Teoría de la cartera de Markowitz

Teoría de la cartera Markowitz ( inglés mean-variance analysis - un enfoque basado en el análisis de promedios esperados y variaciones de variables aleatorias ) - desarrollada por Harry Markowitz , una metodología para formar una cartera de inversión , dirigida a la elección óptima de activos, basada en la relación requerida de rentabilidad / riesgo . Las ideas que formuló en la década de 1950 forman la base de la moderna teoría de la cartera [1] [2] .

Orígenes

Las principales disposiciones de la teoría de carteras fueron formuladas por Harry Markowitz mientras preparaba su tesis doctoral en 1950-1951 .

Se considera que el nacimiento de la teoría de la cartera de Markowitz es el artículo “Portfolio Choice” publicado en el Financial Journal en 1952 [3] . En él, primero propuso un modelo matemático para la formación de una cartera óptima y proporcionó métodos para construir carteras bajo ciertas condiciones [4] . El principal mérito de Markowitz fue proponer una formalización probabilística de los conceptos de "rentabilidad" y "riesgo", lo que permitió traducir el problema de elección de la cartera óptima a un lenguaje matemático formal [5] . Cabe señalar que durante los años de la creación de la teoría, Markowitz trabajó en RAND Corp. , junto con uno de los fundadores de la optimización lineal y no lineal, George Dantzig , y él mismo participaron en la solución de estos problemas. Por tanto, su propia teoría, tras la necesaria formalización, encajó bien en la dirección indicada.

Markowitz mejora constantemente su teoría y en 1959 publicó la primera monografía dedicada a ella, Selección de cartera: diversificación efectiva de inversiones [6] .

En 1990 , cuando Markowitz recibió el Premio Nobel , se publicó el libro "Análisis de la varianza media en la selección de carteras y el mercado de capitales" [7] .

Descripción de la teoría

Después de la formalización realizada por Markowitz, desde el punto de vista matemático, el problema de formar una cartera óptima era un problema de optimización cuadrática bajo restricciones lineales [5] . Esta clase de problemas es una de las clases de problemas de optimización más estudiadas para las cuales existe un gran número de algoritmos eficientes [8] .

Para construir el espacio de posibles carteras, Markowitz sugirió utilizar la clase de activos, el vector de sus rendimientos promedio esperados y la matriz de covarianza [5] .

A partir de estos datos se construye un conjunto de posibles portafolios con diferentes relaciones riesgo-retorno [5] .

Dado que el análisis se basa en dos criterios, el gestor selecciona carteras [5] :

Ya sea buscando soluciones efectivas o no mejorables. En este caso, cualquier otra solución que sea mejor que las encontradas en un parámetro será necesariamente peor en otro.
O eligiendo el criterio principal (por ejemplo, la rentabilidad no debe ser inferior a un valor determinado), utilizando el resto únicamente como criterios de restricción.
O estableciendo algún supercriterio, que es una superposición de los dos anteriores (por ejemplo, su función).

Formulación matemática y resolución de problemas

Cartera Markowitz de riesgo mínimo

La tarea de optimizar una cartera de activos con el vector de rendimiento promedio por la matriz de covarianza se puede formular de la siguiente manera $r$ $V$

${\begin{casos}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1 \\\end{casos}}$

A estas condiciones en el problema de optimización de la cartera de activos, se le debe sumar la condición de que la cartera (acciones) sea positiva. No obstante, en el caso general de instrumentos financieros, se asume la posibilidad de apertura de posiciones cortas (participaciones negativas de instrumentos en cartera). Entonces podemos encontrar una solución analítica general del problema. Si designamos

$A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{{-1}}(r,e)={\begin{pmatrix}r^ {T}V^{{-1}}r&r^{T}V^{{-1}}e\\e^{T}V^{{-1}}r&e^{T}V^{{- 1}}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}&a_{{22}}\\\end{ pmatrix}}$

entonces la solución del problema tiene la forma

$d^{*}=V^{{-1}}(r,e)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}$

Entonces la dependencia de la varianza de la cartera optimizada (eficiente) sobre el rendimiento requerido tendrá la forma

$\sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{{22}}r_{p}^{2}-2a_{{12}}r_{p}+a_{{11}}}{a_{{11}}a_{{22}}-a_{ {12}}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1 }-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}$

donde es la mínima dispersión posible de la rentabilidad de la cartera y la rentabilidad media correspondiente $\sigma _{0}^{2}=1/a_{{22}},r_{0}=a_{{12}}/a_{{22}}$

r_{1}=a_{{11}}/a_{{12}}

- rentabilidad de la cartera, con la misma relación riesgo-rentabilidad que la cartera de mínimo riesgo (gráficamente, este es el único punto de intersección con la parábola de la recta que pasa por el origen y el vértice de la parábola) Cartera de riesgo mínimo de Tobin

En presencia de un activo libre de riesgo (con varianza cero de rendimientos) con rendimientos , la formulación del problema cambia $r_{f}$

${\begin{casos}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_ {f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{casos}}$

La solución a este problema tiene la forma

$d^{*}={\frac{r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e )}}V^{{-1}}(r-r_{f}e)$

El vector de estructura de la cartera de riesgo (la participación de los activos de riesgo no en toda la cartera, sino en el valor total de la cartera de riesgo) será igual a

$d^{{**}}={\frac{V^{{-1}}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{ f}e)}}$

Se puede observar que la estructura de la parte riesgosa de la cartera no depende del rendimiento requerido. El rendimiento requerido determina solo la relación entre la cartera riesgosa y el activo libre de riesgo.

La rentabilidad media de la cartera de riesgo será igual a

$r_{p}^{{**}}=r^{T}d^{{**}}={\frac {r^{T}V^{{-1}}(r-r_{f} e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{{11}}-r_{f}a_{{12}} {a_{{12}}-r_{f}a_{{22}}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{ F}}}$

La desviación estándar de la cartera óptima (eficiente) depende linealmente del rendimiento requerido, a saber, de la siguiente manera

$\sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r- r_{f}e)}}}}={\frac {\sigma_{0}(r_{p}-r_{f})}{{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^ {2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

También es fácil determinar la relación entre el rendimiento promedio de los instrumentos individuales y el rendimiento promedio de la cartera. Para ello, definimos el vector de coeficientes

$\beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}} }\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})$

De esto obtenemos que si los inversionistas son racionales, entonces la cartera de mercado puede condicionalmente considerarse eficiente, por lo tanto, en el mercado, la rentabilidad promedio del instrumento está relacionada con la rentabilidad de la cartera de mercado de la siguiente forma lineal

$r-r_{f}=\beta (r_{M}-r_{f})$

Este es un modelo de valoración de activos financieros - CAPM

Véase también

Modelo Black-Litterman

Notas

↑ Gitman L. J., Jonk M. D. Fundamentos de la inversión. Por. De inglés. - M.: Delo, 1997. - 1008 p. ISBN 0-06-0423625 (inglés) ISBN 5-7749-0011-8 (ruso). Página 810
↑ Krass MS, Chuprynov BP Matemáticas para economistas. - San Petersburgo, Peter, 2009. - p. 251
↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. No. 1 págs. 71-91
↑ Evsenko Olga Sergeevna. Inversiones en preguntas y respuestas. Tutorial.
↑ 1 2 3 4 5 Yu. F. Kasimov. Fundamentos de la teoría de la cartera óptima de valores - M: Casa de Información y Editorial "Filin", 1998. - 144 p. ISBN 5-89568-086-0
^ Selección de cartera Markowitz HM: diversificación eficiente de la inversión. Wiley. Nueva York. 1959.
^ Markowitz HM, Análisis de varianza media en elección de cartera y mercados de capital. Albahaca. Blackwell. 1990.
↑ Bazaraa MS, Sherali HD, Shetty CM Programación no lineal (2.ª ed.) Wiley & Sons, 1994.

Literatura

Harry Markowitz. Selección de cartera Archivado el 3 de junio de 2017 en Wayback Machine .

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