Vector (geometría)

Un vector es un segmento dirigido de una línea recta, es decir, un segmento para el cual se indica cuál de sus puntos límite es el comienzo y cuál es el final [1] .

Un vector que comienza en un punto y termina en un punto generalmente se denota como . Los vectores también se pueden indicar con letras latinas pequeñas con una flecha (a veces un guión) encima de ellas, por ejemplo . Otra notación común es escribir el carácter vectorial en negrita simple: . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\ vec {a}}$ ${\ matemáticas {a}}$

Un vector en geometría está naturalmente asociado con una transferencia (transferencia paralela ), lo que obviamente aclara el origen de su nombre ( lat. vector , portador ). Entonces, cada segmento dirigido define de manera única algún tipo de traslación paralela del plano o espacio: digamos, el vector determina naturalmente la traslación, en la que el punto va al punto , y viceversa, la traslación paralela, en la que va a , define un solo segmento dirigido (el único - si consideramos iguales todos los segmentos dirigidos de la misma dirección y longitud - es decir, considérelos como vectores libres ; de hecho, con la transferencia paralela, todos los puntos se desplazan en la misma dirección la misma distancia , entonces en este sentido ). $\overrightarrow {AB}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\puntos$

La interpretación de un vector como traslación nos permite introducir la operación de suma de vectores de forma natural e intuitivamente obvia - como una composición (aplicación sucesiva) de dos (o varias) traslaciones; lo mismo se aplica a la operación de multiplicar un vector por un número.

Conceptos básicos

Un vector es un segmento dirigido construido a partir de dos puntos, uno de los cuales se considera el principio y el otro el final.

Las coordenadas del vector se definen como la diferencia entre las coordenadas de sus puntos final e inicial. Por ejemplo, en el plano de coordenadas, si se dan las coordenadas de inicio y final: y , entonces las coordenadas del vector serán: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

La longitud de un vector es la distancia entre dos puntos y generalmente se denota ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

El papel del cero entre los vectores lo juega el vector cero , cuyo principio y fin coinciden ; a él, a diferencia de otros vectores, no se le asigna ninguna dirección [2] . ${\ estilo de visualización T_{1}=T_{2}}$

Para la representación de coordenadas de vectores, el concepto de la proyección de un vector sobre un eje (línea dirigida, ver figura) es de gran importancia . La proyección es la longitud del segmento formado por las proyecciones de los puntos de inicio y final del vector sobre una recta dada, y se le asigna un signo más a la proyección si la dirección de la proyección corresponde a la dirección del eje , de lo contrario, un signo menos. La proyección es igual a la longitud del vector original multiplicada por el coseno del ángulo entre el vector original y el eje; la proyección del vector sobre el eje perpendicular a él es igual a cero.

Aplicaciones

Los vectores son muy utilizados en geometría y ciencias aplicadas, donde se utilizan para representar cantidades que tienen dirección (fuerzas, velocidades, etc.). El uso de vectores simplifica una serie de operaciones, por ejemplo, determinar los ángulos entre líneas rectas o segmentos, calcular las áreas de las figuras . En gráficos por computadora, los vectores normales se utilizan para crear la iluminación correcta para un cuerpo. El uso de vectores puede ser la base del método de coordenadas .

Tipos de vectores

A veces, en lugar de considerar como vectores el conjunto de todos los segmentos dirigidos (considerando diferentes todos los segmentos dirigidos cuyos comienzos y finales no coinciden), se toma sólo alguna modificación de este conjunto ( conjunto factorial ), es decir, se consideran algunos segmentos dirigidos iguales si tienen la misma dirección y longitud, aunque pueden tener diferente comienzo (y fin), es decir, los segmentos dirigidos de la misma longitud y dirección se consideran que representan el mismo vector; así, cada vector resulta corresponder a toda una clase de segmentos dirigidos, idénticos en longitud y dirección, pero diferentes en su comienzo (y fin).

Entonces, hablan de vectores "libres" , "deslizantes" y "fijos" . Estos tipos difieren en el concepto de igualdad de dos vectores.

Hablando de vectores libres, se identifican todos los vectores que tienen la misma dirección y longitud;
hablando de vectores deslizantes, añaden que los comienzos de vectores deslizantes iguales deben coincidir o estar en la misma recta, en la que están los segmentos dirigidos que representan estos vectores (para que uno pueda combinarse con otro desplazamiento en la dirección que él mismo establece). );
hablando de vectores fijos, dicen que solo los vectores que tienen la misma dirección y origen se consideran iguales (es decir, en este caso no hay factorización: no hay dos vectores fijos con orígenes diferentes que se consideren iguales).

Formalmente:

Dicen que los vectores libres y son iguales si hay puntos y que los cuadriláteros y los paralelogramos . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $mi$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

Los vectores deslizantes y se dice que son iguales si $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

los puntos estan en la misma linea $A B C D$
vectores y son iguales entre sí como vectores libres. $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

Los vectores deslizantes son especialmente útiles en mecánica . El ejemplo más simple de un vector deslizante en mecánica es una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Transferir el origen del vector de fuerza a lo largo de la línea recta en la que se encuentra no cambia el momento de la fuerza con respecto a ningún punto; transferirlo a otra recta, aunque no cambies la magnitud y la dirección del vector, puede provocar un cambio en su momento (incluso casi siempre lo hará): por lo tanto, al calcular el momento, no puedes considerar la fuerza como una fuerza libre vector, es decir, no se puede considerar aplicado a un punto arbitrario de un cuerpo sólido.

Decimos que los vectores fijos y son iguales si los puntos e y y coinciden en pares . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $A$ $C$ $B$ $D$

En un caso, un segmento dirigido se llama vector, y en otros casos, diferentes vectores son diferentes clases de equivalencia de segmentos dirigidos, definidos por alguna relación de equivalencia específica . Además, la relación de equivalencia puede ser diferente, determinando el tipo de vector (“libre”, “fijo”, etc.). En pocas palabras, dentro de una clase de equivalencia, todos los segmentos dirigidos incluidos en ella se tratan como perfectamente iguales, y cada uno puede representar igualmente a toda la clase.

Todas las operaciones sobre vectores (suma, multiplicación por un número, productos escalares y vectoriales, cálculo del módulo o longitud, ángulo entre vectores, etc.) se definen en principio de la misma manera para todos los tipos de vectores, la diferencia de tipos se reduce en este respecto sólo al de los vectores deslizantes y fijos, se impone una restricción a la posibilidad de realizar operaciones entre dos vectores que tienen orígenes diferentes (por ejemplo, para dos vectores fijos, la suma está prohibida -o sin sentido- si sus comienzos difieren; sin embargo , para todos los casos en que esta operación esté permitida - o tenga el mismo significado que para los vectores libres). Por lo tanto, a menudo el tipo de un vector no se indica explícitamente en absoluto, se supone que es obvio por el contexto. Además, un mismo vector, dependiendo del contexto del problema, puede considerarse fijo, deslizante o libre, por ejemplo, en mecánica, los vectores de fuerzas aplicadas a un cuerpo pueden sumarse independientemente del punto de aplicación al encontrar el resultantes en el estudio del movimiento del centro de masas, cambios de momento, etc.), pero no pueden sumarse sin tener en cuenta los puntos de aplicación en el cálculo del par (también en estática y dinámica).

Relaciones entre vectores

Dos vectores se llaman colineales si se encuentran en rectas paralelas o en la misma recta. Se dice que dos vectores son codireccionales si son colineales y apuntan en la misma dirección y opuestos si son colineales y apuntan en direcciones diferentes. Hay otra definición: dos vectores distintos de cero y se llaman colineales si existe un número tal que [3] Tres vectores se llaman coplanares si, reducidos a un origen común, se encuentran en el mismo plano [3] . ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ $\alfa$ ${\vec {a}}=\alfa {\vec {b}}$

Representación de coordenadas

Cuando se trabaja con vectores, a menudo se introduce un determinado sistema de coordenadas cartesianas y en él se determinan las coordenadas del vector, descomponiéndolo en vectores base . La expansión en términos de la base se puede representar geométricamente usando proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas. Si se conocen las coordenadas del principio y el final del vector, las coordenadas del vector mismo se obtienen restando las coordenadas de su principio de las coordenadas del final del vector.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Como base, a menudo se eligen vectores de coordenadas , denotados , respectivamente, por los ejes . Entonces el vector se puede escribir como ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x, y, z$ ${\ vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Cualquier propiedad geométrica se puede escribir en coordenadas, después de lo cual el estudio de lo geométrico se vuelve algebraico y, al mismo tiempo, a menudo se simplifica. Lo contrario, en términos generales, no es del todo cierto: se suele decir [4] que sólo aquellas relaciones que se cumplen en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ( invariantes ) tienen una “interpretación geométrica”.

Operaciones sobre vectores

Módulo vectorial

El módulo de un vector es un número igual a la longitud del segmento . Designado como . Para un vector tridimensional en un sistema de coordenadas cartesianas, se puede calcular como: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\overrightarrow {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Suma de vectores

En la representación de coordenadas, el vector suma se obtiene sumando las coordenadas correspondientes de los términos:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Se utilizan varias reglas (métodos) para construir geométricamente el vector de suma , pero todas dan el mismo resultado. El uso de esta o aquella regla está justificado por el problema que se está resolviendo. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Regla del Triángulo

La regla del triángulo se sigue más naturalmente al entender un vector como una traslación. Es claro que el resultado de la aplicación sucesiva de dos transferencias y algún punto será el mismo que el de la aplicación de una transferencia a la vez correspondiente a esta regla. Para sumar dos vectores y según la regla del triángulo , estos dos vectores se trasladan paralelos entre sí de forma que el principio de uno de ellos coincida con el final del otro. Entonces el vector suma viene dado por el tercer lado del triángulo formado, y su comienzo coincide con el comienzo del primer vector, y el final con el final del segundo vector. ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\vec{a}}+{\vec{b}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

Esta regla se generaliza directa y naturalmente a la suma de cualquier número de vectores, convirtiéndose en la regla de la línea quebrada :

Regla de tres puntos

Si un segmento representa un vector y un segmento representa un vector , entonces el segmento representa un vector . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec{a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\ estilo de visualización {\ vec {b))}$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec{a}}+{\vec{b}}$

Regla poligonal

El comienzo del segundo vector coincide con el final del primero, el comienzo del tercero - con el final del segundo, y así sucesivamente, la suma de los vectores es un vector, con el comienzo coincidiendo con el comienzo del primero y el final coincidiendo con el final de la -ésima (es decir, está representado por un segmento dirigido que cierra la línea discontinua). También llamada regla de la línea quebrada. $norte$ $norte$

Regla del paralelogramo

Para sumar dos vectores y según la regla del paralelogramo , ambos vectores se trasladan paralelos a sí mismos para que sus orígenes coincidan. Entonces el vector suma viene dado por la diagonal del paralelogramo construido sobre ellos, procedente de su origen común. (Es fácil ver que esta diagonal es igual al tercer lado del triángulo cuando se usa la regla del triángulo). ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

La regla del paralelogramo es especialmente conveniente cuando existe la necesidad de representar el vector suma unido inmediatamente al mismo punto al que están unidos ambos términos, es decir, representar los tres vectores que tienen un origen común.

El módulo de la suma de dos vectores se puede calcular usando el teorema del coseno :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, donde es el coseno del ángulo entre los vectores y .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\ vec {a}}

{\ vec {b}}

Si los vectores se dibujan de acuerdo con la regla del triángulo y se toma un ángulo de acuerdo con la figura - entre los lados del triángulo - que no coincide con la definición habitual del ángulo entre vectores, y por lo tanto con el ángulo en el anterior fórmula, entonces el último término adquiere un signo menos, que corresponde al teorema del coseno en su redacción directa.

Para la suma de un número arbitrario de vectores , se aplica una fórmula similar, en la que hay más términos con coseno: existe uno de esos términos para cada par de vectores del conjunto sumado. Por ejemplo, para tres vectores, la fórmula se ve así:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Resta de vectores

Para obtener la diferencia en forma de coordenadas, resta las coordenadas correspondientes de los vectores:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

Para obtener un vector diferencia , se conectan los comienzos de los vectores y el comienzo del vector será el final de y el final será el final de . Si se escribe usando puntos de vectores, entonces . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\ vec {c}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Módulo de diferencia de vectores

Tres vectores , como además, forman un triángulo, y la expresión para el módulo de diferencia es similar: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

donde es el coseno del ángulo entre los vectores y $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}).$

La diferencia de la fórmula del módulo de suma en el signo delante del coseno, mientras que es necesario controlar cuidadosamente qué ángulo se toma (la variante de la fórmula del módulo de suma con el ángulo entre los lados del triángulo, cuando se suma de acuerdo con el regla del triángulo, no difiere en apariencia de esta fórmula para el módulo de diferencia, pero debes tener en cuenta que aquí se toman ángulos diferentes: en el caso de la suma, el ángulo se toma cuando el vector se traslada al final del vector , cuando se busca el módulo de la diferencia, se toma el ángulo entre los vectores unidos a un punto; la expresión para el módulo de la suma usando el mismo ángulo que en la expresión dada para el módulo de la diferencia, difiere por el signo delante del coseno). ${\ vec {b}}$ ${\ vec {a}}$

Multiplicar un vector por un número

Multiplicar un vector por un número da un vector codireccional con una longitud que es veces más larga. Multiplicar un vector por un número da un vector de dirección opuesta con una longitud que es veces mayor. La multiplicación de un vector por un número en forma de coordenadas se realiza multiplicando todas las coordenadas por ese número: ${\ vec {a}}$ $\alfa >0$ $\alfa$
${\ vec {a}}$ $\alfa<0$ $|\alfa |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

En base a la definición, se obtiene una expresión para el módulo del vector multiplicado por un número:

|\alfa {\vec {a}}|=|\alfa ||{\vec {a}}|

Al igual que con los números, las operaciones de sumar un vector a sí mismo se pueden escribir como una multiplicación por un número:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

Y la resta de vectores se puede reescribir mediante la suma y la multiplicación:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Basado en el hecho de que la multiplicación por no cambia la longitud del vector, sino que solo cambia la dirección, y dada la definición del vector, obtenemos: $-una$

-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}

Producto escalar de vectores

Para vectores geométricos, el producto escalar se define a través de sus características geométricas y se introduce de la siguiente manera:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Aquí, para calcular el coseno, se toma el ángulo entre los vectores, que se define como la magnitud del ángulo que forman los vectores, si los aplicas en un punto (combinas sus inicios).

Esta expresión se puede reescribir en términos de coordenadas (aquí, la fórmula para el espacio tridimensional):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

El cuadrado escalar de un vector es su producto escalar consigo mismo y se puede calcular a través del módulo del vector:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Producto vectorial de vectores

Un vector producto de dos vectores y es un vector que es ortogonal al plano de los vectores y , su longitud es igual al área del paralelogramo formado por los vectores, y la dirección está determinada por la regla de la mano derecha . ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

Producto mixto de vectores

El producto mixto de tres vectores es un número definido de la siguiente manera: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c }})

El módulo de este valor da el volumen del paralelepípedo construido sobre vectores . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Véase también

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. ¿Qué es un vector? // Cuántico . - 1976. - Nº 4 . - S. 2-5 . (Ruso)
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Notas

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometría grados 7-9. - Moscú: Educación, 2010. - 384 p. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. - Moscú: Astrel, 2006. - 991 p. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Esta declaración es obviamente hasta cierto punto condicional, ya que un sistema de coordenadas fijo particular, si se desea, puede incluirse explícitamente en el número de objetos para los cuales se establecen relaciones, y luego las declaraciones algebraicas para este sistema de coordenadas particular fijo pueden reformularse de modo que que son invariantes bajo registros en cualquier otro sistema de coordenadas arbitrario.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro