Expectativa condicional

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La expectativa matemática condicional en la teoría de la probabilidad es el valor promedio de una variable aleatoria bajo una determinada condición (implementación de algunos eventos). A menudo, el valor de otra variable aleatoria fija en algún nivel, que puede relacionarse con la dada, actúa como una condición (si estas variables aleatorias son independientes, entonces la expectativa matemática condicional coincide con la expectativa matemática (incondicional)). En este caso, la expectativa matemática condicional de una variable aleatoria , siempre que la variable aleatoria haya tomado un valor, se denota como , respectivamente, puede considerarse como una función de . Esta función se denomina función de regresión de una variable aleatoria por una variable aleatoria y por lo tanto la expectativa matemática condicional se denota como , es decir, sin especificar un valor fijo . $Y$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización E (Y | X = x)}$ $X$ $Y$ $X$ ${\ estilo de visualización E (Y | X)}$ $X$

La expectativa condicional es una característica de una distribución condicional .

Definiciones

Suponemos que se nos da un espacio de probabilidad . Sea una variable aleatoria integrable , es decir, . Sea también una σ-subálgebra de la σ-álgebra . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega\to\mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subconjunto {\mathcal {F}}$ ${\ matemáticas {F}}$

ULV con respecto al σ-álgebra

Una variable aleatoria se llama expectativa condicional con respecto al σ-álgebra si ${\ sombrero {X}}$ $X$ ${\ matemáticas {G}}$

${\ sombrero {X}}$ medible con respecto a . ${\ matemáticas {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1}_{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf{1}_{A}]$ ,

donde es el indicador del evento (es decir, es la función característica del conjunto-evento, cuyo argumento es una variable aleatoria o un resultado elemental). La expectativa matemática condicional se denota por . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Ejemplo. Pongamos . _ Entonces es un σ-álgebra, y . Sea la variable aleatoria de la forma $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnada,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\ matemáticas {G}}$ ${\mathcal {G}}\subconjunto {\mathcal {F}}$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Después

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{matriz}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matriz}}\right.

UMO sobre la familia de eventos

Sea una familia arbitraria de eventos. Entonces la expectativa matemática condicional se llama relativamente ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha}\}\subset {\mathcal {F}}$ $X$ ${\ matemáticas {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

donde está el sigma-álgebra mínimo que contiene . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\ matemáticas {C}}$

Ejemplo. Dejar Dejar también . entonces _ Sea la variable aleatoria de la forma $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnada,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subconjunto {\mathcal {F))$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Después

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matriz}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matriz}}\right.

ULV relativo a una variable aleatoria

Sea otra variable aleatoria. Entonces la expectativa matemática condicional se llama relativamente $Y:\Omega\to\mathbb {R}$ $X$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

donde es el σ-álgebra generada por la variable aleatoria . $\sigma (Y)$ $Y$

Otra definición de ULV se refiere a : $X$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Esta definición describe constructivamente el algoritmo para encontrar el ULV:

encontrar la esperanza matemática de una variable aleatoria , tomando como constante ; $X$ $Y$ $y$
Luego, en la expresión resultante, reemplace nuevamente con una variable aleatoria . $y$ $Y$

Ejemplo : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid_{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac{a}{Y}}$

Probabilidad Condicional

Sea un evento arbitrario y sea su indicador. Entonces la probabilidad condicional se llama relativa $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\ matemáticas {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1}_{B}\mid {\mathcal {G}}]

Notas

La expectativa condicional es una variable aleatoria, no un número.
La expectativa matemática condicional se define hasta eventos de probabilidad cero . Por lo tanto, si y - casi en todas partes , entonces . Habiendo identificado variables aleatorias que difieren solo en eventos de probabilidad cero, obtenemos la unicidad de la expectativa matemática condicional. ${\sombrero {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\sombrero {X}}_{1}={\sombrero {X}}_{2}$ $\matemáticas {P}$ ${\sombrero {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Tomando , obtenemos por definición: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

y en particular, la fórmula de probabilidad total es válida :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Deje que un σ-álgebra sea generado por una partición . Después ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty}\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _ {C_{i}}

En particular, la fórmula de probabilidad total toma la forma clásica:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty}\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{yo}}

y consecuentemente

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Propiedades básicas

Si , entonces existe una función de Borel tal que ${\sombrero {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$

{\sombrero {X}}=h(Y)

La expectativa condicional de un evento es, por definición, igual a $X$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Si como , entonces como $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Si es independiente de , entonces $X$ ${\ matemáticas {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

En particular, si las variables aleatorias independientes, entonces $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

Si son dos σ-álgebras tales que , entonces ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subconjunto {\mathcal {G}}_{2}\subconjunto {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ medio {\mathcal {G}}_{1}]

Si — es medible, y — es una variable aleatoria tal que , entonces $X$ ${\ matemáticas {G}}$ $Y$ $Y,XY\en L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"La expectativa elimina la condición". Esta regla es cierta para el ULV con respecto a una variable aleatoria (el ULV en este caso será una variable aleatoria) y para la probabilidad condicional con respecto a una variable aleatoria

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Propiedades adicionales

ULV para cantidades discretas

Sea una variable aleatoria discreta cuya distribución viene dada por la función de probabilidad . Entonces el sistema de eventos es una partición , y $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty}\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1}_{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E}_{j}[X]

donde significa la expectativa matemática , tomada en relación con la probabilidad condicional . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Si la variable aleatoria también es discreta, entonces $X$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty}x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

donde es la función de probabilidad condicional de una variable aleatoria con respecto a . $p_{X\mid Y}$ $X$ $Y$

ULV para variables aleatorias absolutamente continuas

Sean variables aleatorias tales que el vector sea absolutamente continuo , y su distribución esté dada por la densidad de probabilidad . Introduzcamos la densidad condicional , estableciendo por definición $X,Y$ $(X,Y)^{\arriba}$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mid Y}$

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

donde es la densidad de probabilidad de la variable aleatoria . Después $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

donde la función tiene la forma $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

En particular,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO en L 2

Considere el espacio de variables aleatorias con segundo momento finito . Define el producto escalar $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\forall X,Y\in L^{2}

y la norma que genera

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

El conjunto de todas las variables aleatorias con segundo momento finito y medible con respecto a , donde , es un subespacio de . Entonces el operador dado por la igualdad $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\ matemáticas {G}}$ ${\mathcal {G}}\subconjunto {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

es el operador de proyección ortogonal en . En particular: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

La expectativa condicional es la mejor aproximación cuadrática media por variables aleatorias medibles: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $X$ ${\ matemáticas {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

La expectativa condicional guarda el producto escalar:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

La expectativa condicional es idempotente :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Véase también

Distribución condicional

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución