Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones elementales [1] , que históricamente surgieron al considerar triángulos rectángulos y expresaron la dependencia de las longitudes de los lados de estos triángulos de los ángulos agudos en la hipotenusa (o, de manera equivalente, la dependencia de las cuerdas y las alturas del ángulo central del arco en un círculo ). Estas funciones han encontrado una amplia aplicación en varios campos de la ciencia. A medida que se desarrollaron las matemáticas, se amplió la definición de funciones trigonométricas, en el sentido moderno, su argumento puede ser un número real o complejo arbitrario .

La rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las funciones trigonométricas se llama trigonometría .

Las funciones trigonométricas se conocen tradicionalmente como:

funciones trigonométricas directas:

seno ( ); $\sin x$
coseno ( ); $\cos x$

funciones trigonométricas derivadas:

tangente ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
cotangente ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

secante ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
cosecante ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

funciones trigonométricas inversas :

arcoseno, arcocoseno, etc.

En la tipografía de la literatura en diferentes idiomas, la abreviatura de las funciones trigonométricas es diferente, por ejemplo, en la literatura inglesa, la tangente, la cotangente y la cosecante se denotan por , , . Antes de la Segunda Guerra Mundial, en Alemania y Francia, estas funciones se denotaban de la misma manera que es habitual en los textos en idioma ruso [2] , pero luego en la literatura en los idiomas de estos países, la versión en inglés de Se adoptó el registro de funciones trigonométricas. ${\ estilo de visualización \ bronceado x}$ ${\ estilo de visualización \ cuna x}$ $\cscx$

Además de estas seis funciones trigonométricas bien conocidas, algunas funciones trigonométricas raramente usadas ( versinus , etc.) a veces se usan en la literatura.

El seno y el coseno de un argumento real son funciones de valor real periódicas, continuas e infinitamente diferenciables . Las cuatro funciones restantes sobre el eje real también son de valor real, periódicas e infinitamente diferenciables, con la excepción de un número contable de discontinuidades del segundo tipo : para la tangente y la secante en los puntos , y para la cotangente y la cosecante, en los puntos . Los gráficos de funciones trigonométricas se muestran en la fig. 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Maneras de determinar

Definición de esquinas afiladas

En geometría, las funciones trigonométricas de un ángulo agudo están determinadas por las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo [3] . Sea - rectangular, con un ángulo agudo y una hipotenusa . Después: ${\ estilo de visualización \ triángulo AOB}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo AOB = \ alfa}$ $transmisión exterior$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (el seno del ángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa ); $\alfa$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (el coseno del ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa ); $\alfa$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (la tangente del ángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente); $\alfa$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (la cotangente de un ángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto); $\alfa$
$\mathrm {seg} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (la secante del ángulo es la razón de la hipotenusa al cateto adyacente ); $\alfa$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (la cosecante de un ángulo es la razón de la hipotenusa al cateto opuesto ). $\alfa$

Esta definición tiene alguna ventaja metodológica, ya que no requiere la introducción del concepto de sistema de coordenadas, pero también un inconveniente tan importante que es imposible determinar funciones trigonométricas incluso para ángulos obtusos, que deben conocerse al resolver problemas elementales sobre triángulos obtusos. (Ver: teorema del seno , teorema del coseno ).

Definición para cualquier ángulo

Por lo general, las funciones trigonométricas se definen geométricamente [4] . En el sistema de coordenadas cartesianas sobre el plano, construimos una circunferencia de radio unidad ( ) con centro en el origen de coordenadas . Consideraremos cualquier ángulo como una rotación desde la dirección positiva del eje de abscisas a un rayo determinado (elegimos un punto en el círculo), mientras que la dirección de rotación se considera positiva en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativa en el sentido de las agujas del reloj. Denotamos la abscisa del punto y la ordenada - (ver figura 2 ). $R=1$ $O$ $transmisión exterior$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

Definimos las funciones de la siguiente manera:

${\ estilo de visualización \ sin \ alfa = y_ {B}}$ , ; ${\ estilo de visualización \ cos \ alfa = x_ {B}}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
${\ estilo de visualización \ sec \ alfa = {\ frac {1} {x_ {B}}}}$ , . ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B))))$

Es fácil ver que tal definición también se basa en las relaciones de un triángulo rectángulo, con la diferencia de que se tiene en cuenta el signo ( ). Por lo tanto, las funciones trigonométricas también se pueden definir en un círculo de radio arbitrario , pero las fórmulas deberán normalizarse. La figura 3 muestra los valores de las funciones trigonométricas para el círculo unitario . $\pm 1$ $R$

En trigonometría resulta conveniente contar los ángulos no en grados, sino en radianes . Entonces, el ángulo en se escribirá como la longitud de un círculo unitario . El ángulo en es igual, respectivamente, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que el ángulo que difiere de en la figura es equivalente a , por lo que concluimos que las funciones trigonométricas son periódicas. ${\displaystyle 360^{\circ ))$ $2\pi$ $180^{\círculo}$ $\Pi$ $2\pi$ $\alfa$ $\alfa$

Finalmente, definimos las funciones trigonométricas de un número real como funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida en radianes es . $X$ $X$

Definición como soluciones de ecuaciones diferenciales

El seno y el coseno se pueden definir como las únicas funciones cuyas segundas derivadas son iguales a las propias funciones, tomadas con signo menos:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

Es decir, configúrelos como soluciones pares (coseno) e impares (seno) de la ecuación diferencial

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

con condiciones adicionales: para coseno y para seno. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definición como soluciones de ecuaciones funcionales

Las funciones coseno y seno se pueden definir [5] como soluciones ( y, respectivamente) del sistema de ecuaciones funcionales : $F$ $gramo$

$\left\{ \begin{matriz}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{matriz} \right.$

bajo condiciones adicionales:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ y en . ${\ estilo de visualización 0 <g (x) <1}$ $0<x<\pi /2$

Definición en términos de serie

Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es igual al coseno y que la derivada del coseno es igual a menos el seno. Luego puedes usar la teoría de las series de Taylor y representar el seno y el coseno como series de potencias:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Usando estas fórmulas, así como igualdades y uno puede encontrar desarrollos en serie de otras funciones trigonométricas: $\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\nombre del operador{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\seg x=\frac{1}{\cos x}$ $\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\nombre del operador{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\nombre del operador{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

dónde

B_{n}

son los números de Bernoulli ,

E_{n}

son los números de Euler .

Valores de funciones trigonométricas para algunos ángulos

Los valores de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para algunos ángulos se dan en la tabla. (" " significa que la función en el punto especificado no está definida y tiende a infinito en su vecindad ). $\infty$

radianes	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{\pi}{6}}$	${\frac{\pi}{4}}$	${\frac{\pi}{3}}$	${\ estilo de visualización {\ frac {\ pi} {2}}}$	$\Pi$	${\frac{3\pi}{2}}$	$2\pi$
grados	${\displaystyle 0^{\circ ))$	${\displaystyle 30^{\circ ))$	${\displaystyle 45^{\circ ))$	${\displaystyle 60^{\circ ))$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	${\displaystyle 180^{\circ ))$	$270^{\circ }$	${\displaystyle 360^{\circ ))$
${\ estilo de visualización \ pecado \ alfa}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$una$	${\ estilo de visualización 0}$	$-una$	${\ estilo de visualización 0}$
$\ cos \ alfa$	$una$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac{1}{2))$	${\ estilo de visualización 0}$	$-una$	${\ estilo de visualización 0}$	$una$
$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$	$\sqrt{3}$	$\infty$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\ estilo de visualización 0}$
$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$una$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$
${\ estilo de visualización \ sec \ alfa}$	$una$	${\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\ sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-una$	$\infty$	$una$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cosec} \, \ alfa}$	$\infty$	$2$	${\ sqrt {2}}$	${\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	$una$	$\infty$	$-una$	$\infty$

Valores de funciones trigonométricas de ángulos no estándar

radianes	${\frac{2\pi}{3}}$	${\frac{3\pi}{4}}$	${\frac{5\pi}{6}}$	${\frac{7\pi}{6}}$	${\frac{5\pi}{4}}$	${\frac{4\pi}{3}}$	${\frac{5\pi}{3}}$	${\frac{7\pi}{4}}$	${\ estilo de visualización {\ frac {11 \ pi} {6}}}$
grados	${\displaystyle 120^{\circ ))$	${\displaystyle 135^{\circ ))$	${\displaystyle 150^{\circ ))$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	$225^{\circ}$	$240^{\circ }$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\displaystyle 330^{\circ ))$
${\ estilo de visualización \ pecado \ alfa}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac{1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\ cos \ alfa$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac{1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$-\raíz cuadrada{3}$	$-una$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$una$	$\sqrt{3}$	$-\raíz cuadrada{3}$	$-una$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-una$	$-\raíz cuadrada{3}$	$\sqrt{3}$	$una$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-una$	$-\raíz cuadrada{3}$
${\ estilo de visualización \ sec \ alfa}$	$-2$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {2))}$	$-{\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {2))}$	$-2$	$2$	${\ sqrt {2}}$	${\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cosec} \, \ alfa}$	${\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\ sqrt {2}}$	$2$	$-2$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {2))}$	$-{\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac{2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {2))}$	$-2$

radianes	${\frac{\pi}{12}}$	${\frac{\pi}{10}}$	${\frac{\pi}{8}}$	${\frac{\pi}{5}}$	${\frac{3\pi}{10}}$	${\frac{3\pi}{8}}$	${\frac{2\pi}{5}}$	${\ estilo de visualización {\ frac {5 \ pi} {12}}}$
grados	${\ estilo de visualización 15 ^ {\ circ})$	${\ estilo de visualización 18 ^ {\ circ})$	${\displaystyle 22{,}5^{\circ ))$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\ Displaystyle 54^{\ circ})$	$67{,}5^{\circ }$	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 75^{\circ ))$
${\ estilo de visualización \ pecado \ alfa}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$
$\ cos \ alfa$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$
$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$2-\raíz cuadrada{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	${\ estilo de visualización 2+ {\ sqrt {3}}}$
$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	${\ estilo de visualización 2+ {\ sqrt {3}}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\raíz cuadrada{3}$
${\ estilo de visualización \ sec \ alfa}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {4-2{\ sqrt {2}}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {5}} -1}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {5}} +1}$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cosec} \, \ alfa}$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {5}} +1}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {5}} -1}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {4-2{\ sqrt {2}}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$

Valores de funciones trigonométricas para algunos otros ángulos

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt {5}+1)-2)\raíz cuadrada{5-2\raíz cuadrada{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\raíz cuadrada{2(25+11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\raíz cuadrada{5})}+\raíz cuadrada{3}(\raíz cuadrada{5}+1)}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\raíz cuadrada{5})}+\raíz cuadrada{5}-1}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\raíz cuadrada{3}+1)(\raíz cuadrada{5}+1)+2(\raíz cuadrada{3}-1)\raíz cuadrada{5-\raíz cuadrada{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\raíz cuadrada{2(25-11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\raíz cuadrada{2(25-11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\raíz cuadrada{5}-1)+2\raíz cuadrada{5+\raíz cuadrada{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\raíz cuadrada{3}+1)(\raíz cuadrada{5}-1)+2(\raíz cuadrada{3}-1)\raíz cuadrada{5+\raíz cuadrada{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3 }(\raíz cuadrada{5}+1)-2)\raíz cuadrada{5-2\raíz cuadrada{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }-1)+2)\raíz cuadrada{2(25+11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\raíz cuadrada{3}+1)(\raíz cuadrada{5}+1)-2(\raíz cuadrada{3}-1)\raíz cuadrada{5-\raíz cuadrada{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)+2)\raíz cuadrada{2(25-11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)-2)\raíz cuadrada{2(25-11\raíz cuadrada{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5))))){2},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1,5^\circ = \operatorname{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\raíz cuadrada{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _ {n}, n \ en \ mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _ {n}, n \ en \ mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

Propiedades de las funciones trigonométricas

Las identidades más simples

Dado que el seno y el coseno son, respectivamente, la ordenada y la abscisa del punto correspondiente al ángulo α en el círculo unitario , entonces, según la ecuación del círculo unitario ( ) o el teorema de Pitágoras , tenemos: $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Esta relación se llama identidad trigonométrica básica .

Dividiendo esta ecuación por el cuadrado del coseno y el seno, respectivamente, obtenemos:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {seg} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

De la definición de tangente y cotangente se sigue que

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Cualquier función trigonométrica se puede expresar en términos de cualquier otra función trigonométrica con el mismo argumento (hasta un signo debido a la ambigüedad de la expansión de la raíz cuadrada). Las siguientes fórmulas son correctas para : ${\ estilo de visualización 0 <x <\ pi /2}$

	pecado	porque	tg	ctg	segundo	causa
${\ estilo de visualización \, \ sen x =}$	${\ estilo de visualización \, \ sen x}$	${\sqrt {1-\cos^{2}x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)){\sec x))$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x))$
${\ estilo de visualización \, \ cos x =}$	$\,{\sqrt {1-\sin^{2}x}}$	${\ estilo de visualización \, \ cos x}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	${\displaystyle\,{\frac{1}{\seg x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {tg} x =}$	${\displaystyle \,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {tg} x}$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ nombre del operador {ctg} x}}}$	$\,{\sqrt {\sec^{2}x-1))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {ctg} x =}$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ nombre de operador {tg} x}}}$	${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {ctg} x}$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ {2} x-1}}}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))$
${\ estilo de visualización \, \ sec x =}$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} x}}}}$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ cos x}}}$	${\ estilo de visualización \, {\ sqrt {1+\ nombre del operador {tg} ^{2} x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	${\ estilo de visualización \, \ sec x}$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {cosec} x =}$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	${\ estilo de visualización \, {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} x}}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	${\ estilo de visualización \, {\ sqrt {\ nombre del operador {ctg} ^ {2} x + 1}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	${\ estilo de visualización \, \ nombre del operador {cosec} x}$

Continuidad

El seno y el coseno son funciones continuas .
La tangente y la secante tienen puntos de corte , donde es cualquier número entero . ${\ estilo de visualización \ pi / 2 + \ pi k}$ $k$
La cotangente y la cosecante tienen puntos de discontinuidad , donde es cualquier número entero . ${\ estilo de visualización \ pik}$ $k$

Paridad

El coseno y la secante son pares . Las cuatro funciones restantes son impares , es decir:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodicidad

Las funciones son periódicas con periodo , las funciones y son con periodo . $\sen x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {tg} \, x}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {ctg} \, x}$ $\Pi$

Fórmulas de fundición

Las fórmulas de reducción se denominan fórmulas de la siguiente forma:

{\ estilo de visualización f (n \ pi + \ alfa) = \ pm f (\ alfa),}

{\ estilo de visualización f (n \ pi - \ alfa) = \ pm f (\ alfa),}

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Aquí - cualquier función trigonométrica, - su cofunción correspondiente (es decir, coseno por seno, seno por coseno, tangente por cotangente, cotangente por tangente, secante por cosecante y cosecante por secante), - un número entero . La función resultante va precedida del signo que tiene la función original en un determinado cuarto de coordenadas, siempre que el ángulo sea agudo, por ejemplo: $F$ $gramo$ $norte$ $\alfa$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

o lo que es lo mismo:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Algunas fórmulas de fundición:

$\alfa$	$\frac{\pi}{2} - \alfa$	$\frac{\pi}{2} + \alfa$	${\ estilo de visualización \ pi - \ alfa}$	${\ estilo de visualización \ pi + \ alfa}$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alfa$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alfa$	$2\,\pi - \alfa$
$\pecado\alfa$	$\ cos \ alfa$	$\ cos \ alfa$	$\pecado\alfa$	${\ estilo de visualización - \ pecado \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ cos \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ cos \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ pecado \ alfa}$
$\ cos \ alfa$	$\pecado\alfa$	${\ estilo de visualización - \ pecado \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ cos \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ cos \ alfa}$	${\ estilo de visualización - \ pecado \ alfa}$	$\pecado\alfa$	$\ cos \ alfa$
$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{tg}\,\alfa$
$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$\nombre del operador{ctg}\,\alfa$	$\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{tg}\,\alfa$	$-\nombre del operador{ctg}\,\alfa$

Las fórmulas de reducción de interés también se pueden obtener fácilmente considerando funciones en el círculo unitario.

Fórmulas de suma y resta

Los valores de las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg }\,\alfa \, \nombre del operador{tg}\,\beta},

\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg }\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Fórmulas similares para la suma de tres ángulos:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Fórmulas para múltiples ángulos

Fórmulas de doble ángulo:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\nombre del operador{ctg}\,\alpha }{1 + \nombre del operador{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\nombre del operador{tg}\,\alpha + \nombre del operador{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alfa = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\nombre del operador{ctg}\,\alpha - \nombre del operador{tg}\,\alpha}{\nombre del operador{ctg}\,\alpha + \nombre del operador{tg}\ ,\alfa},

\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},

\nombre del operador{ctg}\,2 \alpha = \frac{\nombre del operador{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\nombre del operador{ctg}\,\alpha} = \frac{\nombre del operador{ctg}\ ,\alfa - \nombre del operador{tg}\,\alfa}{2}.

Fórmulas de triple ángulo:

\sen\,3\alpha=3\sen\alpha - 4\sen^3\alpha,

\cos\,3\alfa=4\cos^3\alfa -3\cos\alfa,

\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg} ^2\,\alfa},

\nombre del operador{ctg}\,3\alpha=\frac{\nombre del operador{ctg}^3\,\alpha - 3\,\nombre del operador{ctg}\,\alpha}{3\,\nombre del operador{ctg}^2 \,\alfa - 1}.

Otras fórmulas para múltiples ángulos:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),

\cos\,4\alfa=8\cos^4\alfa - 8\cos^2\alfa + 1,

\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname {tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ ctg}^3\,\alfa - 4\,\nombre del operador{ctg}\,\alfa},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg }^4\alpha-10\nombre del operador{tg}^2\alpha+1},

\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg }^4\alpha-10\nombre del operador{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

se sigue de la fórmula del complemento y de la fórmula de Gauss para la función gamma .

A partir de la fórmula de De Moivre , se pueden obtener las siguientes expresiones generales para múltiples ángulos:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alfa\,\sin^{2k+1}\alfa,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ sin^{2k}\alfa,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

donde es la parte entera del número , es el coeficiente binomial . $[norte]$ $norte$ $\binom{n}{k}$

Fórmulas de medio ángulo:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Obras

Fórmulas para productos de funciones de dos ángulos:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alfa \cos\beta = \frac{\cos(\alfa-\beta) + \cos(\alfa+\beta)}{2},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alfa+\beta)},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Fórmulas similares para los productos de senos y cosenos de tres ángulos:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alfa+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gamma) - \cos(\alfa+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alfa+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma ) + \cos(\alfa+\beta+\gamma)}{4}.

Las fórmulas para los productos de tangentes y cotangentes de tres ángulos se pueden obtener dividiendo las partes derecha e izquierda de las igualdades correspondientes presentadas anteriormente.

Grados

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\nombre del operador {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ nombre del operador {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alfa }{1-\nombre del operador {sin}^{2}\,\alfa }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\nombre del operador {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alfa = \frac{3\cos\alfa + \cos 3\,\alfa}{4},

\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sen 3\,\alpha},

\sin^4\alfa = \frac{\cos 4\alfa - 4\cos 2\,\alfa + 3}{8},

\cos^4\alfa = \frac{\cos 4\alfa + 4\cos 2\,\alfa + 3}{8},

\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Cantidades

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta}{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta}{2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta}}{2))\cos {\frac {\alpha -\beta}{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta}{2)),

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))

\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta ))

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Hay una vista:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

donde el ángulo se encuentra a partir de las relaciones: $\fi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2)))).

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\nombre del operador {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\nombre de operador {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\nombre de operador {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \nombre del operador {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x))={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\nombre del operador {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ nombre del operador {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\nombre del operador {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Investigación de funciones en análisis matemático

Descomposición en infinitos productos

Las funciones trigonométricas se pueden representar como un producto infinito de polinomios:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\Correcto),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty}\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\Correcto).

Estas relaciones se mantienen para cualquier valor de . $X$

Fracciones continuas

Desarrollando la tangente en una fracción continua :

\mahop {\rm {tg)) x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Derivadas y antiderivadas

Todas las funciones trigonométricas son continua e indefinidamente diferenciables en todo el dominio de definición:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x ,$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatorname {tg} x,$

$( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Las integrales de funciones trigonométricas en el dominio de definición se expresan en términos de funciones elementales como sigue [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \nombre del operador{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Funciones trigonométricas de argumento complejo

Definición

Fórmula de Euler :

e^{i\vartheta}=\cos \vartheta +i\sin \vartheta

La fórmula de Euler permite definir funciones trigonométricas de argumentos complejos en términos del exponente , por analogía con funciones hiperbólicas , o (usando series ) como una continuación analítica de sus contrapartes reales:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \operatorname{ch}iz;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

dónde

{\ estilo de visualización i ^ {2} = -1.}

En consecuencia, para x real :

\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).

El seno y el coseno complejos están estrechamente relacionados con las funciones hiperbólicas :

\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,yi\sin x\,\operatorname {sh} \,y.

La mayoría de las propiedades anteriores de las funciones trigonométricas también se conservan en el caso complejo. Algunas propiedades adicionales:

el seno y el coseno complejos, a diferencia de los reales, pueden tomar valores arbitrariamente grandes en valor absoluto;
todos los ceros del seno y coseno complejos se encuentran en el eje real.

Gráficos complejos

Los siguientes gráficos muestran el plano complejo y los valores de las características resaltados en color. El brillo refleja el valor absoluto (el negro es cero). El color cambia según el argumento y el ángulo según el mapa .

Funciones trigonométricas en el plano complejo


${\ estilo de visualización \ pecado \, z}$	${\ estilo de visualización \ cos \, z}$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {tg} \, z}$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ctg} \, z}$	${\ estilo de visualización \ sec \, z}$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cosec} \, z}$

Historia de los nombres

La línea sinusoidal (línea en la Fig. 2 ) fue originalmente llamada por los matemáticos indios "arha-jiva" ("media cuerda", es decir, la mitad de la cuerda de este arco, ya que un arco con una cuerda se asemeja a un arco con un cuerda de arco ). Luego se eliminó la palabra "arha" y la línea sinusoidal se llamó simplemente "jiva". Los matemáticos árabes, al traducir libros indios del sánscrito , no tradujeron la palabra "jiva" con la palabra árabe "vatar", que denota cuerda de arco y cuerda, sino que la transcribieron en letras árabes y comenzaron a llamar a la línea sinusoidal "jiba" ( جيب ‎) . Dado que las vocales cortas no se indican en árabe , y la "y" larga en la palabra "jiba" se indica de la misma manera que la semivocal "y", los árabes comenzaron a pronunciar el nombre de la línea sinusal como "jib", que literalmente significa “depresión”, “seno”. Al traducir obras árabes al latín , los traductores europeos tradujeron la palabra "jaib" con la palabra latina sinus - " sinus ", que tiene el mismo significado (es en este significado que se usa como término anatómico sinusal ). El término " coseno " ( lat. cosinus ) es una abreviatura de lat. seno complementario - seno adicional . $AB$

Abreviaturas modernas introducidas por William Oughtred y Bonaventura Cavalieri y consagradas en los escritos de Leonhard Euler . $\pecado$ $\ cos$

Los términos " tangente " ( lat. tangens - tocar) y " sekans " ( lat. secans - secante) fueron introducidos por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometry of the Round (Geometria rotundi, 1583).

El término funciones trigonométricas fue introducido por Klugel en 1770 .

Más tarde, también se introdujeron los términos para funciones trigonométricas inversas : arcoseno , arcocoseno , arcotangente , arcocotangente , arcosecante , arcocosecante , agregando el prefijo " arco " (del latín arcus - arco), - J. Lagrange y otros.

Véase también

Literatura

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Funciones trigonométricas : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética . - M.: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Trigonometría rectilínea // Manual de matemáticas . - Ed. 7º, estereotipado. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: M.: AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight GB Funciones trigonométricas // Tablas de integrales y otras fórmulas matemáticas. - 4ª ed. - M. : Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kozheurov P.A. Trigonometría. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevich I.A. Grandes senos paranasales. — M.: Nauka, 1974.
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Funciones trigonométricas // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Ed. colegio, Gnedenko B.V. (editor en jefe), Savin A.P. y otros - M.: Pedagogía , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 p., il. - ISBN 5-7155-0218-7 (págs. 342 , 343 - tablas de funciones trigonométricas 0° -90°, inclusive en radianes)
Funciones trigonométricas // Manual de matemáticas (para escuelas secundarias) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3ª ed. — M.: Nauka, cap. edición de Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 240-258. — 480 s.

Enlaces

GonioLab : círculo unitario aclarado, funciones trigonométricas e hiperbólicas (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Funciones trigonométricas (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Calculadora en línea: calcular los valores de funciones trigonométricas (incluyendo encontrar los ángulos de un triángulo por lados)
Mapa interactivo de valores de funciones trigonométricas
Tablas trigonométricas (0° - 360°)
"El seno y el coseno son porcentajes" - Cómo aprender trigonometría de forma intuitiva | Mejor explicado _

Notas

↑ Manual: Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para científicos e ingenieros) . - M. : Nauka, 1973. - 720 p. Una copia de archivo del 19 de enero de 2015 en Wayback Machine los enumera como características especiales .
↑ Signo matemático. // Gran enciclopedia soviética . 1ra ed. T. 27. - M., 1933.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 271-272.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 282-284.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático. Parte 1. - M. : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ En fórmulas que contienen un logaritmo en el lado derecho de las igualdades, las constantes de integración son , en general, diferentes para diferentes intervalos de continuidad. $\scriptstyle C$

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