Teoría del caos

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La teoría del caos  es un aparato matemático que describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos no lineales que están sujetos, bajo ciertas condiciones, a un fenómeno conocido como caos ( dinámico caos , caos determinista ). El comportamiento de tal sistema parece ser aleatorio, incluso si el modelo que describe el sistema es determinista . Para enfatizar la naturaleza especial del fenómeno estudiado en el marco de esta teoría, se suele utilizar el nombre de teoría dinámica del caos .

Ejemplos de tales sistemas son la atmósfera , los flujos turbulentos , algunos tipos de arritmias cardíacas , las poblaciones biológicas , la sociedad como sistema de comunicación y sus subsistemas: económico, político, psicológico (cultural-histórico e intercultural) y otros sistemas sociales. Su estudio, junto con el estudio analítico de las relaciones de recurrencia disponibles, suele ir acompañado de modelización matemática .

La teoría del caos es un campo de estudio que vincula las matemáticas y la física.

Información básica

La teoría del caos implica que los sistemas complejos dependen en gran medida de las condiciones iniciales y que pequeños cambios en el entorno pueden tener consecuencias impredecibles.

Los sistemas matemáticos con comportamiento caótico son deterministas, es decir, obedecen a alguna ley estricta y, en cierto sentido, están ordenados. Este uso de la palabra "caos" difiere de su significado habitual (ver caos en la mitología ). Un área separada de la física, la teoría del caos cuántico  , estudia los sistemas no deterministas que obedecen las leyes de la mecánica cuántica .

Los pioneros de la teoría son el físico y filósofo francés Henri Poincaré (demostró el teorema de la recurrencia ), los matemáticos soviéticos A. N. Kolmogorov y V. I. Arnold y el Yu.matemático alemán ). La teoría introduce el concepto de atractores (incluyendo atractores extraños como estructuras de Cantor atrayentes), órbitas estables de un sistema (las llamadas KAM-tori).

El concepto de caos

En el contexto cotidiano, la palabra " caos " significa "estar en un estado de desorden". En la teoría del caos, el adjetivo caótico se define con mayor precisión. Aunque no existe una definición matemática universal generalmente aceptada de caos, la definición comúnmente utilizada dice que un sistema dinámico que se clasifica como caótico debe tener las siguientes propiedades:

  1. Debe ser sensible a las condiciones iniciales.
  2. Debe tener la propiedad de mezcla topológica.
  3. Sus órbitas periódicas deben ser densas en todas partes.

Las condiciones matemáticas más precisas para el surgimiento del caos se ven así:

El sistema debe tener características no lineales, ser globalmente estable, pero tener al menos un punto de equilibrio inestable de tipo oscilatorio, mientras que la dimensión fractal del sistema debe ser de al menos 1,5.

Los sistemas lineales nunca son caóticos. Para que un sistema dinámico sea caótico, debe ser no lineal. Según el teorema de Poincaré-Bendixson , un sistema dinámico continuo en un plano no puede ser caótico. Entre los sistemas continuos, solo los sistemas espaciales no planos tienen un comportamiento caótico (se requieren al menos tres dimensiones o geometría no euclidiana ). Sin embargo, un sistema dinámico discreto en alguna etapa puede exhibir un comportamiento caótico incluso en un espacio unidimensional o bidimensional .

Sensibilidad a las condiciones iniciales

La sensibilidad a las condiciones iniciales en tal sistema significa que existe tal que para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades hay un punto y un número tal que . Es importante notar que la sensibilidad a las condiciones iniciales es diferente de la expansividad .

Por lo tanto, un cambio arbitrariamente pequeño en la trayectoria actual puede conducir a un cambio significativo en su comportamiento futuro. Se demuestra que las dos últimas propiedades en realidad implican sensibilidad a las condiciones iniciales (una definición alternativa más débil de caos usa solo las dos primeras propiedades de la lista anterior).

La sensibilidad a las condiciones iniciales se conoce más comúnmente como el " efecto mariposa ". El término surgió en relación con el artículo "Predicción: el aleteo de una mariposa en Brasil provocará un tornado en Texas", que Edward Lorenz presentó en 1972 a la "Asociación para el Avance de la Ciencia" estadounidense en Washington . El batir de las alas de la mariposa simboliza pequeños cambios en el estado inicial del sistema, que desencadenan una cadena de eventos que conducen a cambios a gran escala.

