Anillos borromeos

anillos borromeos
Notación
Conway [.una]
Alexander-Briggs 6 3 2
polinomios
jones   [una]
invariantes
Longitud de la trenza 6
Número de hilos 3
Número de intersecciones 6
Volumen hiperbólico 7.327724753
Número de segmentos 9
Desatar numero 2
Propiedades
Enlace alterno , hiperbólico
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Los anillos borromeanos [2]  son ​​un enlace que consta de tres círculos topológicos , que están enlazados y forman un enlace brunniano (es decir, la eliminación de cualquier anillo conducirá a la separación de los dos anillos restantes). En otras palabras, dos de los tres anillos no están enlazados, como en el enlace de Hopf , pero todos están enlazados entre sí.

Propiedades matemáticas

A pesar de la aparente naturalidad de los anillos borromeos a partir de las ilustraciones, es imposible establecer tal vínculo a partir de círculos geométricamente ideales [3] . Esto también se puede ver considerando un diagrama de nudos : si asumimos que los círculos 1 y 2 son tangentes en dos puntos de intersección, entonces se encuentran en el mismo plano o en una esfera. En ambos casos, el tercer círculo debe cortar este plano o esfera en cuatro puntos y no descansar sobre él, lo cual es imposible [4] .

Al mismo tiempo, dicho enganche se puede realizar con la ayuda de elipses, y la excentricidad de estas elipses se puede hacer arbitrariamente pequeña. Por esta razón, los anillos delgados hechos de alambre flexible pueden usarse como anillos borromeos.

Compromiso

En la teoría de nudos, los anillos borromeos son el ejemplo más simple de un enlace brunniano: aunque ningún par de anillos está enlazado , no se puede deshacer.

La forma más sencilla de probar esto es considerar el grupo fundamental del complemento de dos círculos no ligados ; por el teorema de Seifert-van Kampen , este es un grupo libre con dos generadores, a y b, y luego el tercer ciclo corresponde a la clase de conmutador , [ a , b ] = aba −1 b −1 , que se puede ver de el diagrama de enlace Este conmutador no es trivial en el grupo fundamental, y por tanto los anillos borromeos están enlazados.

En la topología aritmética , existe una analogía entre los nodos y los números primos , que permite rastrear las relaciones de los números primos. El triple de primos (13, 61, 937) es conexo módulo 2 (su símbolo de Rhedei es igual a −1), pero estos números son módulos 2 no relacionados por parejas (todos los símbolos de Legendre son iguales a 1). Estos números primos se denominan "triples borromeanos regulares módulo 2" [5] o "borromeanos simples módulo 2". [6]

Geometría hiperbólica

Los anillos borromeanos son un ejemplo de acoplamiento hiperbólico  : el complemento de los anillos borromeanos en una esfera tridimensional admite una métrica hiperbólica completa con volumen finito. La expansión canónica (Epstein-Penner) del complemento consta de dos octaedros regulares . El volumen hiperbólico es igual a 16Л(π/4) = 7.32772…, donde Л es la función de Lobachevsky . [7]

Conexión con guadañas

Si cortamos los anillos borromeos, obtenemos una iteración del tejido trenzado habitual . Por el contrario, si conectamos los extremos (de una iteración) de una trenza común, obtenemos anillos de Borromeo. Quitar un anillo libera los dos restantes, y quitar una cinta de la trenza libera los otros dos: son el enlace brunniano más simple y la trenza brunniana , respectivamente.

En el diagrama de enlace estándar, los anillos borromeos se ordenan en orden cíclico . Si usa los colores como se indicó anteriormente, el rojo estará sobre el verde, el verde sobre el azul, el azul sobre el rojo, y cuando se quite uno de los anillos, uno de los restantes quedará sobre el otro y se soltarán. Lo mismo ocurre con el oblicuo: cada cinta se encuentra por encima de la segunda y por debajo de la tercera.

Historia

El nombre "anillos borromeos" proviene de su uso en el escudo de armas de la familia aristocrática borromea en el norte de Italia . El compromiso es mucho más antiguo y apareció como una valknut en piedras con imágenes vikingas , que datan del siglo VII.

