Teniendo en cuenta que para calcular el ángulo polar no basta con saber la relación con , y también se necesitan los signos de uno de estos números, muchos de los lenguajes de programación modernos tienen entre sus funciones, además de la función que determina el arco tangente del número, también una función adicional , que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes de programación que admiten argumentos opcionales (como Common Lisp ), una función puede tomar un valor de coordenadas . Sin embargo, se puede notar que, independientemente de los signos de las coordenadas cartesianas, las derivadas parciales del ángulo con respecto a ellas se calculan de manera bastante simple, gracias a lo cual obtenemos convenientes matrices jacobianas: $y$ $X$ atanatan2atan $X$

$J=\det {\frac {\parcial (x,\;y)}{\parcial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\parcial x}{ \r parcial))&{\dfrac {\parcial x}{\parcial \varphi ))\\{\dfrac {\parcial y}{\parcial r))&{\dfrac {\parcial y}{\parcial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-r\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cos(\varphi )\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\parcial (r,\;\varphi)}{\parcial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \r parcial}{\x parcial))&{\dfrac {\r parcial}{\y parcial))\\{\dfrac {\\varphi parcial}{\x parcial))&{\dfrac {\parcial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatriz}}.$

Ecuación de curvas en coordenadas polares

Debido a la naturaleza radial del sistema de coordenadas polares, algunas curvas pueden describirse de forma bastante sencilla mediante una ecuación polar, mientras que una ecuación en un sistema de coordenadas rectangulares sería mucho más complicada. Entre las curvas más conocidas se encuentran la rosa polar , la espiral de Arquímedes , la Lemniscata , el caracol de Pascal y la cardioide .

Círculo

La ecuación general de una circunferencia con centro en ( ) y radio es: $r_{0},\;\theta$ $a$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Esta ecuación se puede simplificar para casos especiales, por ejemplo

r(\varfi)=a

es una ecuación que define un círculo con centro en el polo y radio [14] . $a$

Directo

Las líneas radiales (las que pasan por el polo) están definidas por la ecuación

\varphi=\theta

donde es el ángulo por el cual la línea recta se desvía del eje polar, es decir , donde es la pendiente de la línea recta en un sistema de coordenadas rectangulares. Una línea no radial que interseca perpendicularmente a una línea radial en un punto está dada por la ecuación $\ theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $metro$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta)$

r(\varphi)=r_{0}\sec(\varphi -\theta).

Rosa polar

La rosa polar es una conocida curva matemática que parece una flor con pétalos. Se puede determinar mediante una ecuación simple en coordenadas polares:

r(\varphi)=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

para una constante arbitraria (incluyendo 0). Si es un número entero, entonces esta ecuación determinará una rosa con pétalos impares o con pétalos pares . Si es un número racional pero no un número entero, la gráfica dada por la ecuación tendrá una forma similar a una rosa, pero los pétalos se superpondrán. Si - irracional, entonces la rosa consiste en un número infinito de pétalos parcialmente superpuestos. Las rosas con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos no se pueden determinar mediante esta ecuación. La variable determina la longitud de los pétalos. $\ theta _ {0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $a$

Si asumimos que el radio no puede ser negativo, entonces para cualquier natural tendremos una rosa de pétalos. Entonces la ecuación definirá una rosa con dos pétalos. Desde un punto de vista geométrico, el radio es la distancia del polo al punto y no puede ser negativo. $k$ $k$ $r(\varphi)=\cos(2\varphi)$

Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes lleva el nombre de su inventor, el antiguo matemático griego Arquímedes . Esta espiral se puede definir usando una ecuación polar simple:

r(\varphi)=a+b\varphi.

Los cambios en el parámetro conducen a la rotación de la hélice, y el cambio en el parámetro conduce a la distancia entre las vueltas, que es una constante para una hélice en particular. La espiral de Arquímedes tiene dos ramas, una para y otra para . Las dos ramas se unen suavemente en el polo. Reflejar una rama con respecto a una línea recta que pasa por un ángulo de 90°/270° producirá otra rama. Esta curva es interesante porque fue una de las primeras descritas en la literatura matemática, después de la sección cónica , y es mejor que otras que está determinada por la ecuación polar. $a$ $b$ $\varfi >0$ $\varphi<0$

Secciones cónicas

Una sección cónica con uno de los focos en el polo y el otro en algún lugar del eje polar (de modo que el semieje mayor se encuentra a lo largo del eje polar) está dada por:

r={\frac {\ell}{1-e\cos \varphi}}

donde es la excentricidad y es el parámetro focal. Si , esta ecuación define una hipérbola; si , entonces una parábola; si , entonces una elipse. Un caso especial es , que define un círculo con radio . $mi$ $\ana$ $mi>1$ $mi = 1$ $e<1$ $e=0$ $\ana$

Números complejos

Cada número complejo se puede representar por un punto en el plano complejo y, en consecuencia, este punto se puede definir en coordenadas cartesianas (forma rectangular o cartesiana) o en coordenadas polares (forma polar). Un número complejo se puede escribir en forma rectangular así: $z$

z=x+iy

donde está la unidad imaginaria , o en polar (ver fórmulas para convertir entre sistemas de coordenadas arriba): $i$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )

y desde aquí:

{\displaystyle z=re^{i\varphi ))

donde es el número de Euler . Gracias a la fórmula de Euler , ambas representaciones son equivalentes [15] (En esta fórmula, al igual que otras fórmulas que contienen exponenciación de ángulos, el ángulo se da en radianes) $mi$ $\varphi$

Para cambiar entre representación rectangular y polar de números complejos, se pueden usar las fórmulas de conversión anteriores entre sistemas de coordenadas.

La multiplicación, la división y la exponenciación con números complejos generalmente son más fáciles de hacer en forma polar. Según las reglas de exponenciación:

Multiplicación:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

División:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0}})){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Exponenciación ( fórmula de De Moivre ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{in\varphi }}.

En análisis matemático

Las operaciones de análisis matemático también se pueden formular utilizando coordenadas polares [16] [17] .

Cálculo diferencial

Las siguientes fórmulas son válidas:

r{\frac {\parcial }{\parcial r))=x{\frac {\parcial }{\parcial x))+y{\frac {\parcial }{\parcial y)),

{\frac {\parcial }{\parcial \varphi ))=-y{\frac {\parcial }{\parcial x))+x{\frac {\parcial }{\parcial y)).

Para encontrar la tangente de la pendiente de la tangente a cualquier punto dado de la curva polar en coordenadas cartesianas, las expresamos a través de un sistema de ecuaciones en forma paramétrica: $r(\varfi)$

x=r(\varphi)\cos \varphi,

y=r(\varphi)\sin\varphi.

Derivando ambas ecuaciones con respecto a obtenemos: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Dividiendo estas ecuaciones (la segunda por la primera), obtenemos la tangente deseada de la pendiente de la tangente en el sistema de coordenadas cartesianas en el punto : $(r,\;r(\varphi))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Cálculo integral

Sea la región formada por la curva polar y los rayos y , donde . Entonces el área de esta región es una integral definida : $R$ $r(\varfi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Tal resultado se puede obtener de la siguiente manera. Primero, dividimos el intervalo en un número arbitrario de subintervalos . Por lo tanto, la longitud de dicho subintervalo es (longitud total del intervalo) dividida por (número de subintervalos). Sea para cada subintervalo el punto medio. Construyamos sectores con el centro en el polo, radios , ángulos centrales y longitud de arco . Por lo tanto, el área de cada uno de esos sectores será . Por lo tanto, el área total de todos los sectores: $[a,\;b]$ $norte$ $\Delta \varphi$ $licenciado en Letras$ $norte$ $i=1,\;2,\;\ldots,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ ${\ estilo de visualización r (\ varphi _ {i}) \ Delta \ varphi}$ ${\frac{1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta\varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Si aumenta el número de subintervalos , el error de dicha expresión aproximada disminuirá. Al establecer , la suma resultante se volverá integral. El límite de esta suma en está determinado por la integral descrita anteriormente: $norte$ $n\to\infty$ $\Delta \varphi \a 0$

