Polinomio de Alejandro

El polinomio de Alexander es un nudo invariante que asigna un polinomio con coeficientes enteros a un nudo de cualquier tipo. James Alexander lo descubrió, el primer polinomio de nudos , en 1923. En 1969, John Conway introdujo una versión de este polinomio, ahora llamado polinomio de Alexander-Conway . Este polinomio se puede calcular usando la relación de madeja , aunque la importancia de esto no se reconoció hasta el descubrimiento del polinomio de Jones en 1984. Poco después del refinamiento del polinomio de Alexander por parte de Conway, quedó claro que había una relación de madeja similar en el artículo de Alexander para su polinomio [1] .

Definición

Sea K un nudo en una 3 esferas . Sea X un cubrimiento cíclico infinito del complemento del nodo K . Esta cobertura se puede obtener cortando el complemento del nudo a lo largo de la superficie de Seifert del nudo K y pegando un número infinito de copias de la variedad resultante al límite. Hay una transformación de cobertura t que actúa sobre X . Denote el primer grupo de homología de enteros X como . La transformación t actúa sobre este grupo, por lo que podemos pensar en ella como un módulo de . Se llama invariante de Alexander o módulo de Alexander . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\matemáticas {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Este módulo es, por supuesto, generado. La matriz de presentación de este módulo se denomina matriz de Alexander . Si el número de generadores r es menor o igual que el número de relaciones s, entonces considere el ideal generado por los menores de la matriz de Alexander de orden r . Este es el ideal nulo de Fitting , o el ideal de Alexander , y no depende de la elección de la matriz de presentación. Si r > s , igualamos el ideal a 0. Si el ideal de Alexander es principal , entonces el elemento generador de este ideal se llama polinomio de Alexander del nodo dado. Dado que el generador se puede elegir de forma única hasta la multiplicación por el monomio de Laurent , a menudo conduce a una determinada forma única. Alexander eligió una normalización en la que el polinomio tiene un término constante positivo. $\pm t^{n}$

Alexander demostró que el ideal de Alexander es distinto de cero y siempre principal. Por lo tanto, el polinomio de Alexander siempre existe, y está claro que se trata de un nudo invariante, denotado por . El polinomio de Alexander para un nudo formado por una sola hebra tiene grado 2, y para la imagen especular del nudo, el polinomio será el mismo. $\Delta _{K}(t)$

Cálculo de polinomios

El siguiente algoritmo para calcular el polinomio de Alexander fue proporcionado por J. V. Alexander en su artículo.

Tome un diagrama de nudo orientado con n intersecciones. Hay n + 2 áreas de gráfico. Para obtener el polinomio de Alexander, primero construimos una matriz de incidencia de tamaño ( n , n + 2). n filas corresponden a n intersecciones y n + 2 columnas corresponden a áreas. Los valores de los elementos de la matriz serán 0, 1, −1, t , − t .

Considere un elemento de matriz correspondiente a un área e intersección. Si la región no es adyacente a la intersección, el elemento es 0. Si la región es adyacente a la intersección, el valor del elemento depende de la posición. La figura de la derecha muestra el valor de los elementos en la matriz para la intersección (la parte inferior del nodo está marcada con la dirección del recorrido, para la parte superior la dirección no importa). La siguiente tabla establece los valores de los elementos en función de la posición del área con respecto a la línea subyacente.

desde la izquierda hasta la intersección: − t derecho a la intersección: 1 izquierda después de la intersección: t justo después de cruzar: −1

Eliminemos dos columnas correspondientes a regiones adyacentes de la matriz y calculemos el determinante de la matriz n x n resultante . Dependiendo de qué columnas se eliminen, la respuesta diferirá por un factor de . Para evitar ambigüedades, dividimos el polinomio por la mayor potencia posible de t y lo multiplicamos por −1, si es necesario, para obtener un coeficiente positivo. El polinomio resultante es el polinomio de Alexander. $\pm t^{n}$

El polinomio de Alexander se puede calcular a partir de la matriz de Seifert .

Después del trabajo de Alexander, R. Fox consideró una presentación del grupo de nudos y propuso un método de cálculo no conmutativo [2] que también permite calcular . Puede encontrarse una exposición detallada de este enfoque en Crowell y Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\barra invertida K)$ $\Delta _{K}(t)$

Un ejemplo de construcción de un polinomio

Construyamos el polinomio de Alexander para el trébol . La figura muestra las áreas (A0, A1, A2, A3, A4) y los puntos de intersección (P1, P2, P3), así como los valores de las entradas de la tabla (cerca de los puntos de intersección).

