Relación Bretschneider

La relación de Bretschneider es una relación en un cuadrilátero , un análogo del teorema del coseno .

Redacción

Entre los lados a, b, c, d , ángulos opuestos entre sí, y las diagonales e, f de un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo), se cumple la siguiente relación: ${\ estilo de visualización \ alfa, \ gamma,}$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).

Nota

Formulaciones equivalentes: $e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma}{2)),$ $e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma}{2)).$

Prueba

Fuera del cuadrilátero, construimos semejante y semejante de forma externa de modo que $\triángulo ABF$ $\triángulo CAD$ $\triángulo ADE$ $\taxi triángulo$

\ángulo CAD=\ángulo FBA

\ángulo ACD=\ángulo FAB

\ángulo BAC=\ángulo ADE

\ángulo BCA=\ángulo DAE

De la propiedad de los triángulos semejantes tenemos: ; ; ; . Desde aquí ; ; . La suma de los ángulos y en el cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos , es decir, es igual a . Desde aquí También , es decir , un paralelogramo. Desde aquí En la esquina del edificio. Según la ley de los cosenos: . Multiplicando por obtenemos el requerido: , h.t.d. ${\frac{AF}{a}}={\frac {c}{e}}$ ${\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}$ ${\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}$ ${\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}$ $AF={\frac{ac}{e))$ $AE={\frac{bd}{e))$ $BF=DE={\frac {ad}{e))$ ${\ estilo de visualización \ ángulo B}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo D}$ ${\ estilo de visualización FBDE}$ $\triangle MALO$ $180^{\círculo}$ $FB\parallel DE$ $FB=ES$ ${\ estilo de visualización FBDE}$ ${\ estilo de visualización f = BD = FE}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo AEF}$ $\angle EAF=\angle A+\angle C$ $f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2} -{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\ángulo A+\ángulo C)$ ${\ estilo de visualización e ^ {2}}$ $(ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\ángulo A+\ángulo C)$

Consecuencias

Si el cuadrilátero degenera en un triángulo (un vértice cae en un lado), entonces se obtiene el teorema de Stewart .
Si el cuadrilátero degenera en un triángulo y un vértice cae en el punto medio del lado, teniendo en cuenta la igualdad del ángulo principal y el adicional, también obtenemos el teorema de Apolonio .
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces . Entonces el primer teorema de Ptolomeo se sigue de la penúltima fórmula anterior : . ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ $ef=ac+bd$
Si D es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , entonces DA = DB = DC . Usando el teorema de los ángulos inscritos en un círculo, obtenemos el teorema del coseno para el triángulo ABC .

Véase también

Literatura

Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 vols.- M .: MTsNMO , 2004.- S. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0 .

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider