Figura ocho (teoría del nudo)
| Ocho | |
|---|---|
| Notación | |
| Conway | [22] |
| Alexander-Briggs | 4 1 |
| Dowker | 4, 6, 8, 2 |
| polinomios | |
| Alejandro | |
| jones | |
| Conway | |
| invariantes | |
| Arfa invariante | una |
| Longitud de la trenza | cuatro |
| Número de hilos | 3 |
| Número de puentes | 2 |
| Número de películas | 2 |
| Número de intersecciones | cuatro |
| Género | una |
| Volumen hiperbólico | 2.02988 |
| Número de segmentos | 7 |
| Desatar numero | una |
| Propiedades | |
| Simple , hiperbólica , alterna , completamente anfiquiral , estratificada , torcida | |
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En la teoría de nudos, la figura de ocho ( nudo cuádruple o nudo Listing ) es el único nudo con cuatro intersecciones . Este es el menor número de intersecciones posibles, a excepción del nudo trivial y el trébol . La figura ocho es un nudo simple . Considerado por primera vez por Listing en 1847 .
Origen del nombre
El nombre proviene de la figura doméstica -de- ocho nudos en una cuerda cuyos extremos están conectados.
Descripción
Una representación paramétrica simple del nudo en forma de ocho está dada por un conjunto de puntos ( x , y , z ) para los cuales
donde t es una variable real.
La figura ocho es un nodo simple , alterno , racional con un valor correspondiente de 5/2. También es un nodo aquiral . La figura ocho es un nudo en capas . Esto se sigue de otra representación menos simple (pero más interesante) de un nodo:
- El nudo es una trenza cerrada homogénea [1] (es decir, el cierre de una trenza con 3 hebras σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), y el teorema de John Stallings muestra que cualquier trenza homogénea está fibrosa .
- El nudo es un vínculo en (0,0,0,0), un punto crítico aislado de una aplicación polinomial real F : R 4 → R 2 , de modo que (según el teorema de John Milnor ) la aplicación de Milnor F es un paquete. Bernard Perron encontró la primera función F de este tipo para este nodo, a saber:
dónde
.
Propiedades
El nudo en forma de ocho desempeñó un papel históricamente importante (y continúa desempeñándolo) en la teoría de las 3 variedades . En algún momento a mediados de la década de 1970, William Thurston demostró que la figura en ocho era un nudo hiperbólico al descomponer su complemento en dos tetraedros hiperbólicos perfectos (Robert Riley y Troels Jørgensen, trabajando de forma independiente, habían demostrado previamente que la figura en ocho era hiperbólica en otro sentido). Esta construcción, nueva en ese momento, lo llevó a muchos resultados y métodos poderosos. Por ejemplo, pudo demostrar que todas menos diez de las cirugías de Dehn en el nudo en forma de ocho producen variedades de 3 no-Hacken indescomponibles que no admiten una fibración de Seifert . Este fue el primer resultado de este tipo. Muchos otros fueron descubiertos al generalizar la construcción de Thurston a otros nudos y eslabones.
El ocho es también un nudo hiperbólico con el menor volumen posible de 2.029 88…, según el trabajo de Cho Chun y Robert Meyerhoff. Desde este punto de vista, el ocho puede considerarse como el nudo hiperbólico más simple. El complemento G-8 es una doble cubierta de la variedad Gieseking , que tiene el volumen más pequeño entre las tres variedades hiperbólicas no compactas.
El nudo en forma de ocho y el nudo de encaje (−2,3,7) son dos nudos hiperbólicos para los que se conocen más de seis cirugías especiales , las cirugías de Dehn, que conducen a 3 variedades no hiperbólicas. Tienen 10 y 7 respectivamente. El teorema de Lackenby y Meyerhof, cuya demostración se basa en el teorema de geometrización y el uso de cálculos informáticos , establece que 10 es el número máximo posible de cirugías singulares para cualquier nudo hiperbólico. Sin embargo, aún no se ha establecido si el ocho es el único nodo en el que se alcanza el límite 10. Una conocida conjetura afirma que el límite inferior (excepto los dos nodos mencionados) es 6.
La figura ocho forma una singularidad en el factor de espacio euclidiano por la acción de P2₁3 . Además, la figura del ocho es el único nodo que forma una singularidad en el factor de espacio euclidiano sobre los grupos cristalográficos.
Invariantes
El polinomio de Alexander de ocho es
[2]
La simetría con respecto a y en el polinomio de Jones refleja la aquiralidad de la figura ocho.
Notas
- ↑ Una trenza se llama homogénea si algún generador es siempre positivo o siempre negativo.
- ↑ 4_1 Archivado el 9 de febrero de 2006 en Wayback Machine Knot Atlas .
Literatura
- Ian Agol. Límites en un relleno excepcional de Dehn // Geometría y topología . - 2000. - T. 4 . — S. 431–449 . SEÑOR : 1799796
- Chun Cao, Robert Meyerhof. Las 3-variedades hiperbólicas con cúspides orientables de volumen mínimo // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , núm. 3 . SEÑOR : 1869847
- Marc Lackenby. Palabra cirugía hiperbólica de Dehn // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , núm. 2 . — Pág. 243–282 . SEÑOR : 1756996
- El número máximo de cirugías Dehn excepcionales. -arXiv : 0808.1176 . _
- Robión Kirby. Problemas en topología de baja dimensión. (ver problema 1.77, debido a Cameron Gordon , para pendientes excepcionales)
- Guillermo Thurston. La geometría y topología de tres variedades. - Notas de conferencias de la Universidad de Princeton (1978–1981).
Enlaces
- 4_1 Archivado el 9 de febrero de 2006 en Wayback Machine Knot Atlas .
- Weisstein, Eric W. Nudo de figura ocho en Wolfram MathWorld .