Problemas de hilbert

Los Problemas de Hilbert  es una lista de 23 problemas cardinales en matemáticas presentados por David Hilbert en el II Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Posteriormente se publicó una lista completa de 23 problemas, en particular en una traducción al inglés de 1902 de Mary Francis Winston Newson en el Bulletin of the American Mathematical Society [1] . Luego estos problemas (cubriendo los fundamentos de matemáticas, álgebra , teoría de números , geometría , topología , geometría algebraica, grupos de Lie , análisis real y complejo, ecuaciones diferenciales, la física matemática y la teoría de la probabilidad , así como el cálculo de variaciones ) no se han resuelto. Algunos de ellos tuvieron una gran influencia en las matemáticas del siglo XX.

Por el momento, se han resuelto 16 de 23 problemas, dos más no son problemas matemáticos correctos (uno está formulado de manera demasiado vaga para entender si se ha resuelto o no, el otro, lejos de resolverse, es físico, no matemático). . De los cinco problemas restantes, dos no se resuelven en absoluto y tres se resuelven solo en algunos casos.

Desde 1900, los matemáticos y las organizaciones matemáticas han publicado listas de problemas, pero, con raras excepciones, estas colecciones no han tenido el mismo impacto ni producido tanto trabajo como los problemas de Hilbert. Una excepción está representada por tres hipótesis presentadas por André Weil a fines de la década de 1940 ( las hipótesis de Weyl ). Pal Erdős compiló una lista de cientos, si no miles, de problemas matemáticos, muchos de ellos profundos. Erdős a menudo ofrecía recompensas en efectivo; el monto de la remuneración dependía de la complejidad esperada de la tarea.

Lista de problemas

No.	Estado	Breve redacción	Resultado	Año de decisión
una	resuelto [2]	Problema de Cantor sobre la potencia del continuo ( hipótesis del continuo )	Se ha demostrado que el problema es indecidible en ZFC . No hay consenso sobre si esto es una solución al problema.	1940, 1963
2	sin consenso [3]	Consistencia de los Axiomas de la Aritmética .	Necesita aclaración de redacción
3	resuelto	Equivalencia de poliedros de igual área	refutado	mil novecientos
cuatro	demasiado vago	Enumere las métricas en las que las líneas son geodésicas[ aclarar ]	Requiere aclaración de la redacción [4]
5	resuelto	¿ Todos los grupos continuos son grupos de Lie ?	Sí	1953
6	parcialmente resuelto [5]	Estudio matemático de los axiomas de la física	Depende de la interpretación del enunciado del problema original [6]
7	resuelto	¿Es el número trascendente (o al menos irracional ) [7]	Sí	1934
ocho	no resuelto, pero hay avances [8]	Problema de números primos ( hipótesis de Riemann y problema de Goldbach )	Se demostró la conjetura ternaria de Goldbach [9] [10] [11] [12] .
9	parcialmente resuelto [13]	Prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico	Probado para el caso abeliano
diez	resuelto [14]	¿Existe un algoritmo universal para resolver ecuaciones diofánticas ?	No	1970
once	parcialmente resuelto	Estudio de formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos arbitrarios
12	no resuelto	Extensión del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a un dominio algebraico arbitrario de racionalidad
13	resuelto	¿Es posible resolver la ecuación general de séptimo grado usando funciones que dependen de solo dos variables?	Sí	1957
catorce	resuelto	Prueba de la generación finita del álgebra de invariantes de un grupo algebraico lineal [15]	refutado	1959
quince	parcialmente resuelto	Justificación rigurosa de la geometría enumerativa de Schubert
dieciséis	parcialmente resuelto [16]	Topología de curvas y superficies algebraicas [17]
17	resuelto	¿Se pueden representar ciertas formas como una suma de cuadrados?	Sí	1927
Dieciocho	resuelto [18] [19]	¿Es finito el número de grupos cristalográficos ? (a) ¿Hay rellenos irregulares del espacio por poliedros congruentes? (b) ¿Son los empaques de bolas hexagonales y cúbicos centrados en las caras los más densos? (C)	Sí Sí Sí	1911 (a) 1928 (b) 1998 (c)
19	resuelto	¿Son siempre analíticas las soluciones del problema variacional regular de Lagrange ?	Sí	1957
veinte	resuelto [20] [21] [22]	¿Todos los problemas variacionales regulares con ciertas condiciones de contorno tienen solución si, si es necesario, se da una interpretación ampliada al concepto mismo de solución?	Sí	1937-1962
21	resuelto	Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales con un grupo monodrómico dado	Que existan o no depende de formulaciones más precisas del problema.	1992
22	parcialmente resuelto	Uniformización de dependencias analíticas mediante funciones automórficas
23	no resuelto, pero hay avances	Desarrollo de métodos para el cálculo de variaciones	Necesita aclaración de redacción

Problema 24

Inicialmente, la lista contenía 24 problemas, pero en el proceso de elaboración del informe, Hilbert abandonó uno de ellos. Este problema estaba relacionado con la teoría de la prueba del criterio de primalidad y los métodos generales. Este problema fue descubierto en las notas de Hilbert por el historiador alemán de la ciencia Rüdiger Thiele en 2000 [23] .

Otras listas de problemas famosos

Exactamente cien años después del anuncio de la lista de Hilbert, el matemático estadounidense Stephen Smale propuso una nueva lista de problemas modernos sin resolver (algunos de ellos ya han sido resueltos). Los problemas de Smale no han recibido mucha atención de los medios y no está claro cuánta atención reciben de la comunidad matemática. El Clay Mathematical Institute publicó su lista . Cada emisión de premio incluye un premio de un millón de dólares. En 2008, la Agencia de Proyectos de Investigación Avanzada del Departamento de Defensa de los EE. UU. anunció su propia lista de 23 problemas que esperaba que pudieran conducir a grandes avances matemáticos, "fortaleciendo así las capacidades científicas y tecnológicas del Departamento de Defensa de los EE. UU. " [24] [25] .

Notas

1. ↑ Hilberto, David. Problemas matemáticos  (inglés)  // Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense  : revista. - 1902. - vol. 8 , núm. 10 _ - Pág. 437-479 . -doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . Publicaciones anteriores (en el alemán original) aparecieron en Hilbert, David. Mathematische Probleme  (neopr.)  // Göttinger Nachrichten. - 1900. - S. 253-297 . y Hilbert, David. [sin título citado]  (neopr.)  // Archiv der Mathematik und Physik. - 1901. - T. 1, 3 . - S. 44-63, 213-237 .
2. ↑ Los resultados de Gödel y Cohen muestran que ni la hipótesis del continuo ni su negación contradicen el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel (el sistema de axiomas estándar de la teoría de conjuntos). Por lo tanto, la hipótesis del continuo en este sistema de axiomas no se puede probar ni refutar (siempre que este sistema de axiomas sea consistente).
3. ↑ Kurt Gödel probó que la consistencia de los axiomas de la aritmética no se puede probar a partir de los axiomas de la aritmética mismos. En 1936, Gerhard Gentzen demostró la consistencia de la aritmética usando aritmética recursiva primitiva con un axioma adicional para la inducción transfinita al ordinal ε 0 .
4. ↑ Según Rowe y Gray (ver más abajo), la mayoría de los problemas se han resuelto. Algunos de ellos no fueron formulados con suficiente precisión, pero los resultados alcanzados nos permiten considerarlos como “resueltos”. Rov y Gray hablan del cuarto problema como demasiado vago para juzgar si se ha resuelto o no.
5. ↑ L. Corry, David Hilbert y la axiomatización de la física (1894-1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141 .
6. ↑ Además, la solución al problema de derivar la dinámica del continuo a partir de una descripción atomística puede ser negativa: Marshall Slemrod, el sexto problema de Hilbert y la falla del límite de Boltzmann a Euler, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi : 10.1098/rsta.2017.0222
7. ↑ Resuelto por Siegel y Gelfond (e independientemente por Schneider) en una forma más general: si a ≠ 0, 1 es un número algebraico y b  es un irracional algebraico, entonces a b  es un número trascendental
8. ↑ El problema #8 contiene dos problemas conocidos, el primero de los cuales no está resuelto en absoluto y el segundo está parcialmente resuelto. El primero de ellos, la Hipótesis de Riemann , es uno de los siete Problemas del Milenio que han sido etiquetados como los "Problemas de Hilbert" del siglo XXI.
9. ↑ Terence Tao - Google+ - Día ajetreado en teoría analítica de números; Harald Helfgott tiene… . Consultado el 21 de junio de 2013. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2013. (indefinido)
10. ↑ Arcos principales del teorema de Goldbach Archivado el 29 de julio de 2013 en Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
11. ↑ Variaciones de Goldbach Archivado el 16 de diciembre de 2013 en Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15 de mayo de 2013
12. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Archivado el 23 de junio de 2013 en Wayback Machine // Science 24 de mayo de 2013: vol. 340 núm. 6135 pág. 913 doi:10.1126/ciencia.340.6135.913
13. ↑ El problema #9 fue resuelto para el caso de Abelian; el caso no abeliano sigue sin resolverse.
14. ↑ Yuri Matiyasevich en 1970 demostró la imposibilidad de resolver algorítmicamente la cuestión de si una ecuación diofántica arbitraria tiene al menos una solución. Inicialmente, Hilbert formuló el problema no como un dilema, sino como la búsqueda de un algoritmo: en ese momento, aparentemente, ni siquiera pensaron que podría haber una solución negativa para tales problemas.
15. ↑ La afirmación de que el álgebra de invariantes es finitamente generada se prueba para acciones arbitrarias de grupos reductivos sobre variedades algebraicas afines. Nagata en 1958 construyó un ejemplo de una acción lineal de un grupo unipotente en un espacio vectorial de 32 dimensiones para el cual el álgebra invariante no se genera finitamente. VL Popov demostró que si el álgebra de invariantes de cualquier acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica afín se genera finitamente, entonces el grupo G es reductivo.
16. ↑ La primera parte (algebraica) del Problema No. 16 está formulada con mayor precisión de la siguiente manera. Harnack demostró que el número máximo de óvalos es , y que tales curvas existen, se llaman curvas M. ¿Cómo se pueden ordenar los óvalos de la curva M ? Este problema se ha resuelto hasta el grado inclusivo, y se sabe bastante sobre el grado. Además, hay afirmaciones generales que limitan cómo se pueden ubicar los óvalos de las curvas M , consulte los trabajos de Gudkov, Arnold, Roon, el propio Hilbert (sin embargo, debe tenerse en cuenta que la prueba de Hilbert para contiene un error: uno de los casos, que él considera imposible, resultó ser posible y fue construido por Gudkov). La segunda parte (diferencial) permanece abierta incluso para campos vectoriales cuadráticos; ni siquiera se sabe cuántos puede haber, y existe un límite superior. Incluso el teorema de finitud individual (que todo campo vectorial polinomial tiene un número finito de ciclos límite) ha sido probado recientemente. Dulac lo consideró probado , pero se descubrió un error en su demostración, y finalmente este teorema fue probado por Ilyashenko y Ekal, para lo cual cada uno de ellos tuvo que escribir un libro.
17. ↑ Se da la traducción del título original del problema dado por Hilbert: “16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen Archivado desde el original el 8 de abril de 2012.  (Alemán) . Sin embargo, más precisamente su contenido (tal como se considera hoy) podría transmitirse con el siguiente nombre: “El número y disposición de los óvalos de una curva algebraica real de un grado dado en un plano; el número y disposición de los ciclos límite de un campo vectorial polinomial de un grado dado en el plano”. Probablemente (como se puede ver en la traducción al inglés del texto del anuncio Archivado el 25 de agosto de 2018 en Wayback Machine  (inglés) ), Hilbert creía que la parte diferencial (en realidad resultó ser mucho más difícil que la algebraica). ) sería susceptible de solución por los mismos métodos que el algebraico, por eso no lo incluí en el título.
18. ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, págs. 400-412.
19. ↑ Rov y Gray también se refieren al Problema #18 como "abierto" en su libro de 2000 porque el problema del empaquetamiento de bolas (también conocido como el problema de Kepler) no se había resuelto en ese momento, pero ahora hay evidencia de que ya se ha resuelto. resuelto resuelto (ver más abajo). Recientemente y también en la década de 1990 se han logrado avances en la solución del problema n.° 16.
20. ↑ Young L. Conferencias sobre el cálculo de variaciones y la teoría del control óptimo. - M., Mir, 1974
21. ↑ MacShane Curvas generalizadas. Duque matemáticas. J. 6 (1940), 513-536
22. ↑ Gamkrelidze R. V. Sobre regímenes óptimos deslizantes // DAN SSSR, 143 (1962), 1243-1245
23. ↑ El vigésimo cuarto problema de Hilbert. Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Rudiger Thiele, American Mathematical Monthly, enero de 2003.
24. ↑ cdate=2008-09-29 Las 23 preguntas de matemáticas más difíciles del mundo . Consultado el 23 de noviembre de 2019. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2014. (indefinido)
25. ↑ Solicitud del Desafío de Matemáticas de DARPA (26 de septiembre de 2008). Consultado el 23 de noviembre de 2019. Archivado desde el original el 12 de enero de 2019. (indefinido)

Literatura

• Los problemas de Bolibrukh A. A. Hilbert (100 años después) . - MTSNMO , 1999. - T. 2. - 24 p. - ( Biblioteca "Educación Matemática" ).
• Demidov S.S. Sobre la historia de los problemas de Hilbert // Investigación histórica y matemática . - M.  : Nauka, 1966. - Nº 17. - S. 91-122.
• Demidov S.S. "Problemas matemáticos" de Hilbert y Matemáticas del siglo XX // Investigación histórica y matemática. - M.  : Janus-K, 2001. - N° 41 (6). - S. 84-99.
• Lyashko S. I., Nomirovskii D. A., Petunin Yu. I., Semyonov V. V. El vigésimo problema de Hilbert  : soluciones generalizadas de ecuaciones de operadores. - M.  : Dialéctica, 2009. - 192 p. - ISBN 978-5-8459-1524-5 .
• Problemas de Hilbert  : Sat. / ed. P. S. Alexandrova . — M  .: Nauka, 1969. — 240 p.

Enlaces

• Texto original en alemán del informe de Hilbert
• Traducción al ruso del informe de Hilbert (parte introductoria y conclusión)

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	BNF : 123904018 TIERRA : 4159859-3 SUDOC : 032990022