Octágono

octágono
octágono regular
Tipo de	polígono regular
costillas	$Dieciocho$
Símbolo Schläfli	${\ estilo de visualización \ {18 \}}$ , ${\displaystyle \mathrm {t} \{9\))$
Diagrama de Coxeter-Dynkin
tipo de simetría	Grupo diedro , orden 2×18 ${\ estilo de visualización (\ mathrm {D} _ {18})}$
Esquina interior	${\displaystyle 160^{\circ ))$
Propiedades
convexo , inscrito , equilátero , equiangular , isotoxal
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Un polígono de dieciocho lados es un polígono de dieciocho lados [1] .

Octágono regular

Un octágono regular tiene el símbolo de Schläfli y se puede construir como un hexágono truncado semirregular , en el que se alternan dos tipos de lados. ${\ estilo de visualización \ {18 \}}$ ${\displaystyle \mathrm {t} \{9\))$

Edificio

Al tener lados, un octágono regular no se puede construir usando una regla y un compás de acuerdo con el teorema de Gauss-Wanzel [2] . Sin embargo, se puede construir con un nevsis o una trisección de ángulo usando un tomahawk . $18=2\cdot 3^{2}$

La siguiente construcción aproximada es muy parecida a la construcción de un nonágono, ya que el dieciochoágono, como ya se mencionó anteriormente, se puede construir truncando el nonágono. Esta construcción se puede hacer usando solo un compás y una regla.

Reducimos el ángulo usando cuatro divisiones a la mitad y construimos un tercio del arco usando una división aproximada del ángulo entre y . $AMC(60^{\circ })$ $LUN$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {w} _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {w} _ {4}}$ Para ello, trazamos una línea recta a través de los puntos y , en esta línea apartamos un segmento igual a , y construimos un punto sobre el segmento resultante , de modo que la longitud sea igual a un tercio . $O$ $norte$ $OP$ ${\ estilo de visualización activado}$ $q$ ${\ estilo de visualización O}$ ${\ estilo de visualización activado}$ Ahora dibujamos una circunferencia con centro en un punto y buscamos la intersección de esta circunferencia con un arco , obteniendo un punto . $q$ ${\ estilo de visualización NO}$ $R$ Trazamos una recta que pasa por un punto y el centro de la circunferencia . Esta línea recta corta del círculo original un arco aproximadamente igual a la longitud total del círculo. $R$ $METRO$ ${\ estilo de visualización 1/18}$ $\angle {AMR}=19.999999994755615...^{\circ }$ El ángulo central de un octágono regular es , lo que significa que el error de construcción es $360^{\circ }/18=20^{\circ }$ ${\displaystyle \angle {AMR}-20^{\circ }=-5,244...^{\circ }\cdot 10^{-9))$ Un ejemplo que ilustra la precisión de la construcción: si tomamos un círculo con un radio de km , el error absoluto de la longitud del lado será de aproximadamente mm . ${\ estilo de visualización r = 100000}$ $-9$ Ver también Construir un nonágono (en alemán) En la construcción dada en este sitio, el ángulo es igual al ángulo en la construcción dada del octágono. ${\ estilo de visualización \ ángulo {JMR))$ ${\ estilo de visualización \ ángulo {AMR}}$

Simetría

Un octógono regular tiene un grupo de orden diédrico . Existen tipos de subgrupos de simetría diédrica : , ( , ) y ( , ), así como 6 grupos de simetría cíclica : ( , ), ( , ) y ( , ). ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {18}}$ ${\ estilo de visualización 36}$ $5$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {9}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {18}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {9}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {1}}$

En la imagen de la derecha, puedes ver los subgrupos de simetría del octágono. Conway utilizó letras para representarlos, junto con el orden del grupo [3] . La simetría total de una figura regular será , y la ausencia de simetría (es decir, el grupo trivial ) se marca como . Las simetrías diedras se dividen si sus ejes pasan por los vértices (usando la letra , de "diagonal") o por los puntos medios de los lados (usando la letra , de "perpendicular"). Si los ejes de simetría pasan tanto por los vértices como por los puntos medios de los lados, se utiliza la letra . Los grupos cíclicos están marcados con una letra (de "giro"). $quince$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {r} 36}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {a} 1}$ $\mathrm {d}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {p}}$ ${\ matemáticas {i))$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {g}}$

Todos estos subgrupos pueden ser diedros de octágono irregular, y sólo el subgrupo no da libertad al respecto, a menos que los lados del polígono se consideren con dirección, es decir, como vectores . ${\ estilo de visualización \ mathrm {g} 18}$

Uso

Triángulo regular , nonágono y dieciochoágono pueden rodear completamente un punto en el plano, siendo una de las 17 combinaciones de polígonos regulares con esta propiedad [4] . Sin embargo, esta combinación no se puede usar para un mosaico de Arquímedes de un plano: el triángulo y el nonágono tienen un número impar de lados, ninguna de estas figuras se puede rodear alternando otros dos tipos de polígonos.

Los dieciocho regulares pueden enlosar el plano, dejando espacios hexagonales cóncavos. Otro mosaico usa octógonos no convexos. Cortando algunos vértices, el primer mosaico se puede convertir en un mosaico hexagonal truncado y el segundo en un mosaico trihexagonal truncado .

Otras figuras octogonales

Los Star -gons tienen símbolos . Hay dos polígonos regulares en estrella : y . Usan los mismos vértices pero se conectan cada quinto o séptimo vértice. También hay dieciocho compuestos: equivalente a (dos nonágonos ), equivalente a (tres hexágonos ), equivalente a ( dos eneagramas ), equivalente a ( triángulos equiláteros), y finalmente equivalente a (nueve bicágonos ). $Dieciocho$ ${\ estilo de visualización \ {18/n \}}$ ${\ estilo de visualización {18/5}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/7 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/2 \}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ {9 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/3 \}}$ ${\ estilo de visualización 3 \ {6 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/4 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/8 \}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ {9/2 \}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ {9/4 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {18/6 \}}$ ${\ estilo de visualización 6 \ {3 \}}$ $6$ ${\ estilo de visualización \ {18/9 \}}$ ${\ estilo de visualización 9 \ {2 \}}$

Polígonos compuestos y estrella
norte	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
Vista	Polígono convexo	Compuesto			polígono estrella	Compuesto	polígono estrella	Compuesto
Imagen	${\ estilo de visualización \ {18/1 \}}$ = ${\ estilo de visualización \ {18 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/2 \}}$ = ${\ estilo de visualización 2 \ {9 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/3 \}}$ = ${\ estilo de visualización 3 \ {6 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/4 \}}$ = ${\ estilo de visualización 2 \ {9/2 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/5 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/6 \}}$ = ${\ estilo de visualización 6 \ {3 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/7 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/8 \}}$ = ${\ estilo de visualización 2 \ {9/4 \}}$	${\ estilo de visualización \ {18/9 \}}$ = ${\ estilo de visualización 9 \ {2 \}}$
Esquina interior	${\displaystyle 160^{\circ ))$	${\displaystyle 140^{\circ ))$	$120^{\círculo}$	${\displaystyle 100^{\circ ))$	${\displaystyle 80^{\circ ))$	$60^{\círculo}$	${\displaystyle 40^{\circ ))$	${\displaystyle 20^{\circ ))$	$0^{\círculo}$

Los truncamientos más profundos de un polígono regular y un eneagrama regular dan octágonos intermedios equiangulares ( transitivos de vértice ) con vértices equidistantes y dos longitudes de lado. Otros truncamientos dan doble cobertura: [5] . $\mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{ 18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}$

Truncamientos transitivos de vértice del nonágono y eneagramas
cuasi-correcto	isogonal	Recubrimiento doble cuasi -correcto
${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9} = {18}}$		${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9/8} = {18/8}}$ ${\ estilo de visualización = 2 {9/4}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9/5} = {18/5}}$		${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9/4} = {18/4}}$ ${\ estilo de visualización = 2 {9/2}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9/7} = {18/7}}$		${\ estilo de visualización \ matemáticas {t} {9/2} = {18/2}}$ ${\ estilo de visualización = 2 {9}}$

Polígonos de Petrie

Un octágono regular es un polígono de Petri para varios politopos , como se muestra en proyecciones ortogonales sesgadas en el plano de Coxeter :

Polígonos de Petri de dieciocho lados
un 17	B9 _		D10 _		mi 7
17-simple	9-ortoedro	Enneract	7 11	171 [ es	3 21	231 [ es	> 1 32

Notas

↑ Adams, 1907 , pág. 528.
↑ Conway, 2010 , pág. 31
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , pág. 275-278.
↑ Dallas, 1855 , pág. 134.
↑ Grünbaum, 1994 , pág. 35-48.

Literatura

Henry Adams. Manual del ingeniero de Cassell: que comprende hechos y fórmulas, principios y práctica, en todas las ramas de la ingeniería. - D. McKay, 1907. - S. 528.
Juan B. Conway. Conexiones matemáticas: un curso final. - Sociedad Matemática Americana, 2010. - Pág. 31. - ISBN 9780821849798 .
L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Simetría, forma y superficies: una introducción a las matemáticas a través de la geometría. - Springer, 2002. - Pág. 86. - ISBN 9781930190092 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono // Las simetrías de las cosas. - Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . El lado más ligero de las matemáticas: actas de la conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - La Asociación Matemática de América, 1994. - (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X .
Elmslie William Dallas. Los elementos de la geometría práctica plana, etc. - John W. Parker e Hijo, 1855.

Octágono

Enlaces

Weisstein, Eric W. Octadecagon (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}