La tabla de Alexander para el trébol tomará la forma:

Punto	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-una	0	-t	t	una
P2	-una	una	-t	0	t
P3	-una	t	-t	una	0

Descartamos las dos primeras columnas y calculamos el determinante: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Dividiendo la expresión resultante por , obtenemos el polinomio de Alexander para el trébol: . $-t$ $t^{2}-t+1$

Propiedades básicas de un polinomio

El polinomio de Alexander es simétrico: para todos los nodos K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Desde el punto de vista de la definición anterior, esta es la expresión del isomorfismo de Poincaré donde es el grupo cociente del campo de fracciones del anillo , considerado como un -módulo, y es el conjugado -módulo de k (como abeliano grupo, es idéntico a , pero el mapeo de cobertura actúa como ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom}_{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

GRAMO

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\sobrelínea {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Además, el polinomio de Alexander toma el valor de 1, módulo igual a uno: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Desde el punto de vista de la definición, esto es una expresión del hecho de que el complemento de un nudo es un círculo homológico cuya primera homología es generada por una transformación de cobertura . De manera más general, si es una variedad de 3 tal que , tiene un polinomio de Alexander definido como el ideal de orden de un espacio de cobertura cíclico infinito. En este caso , hasta el signo, es igual al orden del subgrupo de torsión .

t

METRO

\mathrm {rango} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Se sabe que cualquier polinomio de Laurent con coeficientes enteros, que sea simétrico y tenga módulo 1 en el punto 1, es un polinomio de Alexander de algún nudo [3] .

La importancia geométrica del polinomio

Dado que el ideal de Alexander es principal si y solo si el grupo de nudos es perfecto (su conmutador coincide con todo el grupo de nudos). $\Delta _{K}(t)=1$

Para un nudo topológicamente truncado , el polinomio de Alexander satisface la condición de Fox-Milnor , donde hay otro polinomio de Laurent con coeficientes enteros. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $pie)$

El género doble del nudo está acotado por debajo por el grado del polinomio de Alexander.

Michael Friedman demostró que un nudo en una esfera de 3 está topológicamente truncado , es decir, los límites de un disco topológico "localmente plano" en una esfera de 4, si el polinomio de Alexander del nudo es trivial [4] .

Kaufman [5] describe la construcción del polinomio de Alexander a través de las sumas de estados de modelos físicos. En el artículo de Kauffman ( Kauffman, 2001 ) se ofrece una descripción general de este enfoque, así como otros vínculos con la física .

También hay otras conexiones con superficies y topología suave de 4 dimensiones. Por ejemplo, bajo algunos supuestos, es admisible la cirugía en una variedad de 4 , en la que la vecindad de un toro bidimensional se reemplaza por el complemento de un nodo multiplicado por S 1 . El resultado es un homeomorfo homogéneo de 4 múltiples al original, aunque la invariante de Seiberg-Witten cambia (se multiplica por el polinomio del nudo de Alexander) [6] .

Se sabe que los nudos con simetría tienen polinomios de Alexander acotados. Ver la sección sobre simetría en el trabajo de Kawauchi [3] . Sin embargo, el polinomio de Alexander puede pasar por alto algunas simetrías, como una fuerte reversibilidad.

Si el complemento del nudo es un paquete sobre un círculo, entonces el polinomio de Alexander del nudo es monareno (los coeficientes de los términos superior e inferior son iguales ). Sea un haz, donde es el complemento de un nudo. Denote el mapeo de monodromía como . Entonces , ¿dónde está el mapeo inducido en homología? $\pm 1$ $S\a C_{K}\a S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\to S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\a H_{1}(S)$

Conexión con operaciones satelitales

Sea un nodo satélite con un satélite , es decir, hay una incrustación tal que , donde hay un toro sólido sin anudar que contiene . entonces _ Aquí hay un número entero que representa en . $k$ $K'$ $f:S^{1}\veces D^{2}\a S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\veces D^{2}\subconjunto S^{3}$ $k$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{{f(S^{1}\times \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\matemáticas Z}$ $K'\subconjunto S^{1}\veces D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\veces D^{2})={\mathbb Z}$

Ejemplo: Para una suma conexa de nudos . Si es un nudo Whitehead doble sin torcer, entonces . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $k$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

El polinomio de Alexander-Conway

Alexander demostró que el polinomio de Alexander satisface la relación de la madeja. John Conway luego redescubrió esto de una forma diferente y demostró que la relación de la madeja, junto con la elección del valor en un nudo trivial, es suficiente para definir un polinomio. La versión de Conway es un polinomio en z con coeficientes enteros, denotados y llamados polinomio de Alexander-Conway (y también polinomio de Conway o polinomio de Conway-Alexander ). $\ nabla (z)$

Considere tres diagramas de enlaces orientados . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Relaciones de la madeja de Conway:

$\nabla (O)=1$ (donde O es un diagrama de nudo trivial )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

La relación con el polinomio estándar de Alexander viene dada por la relación . Aquí se debe normalizar adecuadamente (multiplicando por ) para que la relación de la madeja se cumpla . Tenga en cuenta que esto da un polinomio de Laurent en t 1/2 . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Conexión con la homología de Khovanov

En los trabajos de Ozwat y Sabo [7] y Rasmussen [8] , el polinomio de Alexander se presenta como la característica de Euler de un complejo cuya homología es isotópica invariante del nudo en consideración , por lo que la teoría de la homología de Floer es una categorización de el polinomio de Alexander. Consulte el artículo " Homología de Khovanov " [9] para obtener más detalles . $k$

Variaciones y generalizaciones

El polinomio HOMFLY es una invariante similar pero más sutil de nudos y enlaces.

Notas

↑ Alexander describe la relación de la madeja al final del artículo bajo el título "teoremas misceláneos", que puede ser la razón por la que no se notaron. Joan Bierman menciona en su artículo " Nuevos puntos de vista en la teoría de nudos " ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), no. 2, 253-287) que Mark Kidwell le llamó la atención sobre la relación de Alexander en 1970.
↑ Zorro, 1961 .
↑ 12Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffmann, 1983 .
↑ Fintushel y Stern (1997) - Nudos, enlaces y 4 variedades . Consultado el 9 de junio de 2015. Archivado desde el original el 29 de junio de 2021. (indefinido)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Literatura

JW Alejandro. Invariantes topológicos de nudos y enlaces // Trans. amer Matemáticas. soc. . - 1928. - T. 30 , núm. 2 . — S. 275–306 . -doi : 10.2307/ 1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Introducción a la Teoría del Nudo . —Ginn y compañía después de 1977 Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos. — Reimpresión revisada del original de 1994. - Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (introducción accesible utilizando un enfoque de relación de madeja)
R. Fox. Un viaje rápido a través de la teoría de nudos, En Topología de ThreeManifold // Actas del Instituto de Topología de 1961 en Univ. de Georgia, editado por MKFort. — Acantilados de Englewood. Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1961. págs. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topología de 4-variedades. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Serie matemática de Princeton). - ISBN 0-691-08577-3 .
Luis Kauffmann. Teoría del nudo formal. — Prensa de la Universidad de Princeton, 1983.
Luis Kauffmann. Nudos y Física. — Compañía Editorial Científica Mundial, 2001.
Akio Kawauchi. Una revisión de la teoría del nudo. — Birkhauser, 1996. (cubre varios enfoques diferentes, explica las relaciones entre las diferentes versiones del polinomio de Alexander)
M. Khovanov. Homologación y categorización de enlaces . - 2006. - arXiv : matemáticas/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Discos holomorfos e invariantes de nudos // Adv. Math., núm., 58--6. - 2004. - T. 186 , núm. 1 . — págs. 58–116 . -doi : 10.1016/ j.aim.2003.05.001 . - . -arXiv : matemáticas / 0209056 .
J. Rasmussen. Homología de flores y complementos de nudos . - 2003. - S. 6378 . - . -arXiv : matemáticas / 0306378 .
Dale Rolfsen. Nudos y Enlaces. — 2do. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (explica el enfoque clásico usando el invariante de Alexander; tabla de nudos y enlaces con polinomios de Alexander)

Enlaces

Enciclopedia de Matemáticas / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Página principal y el polinomio de Alexander-Conway , el atlas de nudos. - tabla de nudos y enlaces con polinomios calculados de Alexander y Conway

Teoría de nudos y eslabones
Hiperbólico	Ocho (4 1 ) Tres medias vueltas (5 2 ) Estiba (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Estera Carrick (8 18 ) Pareja de Percos (10 161 ) Encaje (−2,3,7) (12n242) cabeza blanca (52 1) anillos borromeos (63 2) L10a140
satélite	Compuesto ( bebé ) directo suma de nudos
tórico	Trivial (0 1 ) Trébol (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Desvinculado (02 1) salto (22 1) Salomón (42 1)
invariantes	alterno Arfa invariante Número de puentes ( 2 puentes ) Enlace de Brunnian Quiralidad ( Reversible ) Número de películas Número de intersecciones invariante de Vasiliev Volumen hiperbólico homología de Khovanov Género grupo de nodos grupo de engranajes Relación de transmisión Polinomios ( Alexander Soporte Kauffman HOMFLY jones Kaufmann ) Compromiso de encaje Nudo simple ( Lista ) Número de segmentos Número de colorantes tricolores El número y la tarea de desvincular.
Notación y operaciones	Notación de Alexander-Briggs notación de Conway Notación Docker Mutación movimiento Reidemeister Relación de Skene
Otro	el teorema de Alejandro nudo bergé teoría de la trenza Esfera de Conway Finalización de nodo Nudo de doble toro Nudo en capas Cinta Corte suma de nudos Las hipótesis de Tate Retorcido Salvaje Número de giro superficie de Seifert