Mezcla topológica

La mezcla topológica en la dinámica del caos significa tal esquema de expansión del sistema que una de sus áreas en alguna etapa de expansión se superpone a cualquier otra área. El concepto matemático de "mezcla" como ejemplo de un sistema caótico corresponde a la mezcla de pinturas o líquidos multicolores.

Sutilezas de definición

En los escritos populares, la sensibilidad a las condiciones iniciales a menudo se confunde con el caos mismo. La línea es muy delgada, ya que depende de la elección de los indicadores de medición y la definición de distancias en una etapa particular del sistema. Por ejemplo, considere un sistema dinámico simple que duplica repetidamente los valores iniciales. Tal sistema tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales en todas partes, ya que dos puntos vecinos cualesquiera en la etapa inicial estarán posteriormente a una distancia considerable el uno del otro. Sin embargo, su comportamiento es trivial, ya que todos los puntos excepto el cero tienden a infinito , y esto no es una mezcla topológica. En la definición de caos, la atención suele limitarse únicamente a los sistemas cerrados en los que la expansión y la sensibilidad a las condiciones iniciales se combinan con la mezcla.

Incluso para sistemas cerrados, la sensibilidad a las condiciones iniciales no es idéntica al caos en el sentido descrito anteriormente. Por ejemplo, considere un toro dado por un par de ángulos ( x , y ) con valores de 0 a 2π . El mapeo de cualquier punto ( x , y ) se define como (2 x , y + a ) donde el valor a /2π es irracional . Duplicar la primera coordenada en la pantalla indica sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, debido al cambio irracional en la segunda coordenada, no hay órbitas periódicas  , por lo que el mapeo no es caótico según la definición anterior.

Un ejemplo de un sistema que no es sensible a las condiciones iniciales pero tiene la propiedad de mezcla topológica es la rotación del círculo unitario a través de un ángulo irracional .

Atractores

Atractor (del ingléstract - para  atraer  , atraer) - un conjunto de estados (más precisamente - puntos del espacio de fase ) de un sistema dinámico , al que tiende con el tiempo. Las variantes más simples del atractor son un punto fijo atractivo (por ejemplo, en el problema de un péndulo con fricción) y una trayectoria periódica (un ejemplo son las oscilaciones autoexcitadasencircuito de retroalimentación positiva), pero también hay mucho más complejas. ejemplos _

Algunos sistemas dinámicos son siempre caóticos, pero en la mayoría de los casos el comportamiento caótico se observa solo cuando los parámetros del sistema dinámico pertenecen a algún subespacio especial .

Los más interesantes son los casos de comportamiento caótico, cuando un gran conjunto de condiciones iniciales conduce a un cambio en las órbitas del atractor. Una manera fácil de demostrar un atractor caótico es comenzar desde un punto en la región de atracción del atractor y luego trazar su órbita posterior. Debido al estado de transitividad topológica , esto es similar a mapear la imagen de un atractor finito completo.

Por ejemplo, en un sistema que describe un péndulo , el espacio es bidimensional y consta de datos de posición y velocidad. Puede trazar las posiciones del péndulo y su velocidad. La posición del péndulo en reposo será un punto y un período de oscilación aparecerá en el gráfico como una curva cerrada simple . Un gráfico en forma de curva cerrada se llama órbita. El péndulo tiene un número infinito de tales órbitas, formando en apariencia una colección de elipses anidadas .

Atractores extraños

La mayoría de los tipos de movimiento se describen mediante atractores simples, que son ciclos acotados. El movimiento caótico se describe mediante atractores extraños, que son muy complejos y tienen muchos parámetros . Por ejemplo, un sistema meteorológico tridimensional simple es descrito por el famoso atractor de Lorenz, uno de los diagramas  más famosos de sistemas caóticos, no solo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos. Otro de estos atractores es el atractor de Rössler , que tiene un doble período , similar al mapa logístico .

A diferencia de los atractores de punto fijo y los ciclos límite, los atractores que surgen de sistemas caóticos conocidos como atractores extraños son de considerable detalle y complejidad. Los atractores extraños ocurren tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorentz) como en algunos sistemas discretos (como el mapa de Henault ). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repulsiva llamada conjunto de Julia , que se forma en el límite entre cuencas de atracción de puntos fijos. Los conjuntos de Julia pueden verse como extraños repelentes. Tanto los atractores extraños como los conjuntos de Julia tienen una estructura fractal recursiva típica.

El teorema de Poincaré-Bendixson demuestra que un atractor extraño puede surgir en un sistema dinámico continuo solo si tiene tres o más dimensiones . Sin embargo, esta limitación no funciona para sistemas dinámicos discretos. Los sistemas discretos bidimensionales e incluso unidimensionales pueden tener atractores extraños. El movimiento de tres o más cuerpos que experimentan atracción gravitacional bajo ciertas condiciones iniciales puede resultar un movimiento caótico.

Sistemas caóticos simples

Los sistemas simples sin ecuaciones diferenciales también pueden ser caóticos . Un ejemplo sería un mapeo logístico que describa el cambio en la población a lo largo del tiempo. El mapa logístico es un mapa polinomial de segundo grado y, a menudo, se da como un ejemplo típico de cómo puede surgir un comportamiento caótico a partir de ecuaciones dinámicas no lineales muy simples . Otro ejemplo es el modelo de Ricoeur , que también describe la dinámica de la población.

Un autómata celular  es un conjunto de células que forman un cierto retículo periódico con reglas de transición dadas. Un autómata celular es un sistema dinámico discreto cuyo comportamiento está completamente definido en términos de dependencias locales. La evolución de incluso sistemas discretos simples , como los autómatas celulares, puede depender en gran medida de las condiciones iniciales. Este tema se trata en detalle en las obras de Stephen Wolfram .

Un modelo simple de comportamiento caótico conservador (reversible) se demuestra mediante el llamado mapeo del " gato de Arnold " . En matemáticas, la pantalla del "gato de Arnold" es un modelo de toro que demostró en 1960 usando la imagen de un gato.

Incluso una pantalla unidimensional puede mostrar caos para los valores de los parámetros correspondientes, pero se requieren tres o más dimensiones para una ecuación diferencial . El teorema de Poincaré-Bendixson establece que una ecuación diferencial bidimensional tiene un comportamiento muy estable. Los sistemas cuadráticos tridimensionales con solo tres o cuatro variables no pueden exhibir un comportamiento caótico [1] [2] . La razón es que las soluciones de tales sistemas son asintóticas con respecto a planos bidimensionales y por lo tanto son soluciones estables.

El circuito de Chua es uno de los circuitos eléctricos más simples que genera oscilaciones caóticas.

Teoría matemática

El teorema de Sharkovsky  es la base de la prueba de Li y Yorke (1975) de que un sistema unidimensional con un período de ciclo triple regular puede mapear ciclos regulares de cualquier otra longitud, así como órbitas completamente caóticas . Los matemáticos han inventado muchas formas adicionales de describir los sistemas caóticos en términos cuantitativos. Estos incluyen: la dimensión recursiva del atractor , el exponente de Lyapunov , gráficos de la relación de recurrencia , el mapa de Poincaré , diagramas de duplicación y el operador de cambio .

Cronología

El primer investigador del caos fue Henri Poincaré . En la década de 1880, mientras estudiaba el comportamiento de un sistema con tres cuerpos interactuando gravitacionalmente, notó que puede haber órbitas no periódicas que constantemente no se alejan ni se acercan a un punto en particular. En 1898, Jacques Hadamard publicó un artículo influyente sobre el movimiento caótico de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre una superficie de curvatura negativa constante. En su trabajo "Hadamard billar" demostró que todas las trayectorias son inestables y que las partículas en ellas se desvían entre sí con un exponente Lyapunov positivo .

Casi toda la teoría anterior, llamada teoría ergódica , fue desarrollada solo por matemáticos. Las ecuaciones diferenciales no lineales posteriores fueron estudiadas por Birghoff , A. Kolmogorov , M. Karetnik, J. Littlewood y Steven Smale. Además de Smale, todos se inspiraron en la física para estudiar el caos: el comportamiento de tres cuerpos en el caso de Birghoff, la turbulencia y la investigación astronómica en el caso de Kolmogorov, la ingeniería de radio en el caso de Karetnik y Littlewood. Aunque no se ha estudiado el movimiento planetario caótico, los experimentadores han encontrado turbulencia en el flujo de fluidos y oscilaciones no periódicas en los circuitos de radio sin suficiente teoría para explicarlo.

A pesar de los intentos de comprender el caos en la primera mitad del siglo XX, la teoría del caos como tal comenzó a tomar forma solo a partir de mediados de siglo. Entonces se hizo evidente para algunos científicos que la teoría lineal que prevalecía en ese momento simplemente no podía explicar algunos de los experimentos observados como un mapeo logístico. Para excluir imprecisiones en el estudio de antemano, el simple "ruido" en la teoría del caos se consideró un componente completo del sistema en estudio.

El principal catalizador para el desarrollo de la teoría del caos fue la computadora electrónica . Gran parte de las matemáticas en la teoría del caos es la iteración de fórmulas matemáticas simples que son laboriosas de hacer a mano. Las computadoras electrónicas hicieron tales cálculos repetidos con la suficiente rapidez, mientras que los dibujos y las imágenes hicieron posible visualizar estos sistemas.

Uno de los pioneros en la teoría del caos fue Edward Lorenz , cuyo interés por el caos surgió por accidente mientras trabajaba en la predicción meteorológica en 1961. Modelado del clima que Lorenz realizó en una computadora digital simple McBee LGP-30. Cuando quiso ver la secuencia completa de datos, para ahorrar tiempo, inició la simulación desde la mitad del proceso, ingresando los datos de la impresión que calculó la última vez. Para su sorpresa, el clima que la máquina comenzó a predecir era completamente diferente del clima que había calculado antes. Lorenz se volvió hacia la copia impresa de la computadora. La computadora tenía una precisión de 6 dígitos, pero la impresión redondeó las variables a 3 dígitos, por ejemplo, el valor 0,506127 se imprimió como 0,506. Esta pequeña diferencia no debería haber tenido prácticamente ningún efecto. Sin embargo, Lorentz descubrió que el más mínimo cambio en las condiciones iniciales provoca un gran cambio en el resultado. El descubrimiento recibió el nombre de Lorenz y demostró que la meteorología no puede predecir con precisión el tiempo durante más de una semana.

Un año antes, Benoit Mandelbrot encontró patrones repetitivos en cada conjunto de datos de precios del algodón. Estudió la teoría de la información y concluyó que el patrón de interferencia era como un conjunto de regentes [ término desconocido ] : a cualquier escala, la proporción de períodos con interferencia a períodos sin ellos era constante  , por lo que los errores son inevitables y deben planificarse. Mandelbrot describió dos fenómenos: el "efecto Noah", que ocurre cuando hay cambios repentinos e intermitentes, como cambios de precios después de malas noticias, y el " efecto Joseph ", en el que los valores son constantes por un tiempo pero luego cambian repentinamente. En 1967 publicó ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Estadísticas de similitud y diferencia en las mediciones, lo que demuestra que los datos de longitud de la costa varían con la escala del instrumento de medición. Argumentó que una bola de cuerda parece ser un punto cuando se ve desde lejos (espacio de dimensión 0), también es una bola cuando se ve lo suficientemente cerca (espacio tridimensional) o puede aparecer como una línea curva cerrada desde arriba. (espacio unidimensional). Demostró que las medidas de un objeto son siempre relativas y dependen del punto de observación.

Un objeto cuyas imágenes son constantes a diferentes escalas ("autosimilitud") es un fractal (por ejemplo , la curva de Koch o "copo de nieve"). En 1975, Mandelbrot publicó La geometría fractal de la naturaleza, que se convirtió en la teoría clásica del caos. Algunos sistemas biológicos, como el sistema circulatorio y el sistema bronquial, se ajustan a la descripción del modelo fractal.

Muchos experimentadores observaron el fenómeno del caos incluso antes de que comenzaran a estudiarlo. Por ejemplo, en 1927 Van der Pol , y en 1958 P. Yves. El 27 de noviembre de 1961, Y. Ueda, siendo estudiante de posgrado en el laboratorio de la Universidad de Kyoto, notó cierto patrón y lo llamó "fenómeno de transformación aleatoria" cuando experimentaba con computadoras analógicas. Sin embargo, su supervisor no estuvo de acuerdo con sus conclusiones y no le permitió presentar sus hallazgos al público hasta 1970.

En diciembre de 1977, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó el primer simposio de teoría del caos al que asistieron David Ruell, Robert May, James A. York, Robert Shaw , Y. Dayan Farmer, Norman Packard y el meteorólogo Edward Lorentz .

Al año siguiente, Mitchell Feigenbaum publicó Quantitative Universality for Nonlinear Transformations, donde describía los mapeos logísticos. M. Feigenbaum aplicó la geometría recursiva al estudio de formas naturales como las costas. La peculiaridad de su trabajo es que estableció la universalidad en el caos y aplicó la teoría del caos a muchos fenómenos.

En 1979, Albert J. Liebcheybr en un simposio en Aspen presentó sus observaciones experimentales de la cascada de bifurcación que conduce al caos. Fue galardonado con el Premio Wolf de Física junto con Mitchell J. Feigenbaum en 1986 "por su brillante demostración experimental de transiciones al caos en sistemas dinámicos ".

También en 1986, la Academia de Ciencias de Nueva York, junto con el Instituto Nacional del Cerebro y el Centro de Investigación Naval, organizaron la primera conferencia importante sobre el caos en biología y medicina. Allí, Bernardo Uberman demostró un modelo matemático del ojo y sus trastornos de la motilidad entre los esquizofrénicos . Esto condujo a la aplicación generalizada de la teoría del caos en fisiología en la década de 1980, como en el estudio de la patología de los ciclos cardíacos .

En 1987, Per Bak, Chao Tan y Kurt Wiesenfeld publicaron un artículo en un periódico donde describían por primera vez el sistema de autosuficiencia (SS), que es uno de los mecanismos de la naturaleza. Gran parte de la investigación entonces se centró en sistemas sociales o naturales a gran escala. CC se ha convertido en un fuerte contendiente para explicar una variedad de fenómenos naturales, incluidos terremotos, ráfagas solares, fluctuaciones en los sistemas económicos, formación de paisajes, incendios forestales, deslizamientos de tierra, epidemias y evolución biológica .

Dada la distribución errática y libre de escala de las ocurrencias, no sorprende que algunos investigadores hayan sugerido que la ocurrencia de guerras sea considerada como un ejemplo de CC. Estos estudios "aplicados" incluyeron dos intentos de modelado: el desarrollo de nuevos modelos y la adaptación de los existentes a un sistema natural dado.

En el mismo año, James Gleick publicó Chaos: The Creation of a New Science, que se convirtió en un éxito de ventas y presentó al público en general los principios generales de la teoría del caos y su cronología. La teoría del caos se ha desarrollado progresivamente como una disciplina interdisciplinaria y universitaria, principalmente bajo el nombre de "análisis de sistemas no lineales". Basándose en el concepto de cambio de paradigma de Thomas Kuhn , muchos "científicos caóticos" (como se autodenominan) han argumentado que esta nueva teoría es un ejemplo de un cambio.

La disponibilidad de computadoras más baratas y potentes amplía las aplicaciones de la teoría del caos. En la actualidad, la teoría del caos continúa siendo un área de investigación muy activa, involucrando a muchas disciplinas diferentes (matemáticas, topología , física, biología, meteorología, astrofísica, teoría de la información, etc.).

Aplicación

La teoría del caos se aplica en muchas disciplinas científicas: matemáticas, biología, informática, economía, ingeniería, finanzas, filosofía, física, política, psicología y robótica.

En el laboratorio, se puede observar el comportamiento caótico en diferentes sistemas, como circuitos eléctricos , láseres , reacciones químicas, dinámica de fluidos y dispositivos magnetomecánicos. En la naturaleza se observa un comportamiento caótico en el movimiento de los satélites del sistema solar , la evolución del campo magnético de los cuerpos astronómicos, el crecimiento de la población en ecología, la dinámica de potenciales en las neuronas y las oscilaciones moleculares . Hay motivos sustanciales para creer en la existencia de la dinámica del caos en la tectónica de placas y en la economía.

Una de las aplicaciones más exitosas de la teoría del caos ha sido en ecología, cuando se utilizaron sistemas dinámicos similares al modelo de Ricoeur para mostrar el crecimiento de la población en función de la densidad de población.

Actualmente, la teoría del caos también se utiliza en medicina en el estudio de la epilepsia para predecir las convulsiones, dado el estado inicial del cuerpo.

Un campo similar de la física llamado teoría del caos cuántico explora la relación entre el caos y la mecánica cuántica . Recientemente, ha surgido un nuevo campo, llamado el caos de la relatividad, para describir sistemas que evolucionan de acuerdo con las leyes de la relatividad general .

Diferencias entre datos aleatorios y caóticos

Es difícil decir solo a partir de los datos iniciales si el proceso observado es aleatorio o caótico, porque prácticamente no hay una "señal" clara de diferencia. Siempre habrá alguna interferencia, incluso si se redondea o se deja de lado. Esto significa que cualquier sistema, incluso si es determinista, contendrá algo de aleatoriedad.

Para distinguir un proceso determinista de uno estocástico, uno debe saber que un sistema determinista siempre evoluciona a lo largo del mismo camino desde un punto de partida dado. Por lo tanto, para verificar el determinismo del proceso , debe:

  1. Seleccione el estado a probar.
  2. Encuentra varios estados similares o casi similares.
  3. Comparar su desarrollo en el tiempo.

El error se define como la diferencia entre los cambios en el estado probado y el estado similar. Un sistema determinista tendrá muy poco error (un resultado estable y constante) o aumentará exponencialmente con el tiempo (caos). Un sistema estocástico tendrá un error distribuido aleatoriamente.

Esencialmente, todos los métodos para determinar el determinismo se basan en encontrar los estados más cercanos a un caso de prueba dado (es decir, medir la correlación , el exponente de Lyapunov, etc.). Para determinar el estado de un sistema, generalmente se confía en métodos espaciales para determinar la etapa de desarrollo. El investigador elige un rango de medición e investiga la evolución del error entre dos estados cercanos. Si parece aleatorio, debe aumentar el rango para obtener un error determinista. Parece que esto es fácil de hacer, pero en realidad no lo es. En primer lugar, la dificultad radica en que, a medida que aumenta el rango de medida, la búsqueda de un estado cercano requiere mucho más tiempo de cálculo para encontrar un candidato adecuado. Si el rango de medición se elige demasiado pequeño, entonces los datos deterministas pueden parecer aleatorios, pero si el rango es demasiado grande, esto no sucederá; el método funcionará.

Cuando la interferencia externa interfiere con un sistema determinista no lineal, su trayectoria se distorsiona constantemente. Además, los efectos de interferencia se amplifican debido a la no linealidad y el sistema exhibe propiedades dinámicas completamente nuevas. Las pruebas estadísticas que intentaron separar o aislar la interferencia de una base determinista fallaron. Cuando hay una interacción entre los componentes deterministas no lineales y el ruido, hay una dinámica que las pruebas tradicionales de no linealidad a veces no pueden capturar.

Véase también

Notas

  1. ↑ Zhang Fu; Jack Heidel. Comportamiento no caótico en sistemas cuadráticos tridimensionales  (inglés)  // No linealidad: revista. - 1997. - vol. 10 , núm. 5 . - P. 1289-1303 . -doi : 10.1088 / 0951-7715/10/5/014 . — .
  2. ↑ JackHeidel; Zhang Fu. Comportamiento no caótico en sistemas cuadráticos tridimensionales II. El caso conservador  (inglés)  // No linealidad: revista. - 1999. - vol. 12 , núm. 3 . - Pág. 617-633 . -doi : 10.1088 / 0951-7715/12/3/012 . - .

Literatura

Enlaces

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