Teorema de la suma de los ángulos del triángulo

El teorema de la suma de los triángulos es un teorema clásico de la geometría euclidiana .

Redacción

La suma de los ángulos de un triángulo en el plano euclidiano es 180 ° . [una]

Prueba

Sea un triángulo arbitrario. Dibuja una línea a través del vértice B paralela a la línea AC . Marque un punto D en él para que los puntos A y D estén en lados opuestos de la línea BC . Los ángulos DBC y ACB son iguales en cruz interna, formados por la secante BC con las paralelas AC y BD . Por lo tanto, la suma de los ángulos del triángulo en los vértices B y C es igual al ángulo ABD . La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a la suma de los ángulos ABD y BAC . Como estos ángulos son unilaterales internos para los paralelos AC y BD en la secante AB , su suma es 180°. QED $\Delta ABC$

Consecuencias

Un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos o dos rectos, porque entonces la suma de los ángulos sería mayor a 180°. Por la misma razón, un triángulo no puede contener un ángulo obtuso y un ángulo recto al mismo tiempo.
Cualquier triángulo tiene al menos dos ángulos agudos. De hecho, el caso en que el triángulo tiene solo un ángulo agudo o ningún ángulo agudo contradice el corolario anterior.
En un triángulo rectángulo, ambos ángulos en la hipotenusa son agudos.
En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales, por lo que solo el ángulo opuesto a la base puede ser obtuso.
En un triángulo rectángulo isósceles, los ángulos en la hipotenusa son (180° - 90°) / 2 = 45°.
En un triángulo equilátero , los tres ángulos coinciden y por lo tanto son iguales a 180° / 3 = 60°.
( Teorema del ángulo exterior del triángulo) El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes a él [2] .

Variaciones y generalizaciones

Polígonos

Generalización para simples

Hay una relación más compleja entre los ángulos diédricos de un símplex arbitrario . Es decir, si es el ángulo entre las caras i y j del símplex, entonces el determinante de la siguiente matriz (que es una circulante ) es igual a 0: $L_{{ij}}$

{\begin{vmatrix}1&-\cos L_{12}&-\cos L_{13}&\dots &-\cos L_{1(n+1)}\\-\cos L_{21} &1&-\cos L_{23}&\puntos &-\cos L_{2(n+1)}\\-\cos L_{31}&-\cos L_{32}&1&\puntos &-\cos L_{ 3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\-\cos L_{(n+1)1}&-\cos L_{(n+1)2 }&-\cos L_{(n+1)3}&\puntos &1\\\end{vmatriz}}=0

Esto se deduce del hecho de que este determinante es el determinante de Gram de las normales a las caras del símplex, mientras que el determinante de Gram de los vectores linealmente dependientes es 0, y los vectores en el espacio bidimensional son siempre linealmente dependientes. $n+1$ $norte$

En geometrías no euclidianas

La prueba dada en este artículo se basa en una cierta propiedad de las líneas paralelas, a saber, la afirmación de que los ángulos interiores cruzados de las líneas paralelas son iguales. La demostración de esta afirmación, a su vez, utiliza el axioma del paralelismo de la geometría euclidiana. Se puede demostrar que cualquier prueba del teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo utilizará el axioma del paralelismo, y viceversa: del enunciado de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, se puede derivar el axioma de paralelismo si se dan los restantes axiomas de la geometría clásica (geometría absoluta ) [3] .

Así, la igualdad de la suma de los ángulos de un triángulo 180° es una de las principales características de la geometría euclidiana, que la distingue de las no euclidianas, en las que no se cumple el axioma del paralelismo:

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo siempre supera los 180°, la diferencia se llama exceso esférico y es proporcional al área del triángulo. Un triángulo esférico puede tener dos o incluso tres ángulos rectos u obtusos.

Ejemplo. Un vértice del triángulo en la esfera es el polo norte. Este ángulo puede ser de hasta 180°. Los otros dos vértices se encuentran en el ecuador, los ángulos correspondientes son de 90°.

En la geometría de Lobachevsky, la suma de los ángulos de un triángulo siempre es inferior a 180° y puede ser arbitrariamente pequeña. La diferencia también es proporcional al área del triángulo.

Notas

↑ Geometría según Kiselev Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , § 81.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 421.
↑ Lelon-Ferrand J. Fundamentos de Geometría. - M. : Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 págs. — ISBN 5-03-001008-4 .

Literatura

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex