Pentágono

Pentágono
Quince decágono regular
Tipo de	polígono regular
costillas	quince
Símbolo Schläfli	{quince}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
tipo de simetría	Grupo diedro (D 15 )
Esquina interior	156°
Propiedades
convexo , inscrito , equilátero , equiangular , isotoxal
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Un polígono de quince lados es un polígono de quince lados.

Hexágono regular

Un hexágono regular se representa con el símbolo de Schläfli {15}.

Un pentágono regular tiene ángulos interiores de 156 ° . De lado a , el pentágono tiene un área dada por la fórmula

{\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac { 15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={ \frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5 }}}}\right)\\&\simeq 17.642362910544204\,a^{2}.\end{alineado}}

Uso

Un triángulo regular, un decágono y un ángulo de quince pueden cubrir completamente un vértice en el plano .

Edificio

Dado que 15 = 3 × 5 es un producto de varios números primos de Fermat , se puede construir un pentágono regular usando un compás y una regla : Las siguientes construcciones de un pentágono regular con un círculo circunscrito dado son similares a la ilustración de la Reclamación XVI en el Libro IV de Euclides. Elementos [1] .

Comparación de la construcción con la construcción de Euclides, ver figura Pentágono

En la construcción de un círculo circunscrito dado: igual al lado de un triángulo equilátero, e igual al lado de un pentágono regular [2] . El punto divide el radio en proporción a la proporción áurea : ${\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\ ;|E_{1}E_{6}|$ $|E_{2}E_{5}|$ $H$ ${\overline {AM}}$ ${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \aproximadamente 1618{\text{.}}$

La comparación con la primera animación (con líneas verdes) se muestra en las siguientes dos figuras. Dos arcos (para ángulos de 36° y 24°) se desplazan en sentido antihorario. La construcción no usa el segmento , sino que usa el segmento como radio para el segundo arco (ángulo de 36°). ${\overline {CG))$ ${\sobrelínea {MG}}$ ${\overline {AH))$

Construcción utilizando un compás y una regla para una longitud de lado dada. La construcción es casi la misma que para construir un pentágono a lo largo de un lado dado, también comienza con la creación de un segmento como continuación del lado, aquí , que se divide en proporción a la proporción áurea: ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618033988749895{\text{.}}$

Radio del círculo circunscrito

{\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;

Largo de lado

{\overline {E_{1}E_{2))}=a\;;\;\;

Esquina

DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }

${\begin{alineado}R&=a\cdot {\frac {1}{2))\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5))))+{\ sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\ sqrt {5))))))\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ )))))\cdot a\approx 2.4048671723720654 \cdot a\end{alineado}}$

Simetría

Un pentágono regular tiene una simetría diédrica de orden 30 (Dih 15 ), representada por 15 líneas de reflexión especular. Dih 15 tiene 3 subgrupos diedros: Dih 5 , Dih 3 y Dih 1 . Y además, hay cuatro simetrías cíclicas más: Z 15 , Z 5 , Z 3 y Z 1 , donde Z n representa la simetría rotacional π / n .

Hay 8 simetrías diferentes en un pentágono. John Conway etiquetó las simetrías con letras, con el orden de simetría después de la letra [3] . Denotó por r30 la simetría completa de las reflexiones Dih 15 , por d (diagonal = diagonal) reflexiones sobre líneas que pasan por los vértices, por p reflexiones sobre líneas que pasan por los puntos medios de los bordes (perpendicular = perpendicular), y para un pentágono con un impar número de vértices usó la letra i (para espejos a través del vértice y la mitad del borde) y la letra g para simetría cíclica. El símbolo a1 significa que no hay simetría.

Estos bajos grados de simetría determinan los grados de libertad al definir pentágonos irregulares. Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede considerarse que tiene aristas dirigidas .

Pentadecagramas

Hay tres estrellas regulares : {15/2}, {15/4}, {15/7} en los mismos 15 vértices de un pentágono regular, pero conectados a través de uno, tres o seis vértices.

También hay tres formas de estrellas regulares : {15/3}, {15/5}, {15/6}, la primera consta de tres pentágonos , la segunda consta de cinco triángulos regulares y la tercera consta de tres pentagramas _

La figura compuesta {15/3} se puede considerar como el equivalente bidimensional de un compuesto tridimensional de cinco tetraedros .

imagen	{15/2}	{15/3} o 3{5}	{15/4}	{15/5} o 5{3}	{15/6} o 3{5/2}	{15/7}
esquina interior	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Truncamientos más profundos de un pentágono regular y pentadecagramas pueden dar polígonos de estrella intermedios isogonales ( transitivos de vértice ) formados por vértices igualmente espaciados y dos longitudes de borde [4] .

Funciones transitivas de vértice en un pentágono
Cuasi-regular	ecuagonal	Cuasi-regular
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

Polígonos de Petrie

Un pentágono regular es un polígono de Petrie para algún politopo de alta dimensión obtenido por proyección ortogonal :

14-simple (14D)

También es el polígono de Petrie para la gran celda de 120 y la gran estrella de 120 celdas .

Notas

↑ Dunham, 1991 , pág. sesenta y cinco.
↑ Kepler, 1939 , pág. 44.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , pág. 275-278.
↑ Grünbaum, 1994 .

Literatura

Guillermo Dunham. Viaje a través del Genio - Los Grandes Teoremas de las Matemáticas . — Penguin, 1991. Facultad de Artes y Ciencias Matemáticas de la Universidad de Kentucky
Johanes Kepler. WELT-HARMONIK / traducido e iniciado por MAX CASPAR 1939. - Google Books, 1939.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono // . - Las simetrías de las cosas, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Metamorfosis de polígonos // El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia. — 1994.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Pentadecagon (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

polígonos

Por número de lados

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pentecostal
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octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama hexagrama Heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider