Signo de convergencia

En matemáticas , el signo de la convergencia de una serie de números es un método que permite establecer la convergencia o divergencia de una serie infinita:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Breve entrada:

\sum _{{n=1}}^{{\infty}}a_{n}

Aquí hay una secuencia de números reales o complejos ; estos números se llaman términos de la serie . $a_{1},a_{2},a_{3}\puntos$

Una condición necesaria para la convergencia de series

Si el límite de un miembro de la serie no existe o no es igual a cero con el crecimiento, entonces la serie diverge [1] . $norte$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_{n))$

Por tanto, la condición es necesaria (pero no suficiente) para la convergencia de la serie. En otras palabras, si no se cumple esta condición, entonces la serie ciertamente diverge, pero si se cumple, entonces no hay garantía de que la serie converja; véase, por ejemplo, la serie armónica . $\lim _{n\to \infty}a_{n}=0$

Los principales signos de convergencia

Series con miembros no negativos

Las series con miembros no negativos también se denominan positivas [2] o simplemente positivas [3] .

Criterio de convergencia para series con signo positivo

Una serie de signo positivo converge si y solo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente [4] . $\sum _{{k=1}}^{\infty}a_{k}$ ${\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k))$

Signo de comparación con la mayorante

Se puede llegar a una conclusión sobre la convergencia o divergencia de una serie a partir de su comparación término a término con otra serie (“ mayorante ”), cuyo comportamiento ya se conoce [4] .

Sean dadas dos series de signos positivos: y . Si, a partir de algún número ( ), se cumple la siguiente desigualdad: , entonces [5] : $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}b_{n}$ $n>N$ $0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$

de la convergencia de la serie se sigue la convergencia de la serie ; $\sum _{{n=1}}^{\infty}b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$
la divergencia de la serie implica también la divergencia de la serie . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}b_{n}$

Corolario para series con términos de un signo arbitrario:

Si la serie converge absolutamente y partiendo de algún número todo , entonces la serie converge absolutamente. $\sum _{{n=1}}^{\infty}b_{n}$ $|a_{n}|\leqslant |b_{n}|$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Ejemplo [6] . Probemos la convergencia de la serie de cuadrados inversos :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ fracción {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\puntos

Para ello, junto a la mayorante, se puede elegir una serie:

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdot

La suma parcial de esta serie se puede representar como:

S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{ 3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n -1))-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \over n}

Por lo tanto, la serie converge y su suma es igual a 2. Por lo tanto, de acuerdo con la prueba de comparación , y la serie de cuadrados inversos converge a un cierto número en el intervalo . ${\ estilo de visualización (1,2)}$

Signo de Raabe

Este signo es más fuerte que el signo de d'Alembert y el signo radical de Cauchy [7] .

Si hay un límite para la serie : $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),

entonces para , la serie converge y para , diverge. Si , entonces esta característica no nos permite sacar una conclusión definitiva sobre la convergencia de la serie [8] . $R>1$ $R<1$ $R=1$

Prueba integral de Cauchy-Maclaurin

Esta función le permite determinar con total certeza si la serie converge o diverge.

Deje que la función se defina para , sea no negativa, disminuya monótonamente y . $f(x)$ $x\geqslant 1$ ${\ Displaystyle f (n) = a_ {n))$

Entonces la serie y la integral impropia: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

\int \limits _{1}^{\infty}f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty}\int \limits _{1}^{t}f(x) \,dx

convergen o divergen simultáneamente [9] .

Ejemplo [10] . Averigüemos la convergencia de la serie para la función zeta de Riemann (en el caso real):

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ fracción {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\puntos

Para ello, la función generadora tiene la forma: . Calculemos la integral: ${\ estilo de visualización 1/x^{s))$

\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s))}\,dx={\frac {1}{s-1)),

si , o si Conclusión: esta serie converge en y diverge en .

s>1

{\ estilo de visualización \ infinito,}

s\leqslant 1.

s>1

s\leqslant 1

Signo de Gauss

Deje que la relación para una serie de signos positivos se represente como: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ ${\frac{a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n ^{2}}},

donde son constantes y la sucesión está acotada. Entonces [11] : ${\ estilo de visualización \ lambda, \ mu}$ ${\ estilo de visualización \ {\ theta _ {n} \}}$

la serie converge si ${\ estilo de visualización \ lambda> 1,}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 1, \ mu > 1;}$
la serie diverge si ${\ estilo de visualización \ lambda <1,}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 1, \ mu \ leqslant 1.}$

Signo de Kummer

La prueba de Kummer es una prueba extremadamente general y flexible para la convergencia de series con términos positivos. De hecho, es un esquema para construir características específicas [12] .

Sean dadas una serie de signo positivo y una secuencia de números positivos tal que la serie diverja. $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\{c_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{c_{n}}}$

Si a partir de algún número se cumple la siguiente desigualdad:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,

donde . es una constante positiva, entonces la serie converge. $\delta$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Si, a partir de algún número, la serie diverge. $K_{n}\leqslant 0,$

Más a menudo en la práctica, se usa la forma límite de la prueba de Kummer: luego encontramos en caso de que la serie converja y cuando diverja. $K=\lim _{n\to \infty }K_{n},$ $k>0$ $k<0$

Se obtienen otros signos del signo de Kummer:

Cuando - un signo de d'Alembert ; $c_{n}=1$
Cuando - un signo de Raabe ; $c_{n}=n$
Cuando es un signo de Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Serie alterna

Las series de signo variable son series cuyos miembros pueden ser tanto positivos como negativos.

Signo de d'Alembert

Esta característica también se conoce como criterio de d'Alembert . Es más simple que la prueba de Cauchy, pero más débil: si la prueba de d'Alembert funciona, entonces la prueba de Cauchy siempre funciona, pero hay series a las que se aplica la prueba de Cauchy, y la prueba de d'Alembert no da resultados [13 ] .

Si existe entonces: $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,$

si entonces la serie converge absolutamente ; ${\ estilo de visualización r <1,}$
si entonces la serie diverge; ${\ estilo de visualización r> 1,}$
si , entonces esta característica no nos permite sacar una conclusión definitiva sobre la convergencia de la serie. ${\ estilo de visualización r = 1}$

Ejemplo [14] . Investiga la convergencia de la serie donde Calcula el límite: $\sum _{n=1}^{\infty}n!\left({\frac {x}{n}}\right)^{n},$ ${\ estilo de visualización x> 0.}$

r=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty } {\frac {n^{n}x}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty}{\frac {x}{(1+1/n)^{ n}}}={\frac{x}{e}}

En consecuencia, la serie converge en y diverge en El caso debe considerarse por separado; la verificación muestra que entonces los términos de la serie no decrecen ( , por lo tanto ) por lo que en este caso la serie diverge. ${\ estilo de visualización x <e}$ $x>e.$ ${\ estilo de visualización x = e}$ $(1+1/n)^{n}<e$ ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1,$

Signo radical de Cauchy

Si existe entonces: $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}}|}}=r,$

si entonces la serie converge, y absolutamente ; ${\ estilo de visualización r <1,}$
si entonces la serie diverge; ${\ estilo de visualización r> 1,}$
si , entonces esta característica no permite sacar una conclusión definitiva sobre la convergencia de la serie [15] . ${\ estilo de visualización r = 1}$

La prueba de Cauchy es más complicada, pero más fuerte que la prueba de d'Alembert: si la prueba de d'Alembert confirma la convergencia o divergencia de la serie, entonces la prueba de Cauchy hace lo mismo, pero no lo contrario [16] .

Ejemplo [17] . Examinemos la serie donde es una secuencia de números positivos, y $\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n},$ $C>0,\{a_{n}\}$ $\lim _{n\to \infty}a_{n}=A.$

r=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n))}= \lim _{n\to \infty }{\frac {C}{a_{n}}}={\frac {C}{A}}.

Según la prueba de Cauchy, son posibles tres casos.

Si entonces en , la serie converge, en - diverge, en cierta conclusión no se puede sacar. $0<A<+\infty,$ ${\ estilo de visualización C<A}$ ${\ estilo de visualización C> A}$ ${\ estilo de visualización C = A}$
Si entonces la serie diverge. ${\ estilo de visualización A = 0,}$
Si la serie converge. $A=+\infty,$

La prueba de Leibniz para series alternas

Esta característica también se denomina criterio de Leibniz .

Sea para una serie alterna :

{\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n))

, donde ,

a_{n}\geqslant0

se cumplen las siguientes condiciones:

la sucesión a partir de algún número ( ) decrece monótonamente: ; ${\ estilo de visualización \ {a_ {n} \},}$ $n>N$ ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n))$
$\lim _{n\to \infty}a_{n}=0.$

Entonces tal serie converge [18] .

Signo de Abel

La serie numérica converge si se cumplen las siguientes condiciones [19] : $\sum _{{n=1}}^{\infty} {a_{n}}{b_{n}}$

La secuencia es monótona y acotada. $\{un}\}$
La serie converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty}{b_{n}}$

Signo de Dirichlet

Que se cumplan las siguientes condiciones:

la secuencia de sumas parciales es limitada; $B_{n}=\sum_{{k=1}}^{n}b_{k}$
la secuencia , a partir de algún número, decrece monótonamente: ; $un$ $a_{n}\geqslant a_{n+1}$
$\lim _{{n\to \infty}}a_{n}=0$ .

Entonces la serie converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}b_{n}$

Las pruebas de Leibniz y Abel descritas anteriormente se derivan de la prueba de Dirichlet y, por lo tanto, son más débiles que la última [19] .

Signo de Bertrand

Si hay un límite para la serie : $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right) -1\derecha),

entonces para , la serie converge y para , diverge. Si , entonces esta característica no nos permite sacar una conclusión definitiva sobre la convergencia de la serie [11] . ${\ estilo de visualización B> 1}$ ${\ estilo de visualización B <1}$ ${\ estilo de visualización B = 1}$

Variaciones y generalizaciones

Si bien la mayoría de las funciones se ocupan de la convergencia de series infinitas, a menudo se pueden usar para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr usando el siguiente teorema:

teorema _ Sea una secuencia de números positivos. Entonces el producto infinito converge si y solo si la serie converge . $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ $\prod _{n=1}^{\infty}(1+a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

De manera similar, si , entonces tiene un límite distinto de cero si y solo si la serie converge. Esto se puede probar tomando el logaritmo del producto [20] . $0<a_{n}<1$ $\prod _{n=1}^{\infty}(1-a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Notas

↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 293-294.
↑ Matveeva y otros .
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 262.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 264-266.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 51-52.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 52.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (para científicos e ingenieros). - 2ª ed. - M. : Nauka, 1970. - S. 137. - 720 p.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 273-274.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 282-285.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 61.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 277-279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 271-272, 275.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior . - ed. 13 - M. : Nauka, 1985. - S. 274. - 544 p.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 270-271.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 272, 275 (ejemplos 3, 4).
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 274 (ejemplo 1).
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 302-303.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 307-308.
↑ Belck. Convergencia de Productos Infinitos (26 de enero de 2008). Consultado el 21 de septiembre de 2020. Archivado desde el original el 31 de enero de 2017. (indefinido)

Literatura

Vorobyov N. N. Teoría de la serie. - 4ª ed. — M .: Nauka, 1979. — 408 p. - (Capítulos seleccionados de matemáticas superiores para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior).
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - Ed. 6to. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 p.

Enlaces

Matveeva T. A., Svetlichnaya V. B., Korotkova N. N. Serie numérica . Fecha de acceso: 22 de septiembre de 2020. (indefinido)
Señales de convergencia de una serie . Fecha de acceso: 22 de septiembre de 2020. (indefinido)

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich