Cuadrilátero de Saccheri

Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados iguales perpendiculares a la base. El nombre de Girolamo Saccheri , quien lo usó en su Euclid Cleansed of All Stains ( Euclides ab omni naevo vindicatus , publicado por primera vez en 1733). Saccheri en este trabajo trató de demostrar el quinto postulado utilizando el método " por contradicción ".

Anteriormente, a fines del siglo XI, el cuadrilátero de Sakkeri también fue considerado por Omar Khayyam [1] .

En un cuadrilátero de Saccheri , los lados y son iguales en longitud y perpendiculares a la base . Los ángulos en y se llaman ángulos superiores , los otros dos ángulos se llaman inferiores .

Una propiedad útil del cuadrilátero de Saccheri es que el tipo de plano que lo contiene está determinado únicamente por la respuesta a una sola pregunta:

¿Las esquinas superiores son rectas, obtusas o agudas?

Resulta que cuando los ángulos superiores son rectos, el quinto postulado se cumple en el plano , cuando son agudos, el plano es hiperbólico , y cuando son obtusos, el plano es elíptico (sujeto a algunos cambios adicionales a los postulados [ 2] ).

Saccheri esperaba que los casos de ángulos obtusos y agudos condujeran a una contradicción con los axiomas de Euclides. Mostró esto en el caso de los ángulos obtusos, y, según le pareció, también en el caso de los agudos (lo que obviamente era erróneo) [3] .

Historia

El cuadrilátero Sakkeri fue considerado por primera vez por Omar Khayyam a finales del siglo XI [1] . A diferencia de muchos antes y después de él, Khayyam no intentó probar el quinto postulado como tal, se basó en el postulado equivalente de los "principios del filósofo" ( Aristóteles ):

Dos líneas rectas convergentes se intersecan, y no es posible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que previamente convergieron [4] .

Khayyam consideró las tres posibilidades para las esquinas superiores del cuadrilátero de Saccheri y demostró una serie de teoremas. Refutó (correctamente) los casos obtuso y agudo sobre la base de su postulado, y dedujo de esto el postulado clásico de Euclides.

600 años después, Giordano Vitale usó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes de la base y la parte superior , entonces tienen la misma distancia en todas partes.

El propio Saccheri , en su larga prueba del postulado, sugirió que los ángulos superiores son agudos, tras lo cual, sin sospecharlo, dedujo de ello muchos teoremas de la geometría de Lobachevsky . Al final del libro, cometió un error y llegó a una contradicción imaginaria, de la que concluyó que podía probar el quinto postulado.

Propiedades

Sea un cuadrilátero de Saccheri con base . Las siguientes propiedades son ciertas en cualquier geometría hiperbólica [5] :

• Los ángulos superiores ( y ) son iguales y agudos.
•  El lado superior es más largo que la base.
• El segmento que conecta el medio de la base y el medio del lado superior es perpendicular a la base y al lado superior.
  • Además, este segmento divide el cuadrilátero en dos cuadriláteros de Lambert .
• El segmento que une los puntos medios de los lados no es perpendicular a ninguno de los lados.

Fórmula

En un plano hiperbólico de curvatura constante , el lado superior de un cuadrilátero de Saccheri se puede expresar en términos del lado y la base usando la fórmula

[6]

Ejemplos

El plano hiperbólico admite teselaciones por algunos cuadriláteros de Saccheri:

Simetría *3322

Simetría *∞∞22

Véase también

• El cuadrilátero de Lambert es una variación del cuadrilátero de Saccheri con tres ángulos rectos.

Notas

1. ↑ 1 2 Boris Abramovich Rozenfelʹd. Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico  . — Traducción de Abe Shenitzer. - Springer, 1988. - Pág. 65. - ISBN 0-387-96458-4 .
2. ↑ Coxeter, 1998 , pág. once.
3. ↑ Faber, 1983 , pág. 145.
4. ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometría, p. 467 en Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
5. ↑ Faber, 1983 , págs. 146-147.
6. ↑ P. Buser y H. Karcher.

Literatura

• Coxeter, HSM (1998), Geometría no euclidiana (6.ª ed.), Washington, DC: Asociación Matemática de América, ISBN 0-88385-522-4 
• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1 
• MJ Greenberg , Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia, 4.ª edición, W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin , Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano, Springer-Verlag, 1975

polígonos
Por número de lados	monógono Grande en Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono Decágono Endecágono Dodecágono Trece tetradecágono Pentágono Hexágono De diecisiete octágono Diecinueveagón Dodecágono Veintiún lados Veintidós ángulo veintetrigon veinte cuadrangular Veinte pentágono Veinte octágono Tridecágono Thirty-Biagon Cuarenta cuadrados Cuarenta bicagón pentecostal pentecostal Hexágono Sesenta y cuatro heptágono octágono nonágono [ es Millagón Diezmil-gon cienmilésima Milliogon infinito
correcto	convexo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon estrellado Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama
triangulos	Isósceles Derecha Rectangular
cuadriláteros	inscrito descrito no descrito Paralelogramo antiparalelogramo Rectángulo rectángulo dorado Rombo Romboidal Trapecio Deltoides Cuadrado unidad cuadrada lamberto saccheri
ver también	Lista de polígonos Punto perteneciente a un polígono Teorema de Bolyai-Gervin Teorema de Brahmagupta Teorema de Gauss-Wanzel Fórmula pico Teorema de la suma de los ángulos del polígono Relación Bretschneider