\lim_{{\Delta \varphi \to 0}}\sum_{{i=1}}^{\infty}{\frac {1}{2}}r(\varphi_{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Generalización

Usando coordenadas cartesianas, el área de un elemento infinitesimal se puede calcular como . Al cambiar a otro sistema de coordenadas en integrales múltiples, es necesario usar el determinante de Jacobi : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\parcial (x,\;y)}{\parcial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\parcial x}{\parcial r }}&{\dfrac {\parcial x}{\parcial \varphi }}\\{\dfrac {\parcial y}{\parcial r}}&{\dfrac {\parcial y}{\parcial \varphi }} \end{vmatriz}}.

Para un sistema de coordenadas polares, el determinante de la matriz de Jacobi es : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varfi =r.

Por lo tanto, el área del elemento en coordenadas polares se puede escribir de la siguiente manera:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Ahora, una función escrita en coordenadas polares se puede integrar de la siguiente manera:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Aquí el área , como en el apartado anterior, es la formada por la curva polar y los rayos y . $R$ $r(\varfi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

La fórmula para el cálculo del área, descrita en el apartado anterior, se obtiene en el caso de . Un resultado interesante de aplicar la fórmula para integrales múltiples es la integral de Euler-Poisson : $f=1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Análisis vectorial

Para coordenadas polares, se pueden aplicar elementos de análisis vectorial . Cualquier campo vectorial en un espacio bidimensional (plano) se puede escribir en un sistema de coordenadas polares usando vectores unitarios : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

en la dirección y $\mathbf{r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

La conexión entre las componentes cartesianas del campo y sus componentes en el sistema de coordenadas polares viene dada por las ecuaciones: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

En consecuencia, los operadores de análisis vectorial se definen en el sistema de coordenadas polares. Por ejemplo, el gradiente de un campo escalar se escribe: $\Phi (r,\;\varphi )$

{\mathrm {grado}}\,\Phi ={\frac {\parcial \Phi }{\parcial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\parcial \Phi }{\parcial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Todo esto funciona a excepción de un punto singular: el polo, para el cual no está definido, y la base vectorial descrita anteriormente no se puede construir de esta manera en este punto. Esto debe tenerse en cuenta, aunque en la práctica los campos vectoriales estudiados con la ayuda de coordenadas polares a menudo tienen una singularidad en este punto o son iguales a cero en él, lo que facilita un poco el asunto. Además, el uso de coordenadas polares no complica en modo alguno la expresión de un campo vectorial arbitrario arbitrariamente cercano a este punto. $\varphi$

Expansión 3D

El sistema de coordenadas polares se extiende a la tercera dimensión mediante dos sistemas: cilíndrico y esférico, ambos contienen el sistema de coordenadas polares bidimensional como un subconjunto. Esencialmente, el sistema cilíndrico extiende el sistema polar agregando una coordenada de distancia más, mientras que el sistema esférico agrega otra coordenada angular.

Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas, en términos generales, extiende el sistema polar plano agregando una tercera coordenada lineal, llamada "altura" e igual a la altura de un punto sobre el plano cero, similar a cómo se extiende el sistema cartesiano al caso de tres dimensiones. La tercera coordenada generalmente se denota como , formando una tríada de coordenadas . $z$ $(\rho,\;\varphi,\;z)$

El triple de coordenadas cilíndricas se puede convertir al sistema cartesiano mediante las siguientes transformaciones:

{\begin{casos}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{casos))

Coordenadas esféricas

Además, las coordenadas polares se pueden extender a tres dimensiones agregando una coordenada angular igual al ángulo de rotación desde el eje vertical (llamado cenit o latitud, los valores están en el rango de 0 a 180 °). Es decir, las coordenadas esféricas son tres , donde es la distancia desde el centro de coordenadas, es el ángulo desde el eje (como en las coordenadas polares planas), es la latitud. El sistema de coordenadas esféricas es similar al sistema de coordenadas geográficas para determinar un lugar en la superficie terrestre, donde el origen coincide con el centro de la Tierra, la latitud es el complemento y es igual a , y la longitud se calcula mediante la fórmula [ 18] . $\ theta$ $z$ $(r,\;\varfi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $X$ $\ theta$ $\delta$ $\ theta$ $\delta =90^{\circ }-\theta$ $yo$ $l=\varphi-180^{\circ}$

El triple de coordenadas esféricas se puede convertir al sistema cartesiano mediante las siguientes transformaciones:

{\begin{casos}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{casos))

Generalización a n dimensiones

El sistema de coordenadas polares se puede extender al caso del espacio -dimensional. Sean , vectores de coordenadas del sistema de coordenadas rectangulares -dimensionales. Las coordenadas requeridas en el sistema polar bidimensional se pueden ingresar como el ángulo de desviación del vector desde el eje de coordenadas . $norte$ $x_{i}\in {\matemáticas {R}}$ $i=1,\;\ldots,\;n$ $norte$ $norte$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

Para convertir coordenadas polares -dimensionales generalizadas a cartesianas, puede usar las siguientes fórmulas: $norte$

{\begin{matriz}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta_{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta_{2}\ldots \sin \vartheta_{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta_{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{matriz}}

Como puede verse, el caso corresponde al sistema de coordenadas polares habitual en el plano, y al sistema de coordenadas esféricas habitual. $n=2$ $n=3$

El jacobiano para convertir coordenadas polares a cartesianas viene dado por:

\det {\frac {\parcial (x_{1},\;\ldots,\;x_{n})}{\parcial (r,\;\varphi,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sen\vartheta _{n-2})^{n-2}

donde el elemento de volumen -dimensional tiene la forma: $norte$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Aplicación

El sistema de coordenadas polares es bidimensional y, por lo tanto, solo se puede utilizar en los casos en que la ubicación del punto se determina en un plano, o en el caso de homogeneidad de las propiedades del sistema en la tercera dimensión, por ejemplo, al considerar un flujo. en un tubo redondo. El mejor contexto para usar coordenadas polares es en casos que están estrechamente relacionados con la dirección y la distancia desde algún centro. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran que ecuaciones simples en coordenadas polares son suficientes para definir curvas como la espiral de Arquímedes, cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares son mucho más complicadas. Además, muchos sistemas físicos (aquellos que contienen cuerpos que se mueven alrededor de un centro o fenómenos que se propagan desde algún centro) son mucho más fáciles de modelar en coordenadas polares. El motivo de la creación del sistema de coordenadas polares fue el estudio del movimiento orbital y circular, luego resultó que a veces es extremadamente conveniente para el estudio del movimiento no circular (ver Problema de Kepler ).

Posicionamiento y navegación

El sistema de coordenadas polares se usa a menudo en la navegación porque un destino se puede especificar como la distancia y la dirección de viaje desde el punto de partida. Por ejemplo, en aviación, se utiliza para la navegación una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares. En este sistema, comúnmente utilizado para la navegación, el haz de 0° se denomina dirección de 360° y los ángulos se miden en el sentido de las agujas del reloj. La dirección 360 corresponde al norte magnético, y las direcciones 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos [19] . Por lo tanto, un avión que vuela 5 millas náuticas hacia el este puede describirse como un avión que vuela 5 unidades en la dirección 90 (el control de la misión lo llamará nin-cero) [20] .

Aplicaciones en física

Los sistemas con simetría radial son muy adecuados para ser descritos en coordenadas radiales, donde el polo del sistema de coordenadas coincide con el centro de simetría. Un ejemplo es la ecuación de flujo de agua subterránea en el caso de pozos radialmente simétricos. Los sistemas con fuerzas centrales también son adecuados para modelar en coordenadas polares. Dichos sistemas incluyen campos gravitatorios que obedecen la ley de dependencia del inverso del cuadrado y, en general, fuerzas centrales. Además, las coordenadas polares brindan una gran comodidad cuando se trabaja con sistemas que tienen fuentes de energía puntuales (o aproximadamente puntuales), como antenas de radio, cuando se estudia su radiación a distancias relativamente grandes de la antena, la propagación del sonido o la luz, especialmente (pero no necesariamente) esférica o cilíndricamente simétrica. En ciertos problemas, incluidos los mencionados anteriormente, el uso de coordenadas esféricas o cilíndricas (que son naturales para estos problemas) se reduce esencialmente al uso de coordenadas polares bidimensionales.

Las coordenadas polares, tanto para los cálculos como para la visualización de sus resultados, son bastante útiles no solo en los casos en que la simetría del problema es generalmente cercana a la axial o esférica, sino también en los casos en que la simetría está claramente alejada de tal, por ejemplo, a calcular el dipolo de campo . En este caso, el uso de coordenadas polares está motivado por el pequeño tamaño de la fuente de campo (las cargas del dipolo se encuentran muy cerca unas de otras), además, el campo de cada carga se expresa simplemente en coordenadas polares, especialmente si coloca el polo en una de estas cargas (el campo de la segunda será diferente, excepto por el signo, solo por una pequeña corrección).

En mecánica cuántica y química, las coordenadas polares (junto con las coordenadas esféricas para casos más complejos) se utilizan para representar la dependencia angular de la función de onda de un electrón en un átomo, incluso con fines de análisis cualitativo y claridad en la enseñanza.

Aplicaciones, patrones de radiación

En diversas áreas aplicadas, las coordenadas polares se utilizan tanto de forma similar a las utilizadas en las áreas correspondientes de la física fundamental como de forma independiente.

El modelado 3D del sonido de los altavoces se puede utilizar para predecir su rendimiento. Es necesario realizar varios diagramas en coordenadas polares para un amplio rango de frecuencias, ya que el frente varía significativamente con la frecuencia del sonido. Los diagramas polares le ayudan a ver que muchos altavoces de baja potencia pierden direccionalidad. En el caso de un radiador con simetría axial estricta o que se desvíe ligeramente de ella, es suficiente usar coordenadas polares no esféricas, sino ordinarias (bidimensionales), ya que en todos los planos que pasan por el eje de simetría, la dependencia será la igual o casi igual. Si no existe tal simetría, entonces un par (para cada frecuencia) de diagramas polares en planos perpendiculares, para un radiador elíptico o rectangular, conectados con sus ejes principales, puede dar una idea del flujo de sonido en diferentes direcciones.

En coordenadas polares, también se acostumbra representar la directividad característica de los micrófonos , determinada por la relación de sensibilidad cuando una onda sonora cae en un ángulo relativo al eje acústico del micrófono a su sensibilidad axial.

En principio, los diagramas polares se pueden usar para representar casi cualquier relación. Pero en la práctica, este tipo de representación suele elegirse en los casos en que depende de la dirección geométrica real (ver, por ejemplo , Rosa de los vientos , Diagrama de dispersión , Dependencia del flujo de luz reflejado del ángulo en fotometría , Patrón de radiación de antenas, LEDs y otros emisores de luz, fotosensores, sistemas acústicos, etc.). También es bastante común encontrar el uso de coordenadas polares en los casos en que una de las variables tiene naturaleza cíclica (en coordenadas polares es bastante natural representarla como un ángulo).

También se pueden aplicar campos no directamente relacionados con la física (aunque en ocasiones se puede trazar una analogía más o menos directa al respecto), por ejemplo, se pueden utilizar diagramas polares similares a la rosa de los vientos, por ejemplo, para estudiar las direcciones de los animales. migraciones Tal uso es bastante conveniente y visual.

Véase también

Sistemas de coordenadas en matemáticas elementales

Notas

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Literatura

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