Los anillos borromeos se han utilizado en varios contextos, como la religión y el arte, para mostrar el poder de la unidad. En particular, los anillos se usaban como símbolo de la Trinidad . Se sabe que el psicoanalista Jacques Lacan se inspiró en los anillos borromeanos como modelo de la topología de la personalidad humana, en la que cada anillo representa un componente fundamental de la realidad ("real", "imaginario" y "simbólico").

En 2006, la Unión Matemática Internacional decidió utilizar un logotipo basado en anillos de Borromeo para el XXV Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid , España [8] .

Un pilar de piedra en el templo de Marundiiswarar en Chennai , Tamil Nadu , India , que data del siglo VI, contiene tal figura [9] [10] .

Anillos parciales

Hay muchos signos visuales que datan de la Edad Media y el Renacimiento, que consisten en tres elementos unidos entre sí de la misma manera que los anillos borromeos (en su representación bidimensional generalmente aceptada), pero los elementos individuales no representan cerrados anillos Ejemplos de tales símbolos son los cuernos en la piedra Snoldelev y las medias lunas de Diane de Poitiers . Un ejemplo de escudo con tres elementos diferentes es el escudo del club Internacional . Aunque en menor medida, estos símbolos incluyen el gankiel y el diagrama de Venn de tres elementos .

Además, el nudo de puño de mono es esencialmente una representación tridimensional de los anillos borromeos, aunque el nudo tiene tres niveles.

Más anillos

Algunas conexiones en la teoría de nudos contienen múltiples configuraciones de anillos borromeos. Un compuesto de este tipo, que consta de cinco anillos, se usa como símbolo en el Discordianismo , basado en una imagen del libro Principia Discordia .

Implementaciones

Los anillos borromeanos  moleculares son análogos moleculares de los anillos borromeos, que son estructuras moleculares unidas mecánicamente . En 1997, el biólogo Mao Chengde (Chengde Mao) y los coautores de la Universidad de Nueva York construyeron con éxito anillos de ADN [11] . En 2003, el químico Fraser Stoddart y sus coautores de la Universidad de California utilizaron compuestos complejos para construir un conjunto de anillos a partir de 18 componentes en una sola operación [12] .

El análogo mecánico cuántico de los anillos de Borromeo se llama halo o estado de Efimov (la existencia de tales estados fue predicha por el físico Vitaly Nikolaevich Efimov en 1970). En 2006, el grupo de investigación de Rudolf Grim y Hans-Christoph Nägerl del Instituto de Física Experimental de la Universidad de Innsbruck (Austria) confirmó experimentalmente la existencia de dichos estados en un gas ultrafrío de átomos de cesio y publicó el descubrimiento en la revista científica Naturaleza [13] . Un grupo de físicos dirigido por Randall Hulet en la Universidad Rice en Houston obtuvo el mismo resultado utilizando tres átomos de litio enlazados y publicó sus hallazgos en Science Express [14] . En 2010, un grupo liderado por K. Tanaka obtuvo el estado Efimov con neutrones (neutron halo) [15] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Atlas de nudos - 2005.
  2. ↑ El nombre tiene su origen en el escudo de armas de la familia borromea , en el que están presentes estos anillos.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Productos de Massey en la cohomología de Galois de campos numéricos. — 13 de febrero de 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogías entre nudos y números primos, 3 variedades y anillos numéricos. - 22 de abril de 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ Guillermo Thurston. La geometría y topología de tres variedades. - Marzo 2002. - C. Cap 7. Cómputo del volumen p. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Consultado el 20 de mayo de 2015. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Entrada de blog de Arul Lakshminarayan
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , pág. 137–138.
  12. ↑ Este trabajo fue publicado en Science 2004 , 304 , 1308-1312. Resumen Archivado el 8 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .
  13. ↑ Kraemer, 2006 , pág. 315–318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , pág. 062701.

Literatura

Enlaces