Teorías alternativas de la gravedad

Es habitual llamar teorías alternativas de la gravedad teorías de la gravedad que existen como alternativas a la teoría general de la relatividad (GR) o la modifican significativamente (cuantitativa o cualitativamente). Las teorías alternativas de la gravedad a menudo incluyen generalmente cualquier teoría que no coincida con la teoría general de la relatividad, al menos en detalle, o que la generalice de alguna manera. Sin embargo, a menudo las teorías de la gravedad, especialmente las cuánticas , que coinciden con la teoría de la relatividad general en el límite de baja energía, no se denominan "alternativas".

Clasificación de las teorías alternativas de la gravedad

En la física de los siglos XVII-XIX, la teoría de Newton fue la teoría dominante de la gravedad. En la actualidad, la mayoría de los físicos consideran que la teoría general de la relatividad (GR) es la principal teoría de la gravedad, ya que todo el cuerpo existente de experimentos y observaciones es consistente con ella (ver Pruebas de la relatividad general ). Sin embargo, la relatividad general tiene una serie de problemas significativos, lo que conduce a intentos de modificar la relatividad general oa la presentación de nuevas teorías. Las teorías modernas de la gravedad se pueden dividir en las siguientes clases principales:

Teorías métricas. Estos incluyen la relatividad general, la teoría relativista de la gravedad (RTG) de Logunov y otros.
Teorías no métricas como la teoría de Einstein-Cartan.
Teorías vectoriales.
Teorías escalares-tensoriales. Tal, en particular, es la teoría de Jordan-Brans-Dicke.
Teorías alternativas a la teoría clásica de Newton. Las teorías notables son la gravedad de Le Sage y la dinámica newtoniana modificada (MOND).
Teorías de la gravedad cuántica, representadas por toda una serie de variedades.
Teorías de unificación de varias interacciones físicas. Aquí puede especificar la teoría de la supergravedad y la teoría de cuerdas.

A continuación se proporciona una lista general de teorías de la gravedad con enlaces.

teorías de la gravedad

Teorías estándar de la gravedad

Teorías alternativas de la gravedad

Teorías cuánticas de la gravedad

Teorías del campo unificado

física clásica

La teoría de la gravedad de Newton

física relativista

Teoría general de la relatividad
- Formulación matemática
- formulación hamiltoniana

Principios

Clásico

Relativista

Multidimensional

Instrumentos de cuerda

Otro

La teoría del todo excepcionalmente simple

Razones para crear teorías alternativas de la gravedad

Hay cientos de intentos de crear una teoría ideal de la gravedad. Por motivación, estos intentos se dividen en 3 categorías amplias:

Alternativas directas a la relatividad general (GR), como la teoría de Einstein-Cartan , la teoría escalar-tensor de la gravedad ( teoría de Brans-Dicke ), la teoría bimétrica de Rosen, o la teoría relativista de la gravedad de Logunov ;
Intenta crear una teoría cuántica de la gravedad , la más famosa de las cuales es la gravedad cuántica de bucles ;
Teorías clásicas del campo unificado que combinan la gravedad con el electromagnetismo y posiblemente otras fuerzas (generalmente hipotéticas), por ejemplo, la teoría de Kaluza-Klein , la teoría de Schmutzer .

Este artículo describe solo alternativas directas a GR, las teorías cuánticas de la gravedad son el tema del artículo " Gravedad cuántica ", las teorías de campo unificado se describen en el artículo del mismo nombre, así como los intentos de crear una teoría del todo .

Las razones para crear teorías de la gravedad han cambiado con el tiempo, históricamente la primera de ellas fueron los intentos de explicar el movimiento de los planetas ( la gravedad newtoniana se enfrentó con éxito a esto ) y los satélites, en particular, la Luna . Luego vino la época de las teorías combinadas de la gravedad y la luz, basadas en el concepto del éter o la teoría corpuscular de la luz , como ejemplo, la teoría de la gravedad de Fatio-Lesage . Después de que toda la física cambiara de carácter tras la creación de la teoría especial de la relatividad , se hizo necesario combinar esta última con las fuerzas gravitatorias. Al mismo tiempo, la física experimental en su desarrollo alcanzó la verificación de los fundamentos de la teoría de la relatividad y la gravitación: la invariancia de Lorentz , la deflexión gravitatoria de la luz y la equivalencia de masa inercial y gravitatoria ( experimento de Eötvös ). Estos experimentos y otras consideraciones llevaron eventualmente a la teoría general de la relatividad .

Después de eso, la motivación cambió drásticamente. La gravedad ha dejado el enfoque principal de la aplicación de fuerzas para el desarrollo de la física; se ha convertido en el desarrollo de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , inspirada en los descubrimientos de la física atómica , nuclear y de partículas . La combinación de la mecánica cuántica incluso con la teoría especial de la relatividad resultó ser tan complicada que la teoría cuántica de campos todavía no representa ninguna rama completa del conocimiento físico. Los intentos de combinar los principios de la mecánica cuántica con la teoría general de la relatividad no pueden considerarse completamente exitosos y se describen en el artículo " Gravedad cuántica ".

Después de la creación de la relatividad general, se hicieron intentos tanto para mejorar las primeras teorías como para desarrollar otras nuevas que tuvieran en cuenta nuevos conceptos. Se utilizaron varios enfoques, por ejemplo, agregando giro a GR , introduciendo la expansión del Universo en el marco del espacio principal (imperturbable) de la teoría y requiriendo la ausencia de singularidades .

La tecnología experimental alcanzó nuevas alturas y puso restricciones cada vez más estrictas a la teoría de la gravedad. Muchos enfoques desarrollados poco después de la creación de GR fueron refutados, y la tendencia general es desarrollar formas cada vez más generales de teorías de la gravitación, que eventualmente alcanzaron cierta perfección en el sentido de que, cualquiera que sea la desviación de GR detectada experimentalmente, habrá ser una teoría, su descripción.

en la década de 1980 la precisión cada vez mayor de los experimentos ha llevado al rechazo total de todas las teorías de la gravedad, con la excepción de esa clase de ellas, que incluye la relatividad general como caso extremo. Las mismas teorías pueden rechazarse sobre la base del principio de la " navaja de Occam " hasta que las desviaciones de las predicciones de la relatividad general se detecten y confirmen experimentalmente de forma fiable. Pronto, los físicos teóricos quedaron fascinados por las teorías de cuerdas , que parecían muy prometedoras. A mediados de la década de 1980. varios experimentos supuestamente encontraron desviaciones de la relatividad general a distancias cortas (cientos de metros y menos), a las que llamaron manifestaciones de la " quinta fuerza ". El resultado fue un estallido de actividad a corto plazo en las teorías de cuerdas de la gravedad, pero estos resultados experimentales no se confirmaron posteriormente (en la actualidad, la naturaleza newtoniana de las fuerzas de atracción gravitatoria se ha verificado hasta una escala de decenas de micrómetros - 2009 ).

Los nuevos intentos de desarrollar teorías alternativas de la gravedad se inspiran casi exclusivamente en razones cosmológicas asociadas o reemplazando conceptos como " inflación ", " materia oscura " y " energía oscura ". La idea principal en este caso es la concordancia de la gravedad moderna con la interacción gravitatoria en la relatividad general, pero con una supuesta desviación fuerte de ella en el universo primitivo. El estudio de la anomalía de Pioneer también ha generado recientemente un gran interés en alternativas a la relatividad general, pero la desviación observada es probablemente demasiado grande para explicarse en términos de cualquiera de estas nuevas teorías.

Notación

Ver análisis tensorial , geometría diferencial , fundamentos matemáticos de la relatividad general .

Los índices latinos van de 1 a 3, los índices griegos van de 0 a 3. El índice de tiempo suele ser 0. La convención de Einstein se usa para la suma de índices covariantes y contravariantes repetidos.

$\eta _{{\mu\nu}}\;$ es la métrica de Minkowski , es un tensor , generalmente un tensor métrico . Firma métrica $g_{{\mu\nu}}\;$ $(-,+,+,+)\;.$

La derivada covariante se escribe como o como $\parcial _{\mu}\varphi\;$ $\varphi _{{;\mu}}\;.$

Primeras teorías, 1686-1916

Fuente principal: País (1989).

Las primeras teorías de la gravedad, por las cuales todas las teorías desarrolladas antes de GR, incluyen la teoría de Newton (1686) , sus diversas modificaciones (en particular, Clairaut y Hill), y luego las teorías relativistas: la teoría de Poincaré ( 1905 ), Einstein ( 1912a & b ), Einstein-Grossmann ( 1913 ), Nordström (1912, 1913) y Einstein-Fokker ( 1914 ).

La teoría de Newton ( 1686 )

En la teoría de Newton ( 1686 ) , reescrita en términos modernos, el campo de densidad de masa genera un campo escalar potencial gravitacional de la siguiente manera (hasta una constante): $\rho$ $\varphi$

{\ estilo de visualización \ Delta \ varphi = 4 \ pi G \ rho}

, donde , es la constante gravitacional , es el operador de Laplace , y el cuadrado de la nabla es escalar.

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grado} \varphi

GRAMO

\Delta

En particular, para una masa esféricamente simétrica (incluida una masa puntual), el campo escalar fuera de ella, tomando el potencial en el infinito igual a cero, es igual a $METRO$

{\displaystyle \varphi =-G{M \over r))

, donde es la distancia desde el punto dado hasta el centro de simetría.

r

El campo escalar, a su vez, afecta la trayectoria de una partícula que se mueve libremente de la siguiente manera:

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\parcial \varphi \over \parcial x^{j}}=0

o .

{\ddot {x}}+\operatorname {grado} \varphi =0

La energía potencial de una masa puntual es:

P=\varphi M

, donde es la energía potencial, es la magnitud de la masa.

PAGS

METRO

A veces se usa un formalismo con un potencial positivo, las masas gravitatorias en este caso forman "jorobas potenciales", no "pozos", las líneas del gradiente potencial no emanan de las masas gravitatorias, sino que, por el contrario, entran en ellas. En la notación anterior:

conexión del campo potencial con el campo de densidad de masa: ,

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grado} \varphi =-4\pi G\rho

caso de masa esféricamente simétrica: ,

{\displaystyle \varphi =G{M \over r))

impacto en un punto material: o ,

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}={\parcial \varphi \over \parcial x^{j}}

{\ddot {x}}=\operatorname {grado} \varphi

energía potencial

P=-\varphi M

La teoría de Newton y su versión reformulada por Lagrange (con la introducción del principio variacional), por supuesto, no tienen en cuenta los efectos relativistas y, en consecuencia, no pueden considerarse ahora como una teoría aceptable de la gravedad. Sin embargo, la teoría de Newton, como teoría confirmada por experimentación con cierto grado de precisión, según el principio de correspondencia , debería ser reproducida por cualquier teoría de la gravedad como límite para un campo gravitatorio débil y velocidades bajas de los cuerpos.

Modelos mecánicos (1650-1900)

Newton, cuando se le preguntó acerca de las causas de la gravedad, respondió: "Yo no invento hipótesis". Sus seguidores no fueron tan escrupulosos en este asunto y propusieron muchas versiones mecánicas de la explicación de la gravedad. De las modificaciones de la teoría newtoniana, se destaca la teoría de Le Sage (modelo corpuscular) y sus modificaciones . Poincaré ( 1908 ) comparó todas las teorías conocidas hasta ese momento y llegó a la conclusión de que sólo la teoría de Newton era correcta. Los modelos restantes predicen velocidades superlumínicas muy altas de interacción gravitacional , lo que a su vez debería conducir a un calentamiento muy rápido de la Tierra debido a las colisiones de sus partículas con partículas que provocan la atracción gravitacional de los cuerpos, lo que no se observa.

Aquí hay una breve lista de estas teorías:

René Descartes (1644) y Christian Huygens (1690) utilizaron vórtices de corpúsculos que llenaban todo el espacio vacío para explicar la gravedad.
Robert Hooke (1671) y James Challis (1869) supusieron que cada cuerpo emite ondas que hacen que atraiga a otros cuerpos. Nicolas Fatio de Duillier (1690) y Georges-Louis Le Sage (1748) propusieron un modelo corpuscular utilizando el efecto de sombrear un cuerpo en otro a partir de corrientes de corpúsculos que llegan constantemente desde todas las direcciones ( teoría de la gravedad de Le Sage ). Más tarde, un modelo similar fue desarrollado por Hendrik Anton Lorenz , sin embargo, en lugar de corpúsculos, utilizó ondas electromagnéticas.
Isaac Newton (1675) y Riemann (1853) argumentaron que la atracción de los cuerpos es consecuencia de la interacción con las corrientes del éter.
Newton (1717) y Leonhard Euler (1760) propusieron un modelo según el cual el éter cercano a los cuerpos se enrarece, dando como resultado una fuerza dirigida hacia el cuerpo.
Kelvin (1871) propuso un modelo pulsante de gravedad y electromagnetismo.

Las desviaciones en el movimiento de los cuerpos celestes de las calculadas según la teoría newtoniana llevaron a considerar las leyes de la gravitación, que son diferentes de las newtonianas. Por ejemplo, para explicar las desviaciones en el movimiento de la Luna, se usó la fórmula de Clairaut en un momento

F=m_{1}m_{2}\left({\frac {G}{r^{2}}}+{\frac {H}{r^{4}}}\right)\,,

y luego Hilla (ella, pero con otros parámetros que no coinciden con los lunares, fue utilizada por S. Newcomb (1895) al desarrollar la teoría del movimiento de los planetas interiores del Sistema Solar y compilar tablas solares , a través de las cuales luego se determinó el segundo de las efemérides )

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{{2+\delta }}}}\,,\quad |\delta |\ll 1\,.

Con el desarrollo de la mecánica celeste, quedó claro que estas desviaciones no requieren modificación de la teoría de la gravitación, sino que son causadas por otras razones [1] .

En la actualidad, también existen varias teorías de "vórtice" y "eterodinámica" de la gravedad y, a veces, del electromagnetismo (desarrolladas por V. A. Atsukovsky, Voronkov, Leonov, Rykov y otros autores). Básicamente, se les pueden aplicar las mismas objeciones de Poincaré, por lo que la mayoría de los científicos consideran que tales intentos son actualmente pseudocientíficos .

Modelos eléctricos (1870–1900)

El final del siglo XIX estuvo marcado por la difusión de las teorías de la gravedad asociadas a las leyes de interacción electromagnética obtenidas, como las leyes de Weber , Gauss , Riemann y Maxwell [2] [3] . Se suponía que estos modelos explicaban un único resultado anómalo de la mecánica celeste: un desajuste en el movimiento calculado y observado del perihelio de Mercurio . En 1890, Levy logró obtener órbitas estables y la cantidad adecuada de desplazamiento del perihelio combinando las leyes de Weber y Riemann. Otro intento exitoso fue realizado por P. Gerber en 1898 [4] . Sin embargo, dado que los potenciales electrodinámicos iniciales resultaron ser incorrectos (por ejemplo, la ley de Weber no se incluyó en la teoría final del electromagnetismo de Maxwell), estas hipótesis fueron rechazadas como arbitrarias [5] [6] . Algunos otros intentos que ya utilizaron la teoría de Maxwell (por ejemplo, la teoría de H. Lorentz de 1900 ) dieron muy poca precesión [7] [8] [9] .

Modelos invariantes de Lorentz (1905–1910)

Alrededor de 1904-1905, el trabajo de H. Lorentz , A. Poincaré y A. Einstein sentó las bases de la teoría especial de la relatividad , excluyendo la posibilidad de propagación de cualquier interacción más rápido que la velocidad de la luz . Así, se planteó la tarea de sustituir la ley newtoniana de la gravitación por otra, compatible con el principio de la relatividad, pero que diera efectos casi newtonianos a bajas velocidades y campos gravitatorios. Tales intentos fueron realizados por A. Poincaré (1905 y 1906), G. Minkowski (1908) y A. Sommerfeld (1910) [9] . Sin embargo, todos los modelos considerados dieron un cambio de perihelio demasiado pequeño [10] . En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para describir el campo gravitatorio es necesario generalizar la entonces teoría de la relatividad, ahora llamada especial. De 1907 a 1915, Einstein avanzó constantemente hacia una nueva teoría, usando su principio de relatividad como guía .

Einstein ( 1912 ), Einstein y Grossman ( 1913 )

La publicación de Einstein de 1912 (en dos partes) solo tiene importancia histórica. En ese momento, sabía sobre el corrimiento al rojo gravitacional y la desviación de la luz . Einstein entendió que las transformaciones de Lorentz son generalmente incorrectas en presencia de un campo gravitacional, pero las aplicó como una heurística. Esta teoría establecía que la velocidad de la luz es un valor constante en un espacio libre de materia, pero cambia en presencia de cuerpos materiales, creando así un efecto gravitatorio. La teoría se limitaba a campos gravitatorios estacionarios e incluía el principio de mínima acción :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,\quad \eta_{ {\mu \nu }}=diag\{-c^{2}(x^{i}),1,1,1\}.

Luego, Einstein y Grossman ( 1913 ) ya utilizaron la geometría pseudo-riemanniana y el análisis tensorial :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=g_({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

En su trabajo, las ecuaciones de la electrodinámica ya coincidían exactamente con las ecuaciones de la relatividad general. Además, se utilizó una ecuación adicional (no siempre cierta en la relatividad general)

T^{{\mu \nu }}=\kappa \rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}\,,

expresando el tensor de energía-momento en función de la densidad de la materia.

Dos teorías de Nordström (1912), (1913)

El primer enfoque de Nordström (1912) fue tratar de mantener constantes la métrica de Minkowski y la velocidad de la luz introduciendo una dependencia de la masa con respecto al potencial del campo gravitatorio . Suponiendo que esto satisface la ecuación $C$ $\varfi\,.$ $\varphi$

\Box\varphi =\rho\,,

donde es la densidad de energía de la masa en reposo, y es el Dalambertiano , e introduciendo la dependencia $\rho$ $\Caja$

m=m_{0}\exp(\phi /c^{2})\,,

Nordström propuso la siguiente ecuación

-{\parcial \varphi \sobre \parcial x^{\mu }}={\dot {u}}_{\mu }+{u_{\mu } \over c^{2}{\dot {\varphi }}}\,,

donde es la 4-velocidad y el punto denota diferenciación con respecto al tiempo. $tu$

El segundo intento de Nordström (1913) pasó a la historia como la primera teoría relativista de campo de la gravedad internamente consistente. Del principio variacional (nótese que se usa la notación de Pais (1989) en lugar de la de Nordström):

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

donde es un campo escalar, en esta teoría se siguen las siguientes ecuaciones de movimiento $\psi$

-{\parcial T^{{\mu \nu }} \sobre \parcial x^{\nu }}=T{1 \sobre \psi }{\parcial \psi \sobre \parcial x_{\mu }}\ ,.

Esta teoría era invariante de Lorentz, contenía leyes de conservación, reproducía correctamente el límite newtoniano y satisfacía el principio de equivalencia débil .

Abraham ( 1914 )

Casi al mismo tiempo, Abraham estaba desarrollando un modelo alternativo en el que la velocidad de la luz dependía del potencial gravitatorio. La revisión de Abraham ( 1914 ) de varios modelos gravitacionales es conocida como una de las mejores en su campo, pero su propio modelo no resistió el escrutinio.

Einstein y Fokker ( 1914 )

Esta teoría fue el primer intento de formular una teoría de la gravedad explícitamente covariante. Habiendo anotado

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

g_{{\mu \nu }}=\psi ^{2}\eta _{{\mu \nu }}\,,

Einstein y Fokker demostraron la identidad de la construcción de Einstein-Grossmann (1913) y Nordström (1913). Se ha postulado una ecuación adicional para el campo gravitacional de la siguiente forma:

T\,\propto\,R,

es decir, la traza del tensor energía-momento es proporcional a la curvatura escalar del espacio-tiempo.

Relatividad general

La teoría de Einstein, contenida en dos artículos en 1916 y 1917, es lo que ahora se llama relatividad general. Abandonando por completo la métrica de Minkowski, Einstein obtuvo:

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

R_{{\mu \nu }}=8\pi G(T_{{\mu \nu }}-g_{{\mu \nu }}T/2)\,,

que también se puede escribir como

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\,.

Cinco días antes que Einstein, Hilbert envió a publicar el trabajo "Fundamentos de física", que contenía esencialmente las mismas ecuaciones, pero derivadas del principio de variación en relación con la electrodinámica de Mie . Una parte de un artículo separado " Cuestiones de prioridad en la teoría de la relatividad " está dedicada a las cuestiones de prioridad. Hilbert fue el primero en escribir la acción correcta de Einstein-Hilbert para la relatividad general:

S={1 \sobre 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\,,

donde es la constante gravitatoria de Newton , es la curvatura escalar (escalar de Ricci) del espacio-tiempo, es el determinante de la matriz de componentes del tensor métrico , y es la acción de campos no gravitacionales (partículas masivas, campo electromagnético, etc.) . $GRAMO$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu\nu}|$ $S_{m}$

La relatividad general es una teoría tensorial, ya que todas sus ecuaciones contienen solo cantidades tensoriales . Las teorías de Nordstem, por otro lado, son escalares, ya que el campo gravitatorio en ellas es un escalar . Además, también se considerarán las teorías escalares-tensoriales que, además de los tensores GR, también contienen cantidades escalares (una o más), así como otras variantes actualmente muy extendidas que contienen campos vectoriales .

Teorías desde 1917 hasta la década de 1980

Fuentes principales: Will (1986) [11] , Will (2006). Véase también Ni (1972), Trader (1973), Lang (2002), Turyshev (2007).

Esta parte incluye una revisión de las alternativas a la relatividad general desarrolladas después de ella, pero antes del descubrimiento de las características de la rotación diferencial de las galaxias, que llevó a la hipótesis de la existencia de la materia oscura .

Incluyen teorías (enumeradas en orden cronológico, los hipervínculos conducen a las partes relevantes de este artículo):

Whitehead (1922) , Cartan (1922, 1923) , Firtz y Pauli (1939), Birkhov ( 1943) , Milne (1948), Thiry (1948), Papapetrou (1954a, 1954b) , Littlewood (1953) , Jordan (1955 ) ), Bergman (1956) , Belinfante y Zweigart (1957) , Yilmaz (Yilmaz) (1958, 1973), Brans y Dicke (1961) , Whitrow y Morduk (Whitrow & Morduch) (1960, 1965) , Kustaanheimo (1966), Kustaanheimo y Nuotio (1967), Deser y Lauren (1968) , Page y Tapper (1968) , Bergman (1968) , Bollini-Giambini-Tiomno (1970) , Nordvedt (1970), Waggoner (1970) , Rosen ( 1971 , 1975, 1975 ), Nee ( 1972 , 1973), Will y Nordvedt (1972) , Hellings y Nordvedt (1973) , Lightman y Lee (1973) , Lee-Lightman-Nee (1974), Bekenstein (1977) , Barker (1978 ) ) , Restall (1979) .

Estas teorías generalmente no incluyen la constante cosmológica , agregarla o la quintaesencia se trata en la sección de teorías recientes (ver también la acción de Einstein-Hilbert ). Tampoco incluyen, a menos que se indique lo contrario, potenciales escalares o vectoriales adicionales, por la sencilla razón de que estos potenciales y la constante cosmológica no se consideraban necesarios hasta el descubrimiento de la aceleración de la expansión del Universo a través de observaciones de supernovas distantes .

Clasificación de las teorías de la gravedad

Las teorías de la gravedad pueden dividirse, con cierto grado de aproximación, en varias categorías. La mayoría de las teorías tienen:

' acción ' (ver el principio de mínima acción - el principio variacional , basado en el concepto de acción);
densidad lagrangiana ;
métrica _

Si una teoría tiene una densidad lagrangiana, por ejemplo, entonces la acción es una integral de ella en el espacio-tiempo. $L\,,$ $S$

S\,\propto\,\int {\sqrt {-g}}Ld^{4}x\,.

En esta ecuación, por lo general, aunque no necesariamente, se pasa a coordenadas en las que $g=-1\,.$

Casi todas las teorías consistentes de la gravedad tienen acción . Esta es la única forma conocida de garantizar automáticamente que las leyes de conservación de la energía , el momento y el momento angular se incluyan en la teoría (aunque uno puede construir fácilmente tal acción que viole las leyes de conservación). La versión original de 1983 de Modified Newtonian Dynamics (MOND) no tuvo ningún efecto.

Varias teorías tienen acción pero carecen de la densidad lagrangiana. Un buen ejemplo es la teoría de Whitehead (1922), cuya acción es no local.

Una teoría de la gravedad es una teoría métrica solo si puede expresarse matemáticamente en una forma que satisfaga las siguientes dos proposiciones:

Condición 1. Existe un tensor de firma métrica (o, lo que es irrelevante ), que expresa las medidas de tiempo propio y longitud propia de la forma habitual para la teoría de la relatividad: $g_{\mu\nu}$ ${\ estilo de visualización (-,+,+,+)}$ ${\ estilo de visualización (+,-,-,-)}$

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

Condición 2. La materia y los campos sujetos a la acción de un campo gravitatorio se mueven de acuerdo con la ecuación

\nabla \cdot T=0\,,

donde es el tensor energía-momento de toda la materia y los campos no gravitacionales, y es la derivada covariante correspondiente a la métrica. $T$ $\nabla$

Cualquier teoría de la gravedad con una métrica no simétrica claramente no es una teoría métrica, pero cualquier teoría métrica puede reformularse de modo que se violen las condiciones 1 y 2 en la nueva formulación. ${\displaystyle g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu ))$

Las teorías métricas incluyen (de simple a complejo):

Teorías escalares (entre ellas se encuentran teorías planas conformes y teorías estratificadas con secciones espaciales de franjas conformes)
- Nordstrom, Einstein-Fokker, Whitrow-Morduch, Littlewood, Bergman, Page-Tupper, Einstein (1912), Rosen (1971), Papapetru, Nee, Yilmaz, [Kolman], Lee-Lightman-Nee;
Teorías bimétricas
- Rosen (1975), Restall, Lightman-Lee;
Teorías cuasi-lineales (entre ellas teorías lineales con calibre fijo)
- Whitehead, Deser-Loren, Bollini-Giambini-Tiomno (Bollini-Giambini-Tiomno);
Teorías de tensores
- Einstein (1915) - GR;
Teorías escalares-tensoriales
- Tiry (Thiry), Jordan, Brans-Dicke, Bergman, Waggoner, Nordvedt, Bekenstein;
Teorías del tensor vectorial
- Will-Nordvedt, Hellings-Nordvedt;
Otras teorías métricas

(Ver también parte Teorías Modernas )

Las teorías no métricas incluyen a Cartan, Belinfante-Zweigart y algunas otras.

Aquí es necesario decir algunas palabras sobre el principio de Mach , ya que muchas de estas teorías se basan o están motivadas por él, por ejemplo, la teoría de Einstein-Grossmann (1913), Whitehead (1922), Brans-Dicke (1961 ). El principio de Mach se puede considerar como una etapa intermedia entre las ideas newtonianas y einsteinianas [12] :

Newton: El marco de referencia seleccionado está conectado con el espacio y el tiempo absolutos.
Mach: El marco de referencia distinguido está conectado con la distribución de la materia en el Universo.
Einstein: No hay un marco de referencia dedicado.

Hasta ahora, todos los intentos de descubrir las consecuencias experimentales del principio de Mach no han tenido éxito, pero no pueden rechazarse por completo.

Teorías escalares

Muchas teorías, en particular Littlewood (1953), Bergman (1956), Yilmaz (1958), Whitrow y Morduch (1960, 1965) y Page-Tupper (1968), pueden deducirse uniformemente de la manera dada por Page y Tupper.

Según Page y Tupper (1968), quienes consideraron todas las teorías mencionadas en el párrafo anterior, excepto la teoría de Nordström (1913), la teoría escalar general de la gravedad tiene ecuaciones de movimiento de masas puntuales derivadas del principio de mínima acción. de la siguiente forma:

\delta \int f(\varphi /c^{2})ds=0\,,

donde el campo escalar para una fuente puntual estática será

\varphi=GM/r\,,

y puede o no depender de las funciones tienen la siguiente forma: $C$ $\varfi\,.$ ${\ estilo de visualización f (\ varphi / c ^ {2})}$

en Nordström (1912)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c=c_{\infty }\,;

en Littlewood (1953) y Bergman (1956)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}-(\varphi /c^{2})^{2}/2)\,,\qquad c=c_ {\infty}\,;

en Whitrow y Morduch (1960)

f(\varphi /c^{2})=1\,,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,;

en Whitrow y Morduch (1965)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c^{2}=c_{\infty}^{2}-2\varphi \ ,;

en Page y Tupper's (1968)

f(\varphi /c^{2})=\varphi /c^{2}+\alpha (\varphi /c^{2})^{2}\,,\qquad c_{\infty}^{2 }/c^{2}=1+4(\varphi /c_{\infty }^{2})+(15+2\alpha )(\varphi /c_{\infty }^{2})^{2 }\,.

Page y Tupper (1968) también lograron un acuerdo con la teoría de Yilmaz (1958) hasta el segundo orden (ver también la Teoría de la Gravedad de Yilmaz ) en $\alpha=-7/2\,.$

La desviación gravitacional de la luz en las teorías escalares debe ser cero, a menos que la velocidad de la luz sea una constante. Dado que la variabilidad de la velocidad de la luz y su desviación cero contradicen los datos experimentales, la perspectiva de una teoría escalar viable de la gravedad parece muy sombría. Además, si los parámetros de la teoría escalar se ajustan para obtener la desviación correcta de la luz, el corrimiento al rojo gravitacional será incorrecto en la mayoría de los casos .

Nee (1972) consideró algunas de las teorías escalares y presentó dos más. En el primero, el espacio-tiempo a priori de Minkowski y la coordenada del tiempo universal, junto con la materia ordinaria y los campos no gravitatorios, crean un campo escalar. Este campo escalar actúa junto con todos los demás como fuente de la métrica.

La acción correspondiente (Mizner-Thorn-Wheeler (1973) la da sin miembro ): ${\ estilo de visualización \ varphi R}$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\,,

L_{\varphi }=\varphi R-2g^{{\mu \nu }}\parcial _ {\mu }\varphi \parcial _ {\nu }\phi \,,

donde está la acción de la materia. Ecuación de campo escalar: $S_{m}$

\Box \varphi =4\pi T^{{\mu \nu }}[\eta _({\mu \nu }}e^{{-2\varphi }}+(e^{{2\varphi } }+e^{{-2\varphi )))\parcial _ {\mu }t\parcial _ {\nu }t]\,,

donde es la coordenada del tiempo universal. Esta teoría es autoconsistente y completa, pero el movimiento del sistema solar como un todo en relación con la distribución de masa promedio en el universo conduce a una diferencia significativa entre sus predicciones y los datos experimentales. $t$

En la segunda teoría de Nee (1972) existen dos funciones arbitrarias y que definen la métrica: ${\ estilo de visualización f (\ varphi)}$ $k(\varfi)\,,$

ds^{2}=e^{{-2f(\varphi)}}dt^{2}-e^{{2f(\varphi)}}[dx^{2}+dy^{2}+dz^ {2}]\,,

\eta ^{{\mu \nu }}\parcial _ {\mu }\parcial _ {\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )\,.

Nee (1972) menciona la teoría de Rosen (1971) como reducida a dos campos escalares y , que definen la métrica de la siguiente manera: $\varphi$ $\psi$

ds^{2}=\varphi ^{2}dt^{2}-\psi ^{2}[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}]\,.

En la teoría de Papapetrou (1954a), la parte gravitacional del Lagrangiano tiene la forma:

L_{\varphi}=e^{\varphi}(\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi}}\parcial_{\alpha}\varphi \parcial_{\alpha} \varphi +\textstyle {\frac {3}{2}}e^({\varphi }}\parcial _{0}\varphi \parcial _{0}\varphi )\,.

Posteriormente, Papapetrou (1954b) introduce un segundo campo escalar . Entonces el Lagrangiano gravitatorio será: $\ chi$

L_{\varphi }=e^{{(3\varphi +\chi )/2}}(-\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi }}\parcial _{\ alfa }\varphi \parcial _{\alpha }\varphi -e^{{-\varphi }}\parcial _{\alpha }\varphi \parcial _{\chi }\varphi +\textstyle {\frac {3} {2}}e^{{-\chi }}\parcial _{0}\varphi \parcial _{0}\varphi )\,.

Teorías bimétricas

Las teorías bimétricas contienen el tensor métrico habitual y la métrica de Minkowski (o métrica de curvatura constante u otra métrica de "fondo"), y también pueden incluir otros campos escalares y vectoriales.

La acción en la teoría bimétrica de Rosen (1973, 1975) tiene la forma:

S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\eta ^({\mu \nu }}g^{{\alpha \beta }}g ^{{\gamma \delta }}(g_{{\alpha \gamma |\mu }}g_{{\alpha \delta |\nu }}-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{{ \alpha \beta |\mu }}g_{{\gamma \delta |\nu }})+S_{m}\,,

donde la línea vertical "|" denota la derivada covariante consistente con la métrica Las ecuaciones de campo se pueden escribir como: $\eta\,.$

\Box _{\eta }g_{{\mu \nu }}-g^({\alpha \beta }}\eta ^{{\gamma \delta }}g_{{\mu \alpha |\gamma }} g_{{\nu \beta |\delta }}=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{{\mu \nu }}-\textstyle {\frac {1}{2} }g_{{\mu \nu }}T)\,.

Lightman y Lee (1973) desarrollaron una teoría métrica basada en la teoría no métrica de Belinfante y Zweigart (1957a, 1957b), conocida como teoría BSLL. Introduce un campo tensorial y dos constantes , por lo que la acción se ve así: ${\ Displaystyle B_ {\ mu \ nu}}$ $(B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu })$ $a$ $F\,,$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{{\mu \nu |\alpha }}B_{{\mu \nu | \alpha }}+fB_{{,\alpha }}B^{{,\alpha }})+S_{m}\,,

y el tensor de energía-momento se deriva de la siguiente ecuación:

a\Box _{\eta }B^{{\mu \nu }}+f\eta ^({\mu \nu }}\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g /\eta }}T^{{\alpha \beta }}(\parcial g_{{\alpha \beta }}/\parcial B_{\mu }\nu )\,.

En Rastall (1979) la métrica es una función algebraica de la métrica de Minkowski y el campo vectorial [13] . En este caso, la acción:

S={1 \sobre 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}F(N)K^{{\mu ;\nu }}K_{{\mu ;\nu }}+S_{m},

donde y (en el libro de Will (1986) se dan las ecuaciones de campo para y ). $F(N)=-N/(2+N)\;$ $N=g^{{\mu \nu }}K_{\mu }K_{\nu }\;$ $T^{{\mu\nu}}\;$ $K_{\mu}\;$

De acuerdo con las características formales, las teorías bimétricas incluyen la teoría de las perturbaciones gravitatorias del espacio-tiempo - GR, linealizadas sobre un espacio-tiempo de fondo arbitrario, así como el RTG de Logunov con colaboradores.

Teorías cuasi-lineales

En la teoría de Whitehead (1922), la métrica física se construye algebraicamente a partir de la métrica de Minkowski y los campos materiales, por lo que no hay campos de amortiguamiento: $gramo\;$ $\eta\;$

g_{{\mu \nu }}(x^{\alpha })=\eta _({\mu \nu }}-2\int _({\Sigma ^{-}}}{y_{\mu } ^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }d\Sigma _{\ alfa }]^{-},

donde el superíndice (-) indica las cantidades calculadas a lo largo del cono de luz del punto pasado con respecto a la métrica a $x^{\alfa}\;$ $\eta\;,$

(y^{\mu})^{-}=x^{\mu}-(x^{\mu})^{-}\;,

(y^{\mu})^{-}(y_{\mu})^{-}=0\;,

w^{-}=(y^{\mu})^{-}(u_{\mu})^{-}\;,

(u_{\mu})=dx^{\mu}/d\sigma\;,

d\sigma ^{2}=\eta _{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\;.

Las teorías de Deser y Lauren (1968) y Bollini-Giambini-Thiomno (1970) son teorías lineales de calibre fijo. Tomando la teoría cuántica de campos como modelo y combinando el espacio-tiempo de Minkowski con la acción invariante de calibre del campo tensor de espín-2 (es decir, el campo de gravitón ) , estos autores pusieron $h_{{\mu\nu}}\;$

g_{{\mu \nu }}=\eta _{{\mu \nu }}+h_{{\mu \nu }}\;.

Su acción:

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}[2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_{{\ mu \lambda }}^{{|\lambda }}-2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_({\lambda |\mu }}^{{\lambda }}+h_ {{\nu |\mu }}^{\nu }h_{\lambda }^{{\lambda |\mu }}-h^({\mu \nu |\lambda }}h_{{\mu \nu |\lambda }}]+S_{m}\;.

Sin embargo, las identidades de Bianchi correspondientes a esta invariancia de calibre parcial resultan ser incorrectas. Las teorías propuestas tratan de salir de esta contradicción postulando una violación de la simetría de la acción gravitatoria al introducir campos gravitatorios auxiliares que interactúan con . $h_{{\mu\nu}}\;$

Teorías escalares-tensoriales

Ver también Teorías escalares-tensoriales de la gravedad y Teoría de Brans-Dicke

Estas teorías contienen al menos un parámetro libre, a diferencia de la relatividad general, donde no hay parámetros libres (el término cosmológico actualmente no puede considerarse un parámetro libre de la teoría, ya que se determina experimentalmente).

Aunque la teoría de Kaluza-Klein de 5 dimensiones no suele considerarse como escalar-tensor, sin embargo, después de la separación (aproximada) de la métrica de 4 dimensiones, se reduce a una con un solo escalar y un solo campo vectorial. Así, si la componente métrica en la 5ª dimensión se considera como un campo gravitatorio escalar, y no se presta atención a las componentes mixtas de la métrica en la 5ª y otras dimensiones, que dan un campo vectorial (según la idea de Kaluza electromagnético) , entonces la teoría de Kaluza-Klein puede ser considerada un precursor de las teorías escalares-tensoriales de la gravedad, lo cual fue señalado por Thiry (1948).

Las teorías del tensor escalar incluyen: la teoría de Scherer (1941), Thiry (1948), Jordan (1955), Brans y Dicke (1961), Bergman (1968), Nordvedt (1970), Waggoner (1970), Bekenstein (1977) y Barker (1978).

La acción en estas teorías es la integral de la densidad lagrangiana $S\;$ $L_{\varfi}\;:$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;,

L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^({\mu \nu ))\parcial _ {\mu }\varphi \parcial _ {\nu }\varphi +2\varfi\lambda (\varphi)\;,

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {g}}G_{N}L_{m}\;,

y por definición

T^{{\mu \nu }}={2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{{\mu \nu }}}\;,

donde hay una función adimensional, diferente en diferentes teorías, la función juega el papel de la constante cosmológica GR, es una constante de normalización adimensional que fija el valor de la constante gravitacional en la época actual. Se puede agregar un potencial arbitrario a un campo escalar. $\omega (\varfi)\;$ $\lambda (\varphi)\;$ $G_{N}\;$ $GRAMO\;$

Tal acción fue aplicada sin limitación en las teorías de Bergman (1968) y Waggoner (1970). Los casos especiales incluyen teorías:

Nordvedt (1970) — ( Omitimos , más adelante en esta sección, su introducción se analiza más adelante en la sección Constante cosmológica y quintaesencia ). $\lambda=0\;;$ $\lambda$
Bransa-Dicke (1961) - constante; $\omega\;$
Bekenshtein (1977) - teoría de la masa variable - introduciendo parámetros y obtenidos de la solución cosmológica, define una función tal que $r\;$ $q\;,$ $\varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{{-r}}\;$ $F\;,$

\omega (\varphi)=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\phi )[(1-6q)qf(\phi )- 1][r+(1-r)qf(\varphi)]^{{-2}}\;;

Barker (1978) - teoría de G constante -

\omega (\varphi )=(4-3\phi )/(2\varphi -2)\;.

El cambio permite que las teorías escalares-tensoriales en el límite reproduzcan en la época actual resultados arbitrariamente cercanos a la relatividad general. Sin embargo, las diferencias en el universo primitivo pueden ser significativas. $\omega (\varfi)\;$ $\omega \rightarrow \infty\;$

Mientras las predicciones de la relatividad general se confirmen experimentalmente, las teorías del tensor escalar general (incluida la teoría de Brans-Dicke) no se pueden descartar, pero a medida que los experimentos continúan igualando las predicciones de la relatividad general con una precisión cada vez mayor, los parámetros de el escalar-tensor cada vez se imponen más restricciones a las teorías.

Teorías de Hellings y Nordvedt

Las teorías de Hellings y Nordvedt (1973) y Will y Nordvedt (1972) son ambas de tensor vectorial. Además del tensor métrico, cuentan con un campo vectorial temporal . La acción gravitacional tiene la forma: $K_{\mu}\;$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{{\mu \nu }}-\varepsilon F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+\tau K_{{\mu ;\nu } }K^{{\mu ;\nu }}]+S_{m}\;,

donde , , y son constantes, y $\omega\;$ $\eta\;$ $\varepsilon\;$ $\tau\;$

F_{{\mu \nu }}=K_{{\nu ;\mu }}-K_{{\mu ;\nu }}\;.

Las ecuaciones de campo de esta teoría para y se dan en Will (1986). $T^{{\mu\nu}}\;$ $K_{\mu}\;$

La teoría de Will y Nordwett (1972) es un caso especial de la anterior para

\omega =\eta =\varepsilon =0\;;\qquad \tau =1\;,

mientras que la teoría de Hellings y Nordvedt (1973)

\tau =0\;;\qquad \varepsilon =1\;;\qquad \eta =-2\omega \;.

Estas teorías de vector-tensor son semiconservadoras, es decir, tienen las leyes de conservación del momento y del momento angular, pero también pueden estar presentes los efectos de un marco de referencia privilegiado. Cuando , estas teorías se reducen a la relatividad general, de modo que, de manera similar a las teorías de tensores escalares, las teorías de tensores vectoriales tampoco pueden ser refutadas por ningún experimento que confirme la relatividad general. $\omega=\eta=\varepsilon=0\;$

Teorías no métricas

(ver también la teoría de Einstein-Cartan y la conexión de Cartan )

La teoría de Cartan es particularmente interesante porque no es métrica y porque es muy antigua. El estado de la teoría de Cartan no está claro. Will (1986) argumenta que todas las teorías no métricas contradicen el Principio de Equivalencia de Einstein (EPE) y, por lo tanto, deben descartarse. En un artículo posterior, Will (2001) suaviza esta afirmación al explicar los criterios experimentales para probar teorías no métricas para satisfacer la EPE. Mizner, Thorne y Wheeler (1973) argumentan que la teoría de Cartan es la única teoría no métrica que pasa todas las pruebas experimentales, y Turyshev (2007) menciona que esta teoría satisface todas las restricciones experimentales actuales. El siguiente es un breve resumen de la teoría de Cartan siguiendo a Trautman (1972).

Cartan (1922, 1923) propuso una generalización simple de la teoría de la gravedad de Einstein al introducir un modelo de espacio-tiempo con un tensor métrico y una conexión lineal asociada con la métrica, pero no necesariamente simétrica. La parte antisimétrica de la conexión, el tensor de torsión, se asocia en esta teoría con la densidad del momento angular interno ( espín ) de la materia. Independientemente de Cartan, Siama , Kibble y Hale desarrollaron ideas similares entre 1958 y 1966.

Inicialmente, la teoría se desarrolló en el formalismo de formas diferenciales , pero aquí se presentará en lenguaje tensorial. La densidad de gravedad lagrangiana en esta teoría coincide formalmente con la de la relatividad general y es igual al escalar de curvatura:

L={1 \sobre 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,

sin embargo, la introducción de la torsión modifica la conexión, que ya no es igual a los símbolos de Christoffel, sino que es igual a su suma con el tensor de contorsión

\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\mu }=\left\{{^({\ \mu \ }}_{{\;\nu \lambda \;}}}\right\}+ K_{{\nu \lambda}}^{\mu}\;,

K_{{\mu \nu \lambda ))=Q_({\mu \nu \lambda ))+Q_({\lambda \nu \mu ))+Q_({\nu \lambda \mu )),\qquad Q_{{\mu \nu \lambda }}={\frac 12}(\Gamma _({\mu \nu \lambda }}-\Gamma _({\mu \lambda \nu }})\;,

donde está la parte antisimétrica de la conexión lineal - torsión. Se supone que la conexión lineal es métrica , lo que reduce el número de grados de libertad inherentes a las teorías no métricas. Las ecuaciones de movimiento de esta teoría incluyen 10 ecuaciones para el tensor de energía-momento, 24 ecuaciones para el tensor de espín canónico y ecuaciones de movimiento para campos materiales no gravitacionales: $Q_{{\mu\nu\lambda}}\;$

R_{{\mu \nu }}-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}R+4{B^{{[\alpha }}}_({\beta \mu }}{B^ {{\beta ]}}}_{{\alpha \nu }}+2B_({\beta \alpha \mu }}{B_{\nu }}^({\beta \alpha }}-B_{{\ mu \beta \alpha }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-

-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}(4{{B_{{\alpha }}}^{{\beta }}}_{{[\lambda }}{B^{{\alpha \lambda ))}_{{\beta ]}}+B_({\alpha \beta \gamma }}B^({\alpha \beta \gamma }})=\kappa T_{{\mu \nu }} \;,

{Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\ lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{{\mu \nu }}\;,

{\frac {\parcial L}{\parcial \phi _{A))}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda}){\frac {\parcial L}{\parcial \nabla_{ \lambda }\phi _{A}}}=0\;,

donde es el tensor de energía-momento métrico de la materia, es el tensor de giro canónico y es la traza del tensor de giro (ver Ivanenko , Pronin, Sardanashvili , Gauge Theory of Gravity (1985)). $T_{{\mu \nu }}={\frac \delta {\delta g^{{\mu \nu }}}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$ $s_{{\mu \nu }}^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{{\mu \nu }}}}\;$ ${B^{\lambda }}_{{\mu \nu }}={Q^{\lambda }}_({\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda } Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$ $Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{{\mu \lambda }}\;$

La curvatura del espacio-tiempo en este caso no es riemanniana, pero en el espacio-tiempo riemanniano el lagrangiano se reduce al lagrangiano de la relatividad general. Los efectos de la no metricidad en esta teoría son tan pequeños que pueden despreciarse incluso en estrellas de neutrones . La única región de fuerte divergencia parece ser quizás el universo muy primitivo. Una característica atractiva de esta teoría (y sus modificaciones) es la posibilidad de obtener soluciones de "rebote" no singulares para el Big Bang (ver Minkevich et al. (1980)).

Algunas ecuaciones de la teoría no métrica de Belinfante y Zweigart (1957a, 1957b) ya han sido discutidas en la sección de teorías bimétricas .

Probando teorías alternativas de la gravedad

El desarrollo de teorías y sus pruebas se han desarrollado de la mano a lo largo del siglo XX y más allá. La mayoría de los cheques se pueden clasificar en las siguientes clases (ver Will (2001)):

Las bases más simples.
Principio de equivalencia de Einstein (EPE).
Formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN).
Fuertes campos gravitatorios.
Ondas gravitacionales .

Teorías no probadas por motivos

Para más detalles, véase Misner, Thorne y Wheeler (1973), cap. 39 y Will (1986), Cuadro 2.1.

No todas las teorías de la gravedad son iguales. Solo unas pocas, entre la gran cantidad de ellas que existen en la literatura, son lo suficientemente viables como para compararlas con la relatividad general.

A principios de la década de 1970, un grupo de científicos de Caltech , incluidos Thorne, Will y Nee (ver Nee (1972)), compiló una lista de teorías de la gravedad del siglo XX . Para cada teoría, hicieron las siguientes preguntas:

(i) ¿Es la teoría autoconsistente?
(ii) ¿está completo?
(iii) ¿concuerda, dentro de unas pocas desviaciones estándar, con todos los experimentos realizados hasta ahora?

Si una teoría no cumplía con estos criterios, no tenía prisa por descartarla de inmediato. Si una teoría estaba incompleta en sus fundamentos, el grupo intentaba complementarla con pequeños cambios, generalmente reduciendo la teoría en ausencia de gravedad a la relatividad especial. Por ejemplo, para siete teorías diferentes, la densidad de la materia que genera la gravedad se calculó tanto como y como la traza de un tensor En otro caso, al considerar las teorías de Thiry (1948) y Jordan (1955), se completaron dando al parámetro un valor de 1 cuando se reducen a la teoría de Brans-Dicke (1961) y son dignos de mayor consideración. $\rho ^{*}=T_{{\mu \nu }}u^{\mu }u^{\nu }\;,$ $T\;.$ $\eta\;$

En esta sección, el criterio de "coherencia con todos los experimentos realizados hasta la fecha" se reemplaza por el criterio de "coherencia con la mayoría de las consecuencias de la mecánica newtoniana y la relatividad especial". Los puntos más sutiles se discutirán más adelante.

La autoconsistencia de las teorías no métricas incluye el requisito de la ausencia de taquiones , polos fantasma, polos de orden superior y problemas en el comportamiento de los campos en el infinito.

La autoconsistencia de las teorías métricas se ilustra mejor describiendo varias teorías que no tienen esta propiedad. Un ejemplo clásico es la teoría del campo de espín 2 (la teoría de Fiertz y Pauli (1939)), en la que las ecuaciones de campo implican que los cuerpos gravitantes se mueven a lo largo de líneas rectas, mientras que las ecuaciones de movimiento hacen que los cuerpos se desvíen de las trayectorias rectilíneas. La teoría de Yilmaz (Yilmaz, 1971, 1973) contiene un campo gravitatorio tensorial utilizado para definir el tensor métrico; pero esta teoría es matemáticamente insostenible, ya que la dependencia funcional de la métrica con el campo tensorial no está bien definida.

Para que una teoría de la gravedad sea completa, debe ser capaz de describir los resultados de cualquier experimento concebible. Es decir, debe incluir el electromagnetismo y todas las demás teorías confirmadas por experimentación. Por ejemplo, cualquier teoría que no pueda predecir a partir de primeros principios el movimiento de los planetas o el comportamiento de los relojes atómicos es incompleta. La teoría de Milne (1948) es incompleta, ya que no incluye descripciones del corrimiento al rojo gravitatorio.

Las teorías de Whitrow y Morduch (1960, 1965), Kustaanheimo (1966) y Kustaanheimo y Nuotio (1967) son incompletas o no son coherentes entre sí. La introducción de las ecuaciones de Maxwell en una teoría será incompleta si describen la evolución de un campo en un espacio-tiempo de fondo plano, y no autoconsistentes, ya que estas teorías predicen un corrimiento al rojo gravitatorio cero para la teoría ondulatoria de la luz ( ecuaciones de Maxwell ) y un desplazamiento distinto de cero para la teoría corpuscular ( fotones ). Otro ejemplo más obvio es la gravedad newtoniana combinada con las ecuaciones de Maxwell: en este caso, la luz como fotones es desviada por el campo gravitatorio (aunque dos veces más débil que en la relatividad general), pero las ondas de luz no lo son.

Como ejemplo de inconsistencia con la física newtoniana, se puede citar la teoría de Birkhoff (1943), que predice bastante bien los efectos relativistas, pero requiere que las ondas de sonido en la materia se propaguen a la velocidad de la luz, lo cual está completamente en desacuerdo con los experimentos.

Un ejemplo moderno de la ausencia de un componente relativista es Milgrom MOND, que se discutirá más adelante .

Principio de equivalencia de Einstein (EPE)

EPE tiene tres componentes.

El primer componente de EPE es la universalidad de la " caída libre ", conocida como el principio de equivalencia débil (WEP). Esta universalidad equivale a la equivalencia (más correctamente, la estricta proporcionalidad) de la masa gravitatoria y la inercial. El parámetro se utiliza como una medida de la infracción máxima permitida del POC. Los primeros experimentos fueron realizados por Galileo , quien descubrió la universalidad de la caída libre para cuerpos de diferente masa, y por Newton , quien la limitó a 10 −3 para la madera y el hierro . Los experimentos más famosos de Eötvös en las décadas de 1890 y 1900, que dieron el límite moderno: $\eta\;$ $\eta\;$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-9}}\;,$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-13}}\;.$

El segundo es la invariancia local de Lorentz (LLI). En ausencia de efectos gravitatorios, la velocidad de la luz debe ser constante. Las violaciones de esta disposición se miden por el parámetro Los primeros experimentos especiales, ahora interpretados como pruebas de LLI, la búsqueda del " viento de éter ", fueron realizados por Michelson y Morley en la década de 1880. y limitado por magnitud (ver experimento de Michelson-Morley ). Corrientemente $\delta\;.$ $\ delta \;$ $5\cdot 10^{{-3}}\;$ $\delta \leq 10^{{-21}}\;.$

El tercer componente es la invariancia espacio-temporal local (LSTI), que incluye tanto la invariancia espacial como la temporal.

La conjetura de Schiff establece que cualquier teoría completa de la gravedad autoconsistente que incluya el principio de equivalencia débil (WEP) necesariamente también incluye el EPE . Esta conjetura parece plausible, al menos para las teorías en las que se cumple la ley de conservación de la energía (por otro lado, también hay exóticos contraejemplos).

La herramienta de trabajo más conocida para describir las desviaciones de EPE es el llamado formalismo desarrollado por Lightman y Lee en 1973. En este caso, se considera la influencia del campo gravitatorio sobre la velocidad máxima de las partículas y sobre la velocidad de propagación de la interacción electromagnética. Más precisamente, se limita a la consideración de la interacción electromagnética de partículas de prueba sin estructura cargadas en un campo gravitacional estático esféricamente simétrico. A pesar de las limitaciones de este formalismo, tiene suficiente precisión para, por ejemplo, rechazar la teoría no métrica de Belinfante y Zweigart (1957) como inconsistente con los datos experimentales. $TH\varepsilon\mu\;$

Las teorías de la gravedad, como ya se mencionó, pueden ser métricas y no métricas. En las teorías métricas, las trayectorias de los cuerpos puntuales en caída libre son geodésicas de la métrica del espacio-tiempo, por lo que estas teorías satisfacen la EPE. A su vez, sin excepción, todas las teorías no métricas conocidas permiten violaciones de EPE, aunque en algunas teorías (por ejemplo, Einstein-Cartan ) estas desviaciones son tan pequeñas que no permiten la verificación experimental directa.

Formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN)

Véase también Predictions of General Relativity , Misner, Thorne, Wheeler (1973) y Will (1986).

El trabajo en un formalismo estándar, en lugar de ad-hoc, para probar modelos alternativos de gravedad fue iniciado por Eddington en 1922 y completado por Will y Nordvedt en 1972 (ver Nordtvedt & Will (1972) y Will & Nordtvedt (1972)). Este formalismo se basa en la física newtoniana y describe pequeñas desviaciones de ella, descritas por un conjunto estándar de parámetros PPN. Dado que se estudian las desviaciones de la física newtoniana, el formalismo es aplicable solo en campos débiles. Los efectos especiales de los campos intensos deben estudiarse por separado para cada teoría, que será objeto de mayor consideración.

10 parámetros PPN incluyen: $\gamma\;,$ $\beta\;,$ $\eta\;,$ $\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alpha _{3}\;,$ $\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta_{4}\;:$

$\gama\;$ es una medida de la curvatura del espacio por una masa gravitante, igual a 0 en la gravedad newtoniana y 1 en la relatividad general.
$\beta\;$ es una medida de no linealidad al aplicar campos gravitatorios, igual a 1 para la relatividad general.
$\eta\;$ describe los efectos de una posición privilegiada.
$\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alfa_{3}\;$ medir la magnitud y la naturaleza de los efectos de un marco de referencia preferido. Todas las teorías en las que al menos uno de los parámetros no es igual a 0 se denominan teorías con marco de referencia privilegiado. $\alfa\;$
$\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta _{4}\;,$ $\alfa_{3}\;$ describir las desviaciones de las leyes globales de conservación. En las teorías de la gravedad que contienen un conjunto completo de leyes de conservación: 4 para energía-momento y 6 para momento angular, todos estos parámetros deben ser iguales a 0.

Fuertes campos y ondas gravitacionales

Los parámetros PPN son una medida de los efectos de campos gravitatorios débiles. Se observan campos intensos en objetos compactos como enanas blancas , estrellas de neutrones y agujeros negros . Las posibilidades experimentales para probar las teorías de la gravedad en campos intensos incluyen la descripción de la estabilidad y las fluctuaciones de las enanas blancas y las estrellas de neutrones, la desaceleración de los púlsares , la evolución de las órbitas de las estrellas binarias cercanas (y especialmente de los púlsares binarios ) y el horizonte de los agujeros negros . .

La relatividad general predice ciertas propiedades de las ondas gravitatorias, en particular: su transversalidad, dos estados de polarización , velocidad de onda igual a la velocidad de la luz y el poder de radiación de un sistema de cuerpos astronómicos. Muchas teorías alternativas de la gravitación, incluso coincidentes con la relatividad general en términos de parámetros PPN, divergen de ella en términos de las propiedades de las ondas gravitacionales. Por ejemplo, algunas teorías llevan a la conclusión de que la velocidad de las ondas gravitacionales es mucho mayor que la velocidad de la luz. Si es así, entonces se violará el principio de causalidad , o se producirá el efecto de un marco de referencia inercial seleccionado en el espacio vacío, sin embargo, es difícil de detectar. Además, las diferencias en las propiedades de las ondas gravitatorias en tales teorías pueden afectar la magnitud del arrastre radiativo (asociado con la emisión de ondas gravitacionales) en sistemas binarios cercanos, que ya se ha medido.

Comprobaciones cosmológicas

La mayoría de las pruebas cosmológicas de las teorías de la gravedad se han desarrollado recientemente. Las teorías que pretenden eliminar la materia oscura están limitadas por la forma de las curvas de rotación de las galaxias , la relación Tully-Fisher , la rotación más rápida de las galaxias enanas y las observaciones de lentes gravitacionales de los cúmulos de galaxias.

Para las teorías desarrolladas para reemplazar la etapa inflacionaria de la expansión del Universo, una prueba directa es la magnitud de las faltas de homogeneidad en el espectro CMB .

Las teorías que incluyen o reemplazan la energía oscura estándar deben satisfacer los resultados conocidos sobre la dependencia del brillo de las supernovas con el corrimiento al rojo cosmológico y la edad del Universo.

Otra prueba podría ser la planitud espacial observable del universo. En relatividad general, la combinación de materia bariónica, materia oscura y energía oscura puede hacer que el universo sea exactamente plano. A medida que se refina este resultado, se imponen restricciones a las teorías que reemplazan la materia oscura y la energía oscura.

Resultados de la prueba

Parámetros PPN para varias teorías

(Ver Will (1986) y Nee (1972) para más detalles. Misner, Thorne, Wheeler (1977) dan una tabla de traducciones de la notación de Nee y Will).

La relatividad general ha existido durante más de 90 años, pero hasta ahora todas las teorías alternativas han ido cayendo una tras otra bajo la avalancha de datos experimentales. Esta posición está más claramente ilustrada por el formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN).

La siguiente tabla contiene los parámetros PLO para muchas teorías de la gravedad. Si el valor de la celda coincide con el nombre de la columna, la fórmula completa es demasiado compleja para reproducirla aquí.

	$\gama$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	$\alpha _{3}$	$\zeta_{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
Einstein (1916) - OTO	una	una	0	0	0	0	0	0	0	0
Teorías escalares-tensoriales
Bergmann (1968), Waggoner (1970)	$\textstyle {\frac {1+\omega}{2+\omega}}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Nordt Vedt (1970), Bekenstein (1977)	$\textstyle {\frac {1+\omega}{2+\omega}}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Brans-Dicke (1961)	$\textstyle {\frac {1+\omega}{2+\omega}}$	una	0	0	0	0	0	0	0	0
Teorías del tensor vectorial
Hellings Nordtvedt (1973)	$\gama$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Will Nordtvedt (1972)	una	una	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Teorías bimétricas
Rosa (1975)	una	una	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Rastall (1979)	una	una	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Ligero Lee (1973)	$\gama$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
teorías estratificadas
Lee Lightman Ni (1974)	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Ni (1973)	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
teorías escalares
Einstein (1912) (¡No GR!)	0	0		−4	0	−2	0	−1	0	0†
Whitrow Morduch (1965)	0	−1		−4	0	0	0	−3	0	0†
Rosa (1971)	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	−4	0	−1	0	0
Paperrou (1954a, 1954b)	una	una		−8	−4	0	0	2	0	0
Ni (1972) (estratificado)	una	una		-ocho	0	0	0	2	0	0
Yilmaz (1958, 1962)	una	una		−8	0	−4	0	−2	0	−1†
Página Tupper (1968)	$\gama$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{{4}}$
Nordstrom (1912)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0†
Nordström (1913), Einstein-Fokker (1914)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni (1972) (plano)	−1	1− q		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Whitrow Morduch (1960)	−1	1− q		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood (1953), Bergman (1956)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	−1	0	0†

† La teoría es incompleta y puede tener dos significados. Se muestra el valor más cercano a 0. $\zeta _{{4}}$

Todos los resultados experimentales sobre el movimiento de satélites y planetas grandes y pequeños para 2007 son consistentes con la relatividad general, por lo que el formalismo PPN excluye inmediatamente todas las teorías escalares presentadas en la tabla.

La lista completa de parámetros PPN es desconocida para la teoría de Whitehead (1922), Deser-Loren (1968) y Bollini-Giambini-Thiomno (1970), pero para ellos , que contradice directamente GR y experimento. En particular, estas teorías predicen la amplitud incorrecta de las mareas de la Tierra. $\beta=\xi$

Teorías que fallan en otras pruebas

Todas las teorías no métricas conocidas, como las de Belinfante y Zweigart (1957a, 1957b), a excepción de la teoría de Einstein-Cartan , contradicen las restricciones experimentales sobre la validez del principio de equivalencia de Einstein.

Las teorías estratificadas de Nee (1973), Lee, Lightman y Nee (1974) y otros no predicen el desplazamiento del perihelio de Mercurio.

Las teorías bimétricas de Lightman y Lee (1973), Rosen (1975) y Rastall (1979) no pasan la prueba en campos gravitatorios intensos.

Las teorías de tensores escalares incluyen la relatividad general como un caso límite especial, pero son consistentes con sus parámetros PST solo cuando coinciden con la relatividad general. A medida que las comprobaciones experimentales se vuelven más precisas, las desviaciones de las teorías escalares-tensoriales respecto de la relatividad general desaparecen.

Lo mismo es cierto para las teorías de vector-tensor. Además, las teorías de tensores vectoriales son semiconservadoras; tienen un valor distinto de cero , lo que podría causar efectos medibles en las mareas terrestres. $\alpha_2$

Estas consideraciones no dejan teorías como alternativas plausibles a la relatividad general (excepto quizás la teoría de Cartan (1922), que puede violar EPP).

Esta era la situación en el momento en que los descubrimientos en cosmología desencadenaron el desarrollo de alternativas modernas.

Teorías modernas: de la década de 1980. hasta la fecha

Esta sección describe alternativas a la relatividad general desarrolladas después de la publicación de las observaciones de la rotación diferencial de las galaxias, que conducen a la hipótesis de la " materia oscura ".

No se ha llevado a cabo una comparación detallada de estas teorías con la totalidad de todos los datos experimentales.

Las teorías descritas incluyen la de Bekenstein (2004) y 3 teorías de Moffat : (1995), (2002) y (2005a, b). Incluyen una constante cosmológica o un potencial escalar o vectorial adicional que realiza la misma función.

Razones para el surgimiento de nuevas teorías

Los motivos para el desarrollo del gran número de nuevas alternativas a la relatividad general son las observaciones astronómicas de los últimos años, que han llevado a la necesidad de introducir conceptos como “inflación”, “materia oscura” y “energía oscura” en la astrofísica y la cosmología. basado en la teoría general de la relatividad. Las nuevas teorías tratan de describir los mismos datos experimentales sin utilizar conceptos que a los creadores de estas teorías les parecen erróneos o artificiales. La idea principal es que la gravedad debería ser consistente con la relatividad general al menos dentro del sistema solar en la época actual, pero puede ser significativamente diferente en las escalas galácticas y más allá, así como en el universo primitivo.

La noción se extendió gradualmente entre los físicos de que el escenario clásico del Big Bang enfrentaba dificultades, las dos más serias de las cuales eran el problema del horizonte y la observación de que en el universo muy primitivo, en el momento en que se suponía que se formaban los quarks , simplemente no había t suficiente espacio para que el universo contenga al menos un quark. Para superar estas dificultades, se desarrolló el modelo inflacionario . Su alternativa era una serie de teorías en las que la velocidad de la luz en el universo primitivo era mayor que la actual.

El descubrimiento del comportamiento específico de las curvas de rotación de las galaxias sorprendió a la comunidad científica. Surgieron dos alternativas: o hay mucha más materia no luminosa en el Universo de lo que se pensaba anteriormente, o la propia teoría de la gravedad es incorrecta a gran escala. La opinión predominante en la actualidad es la primera opción con la llamada "materia oscura fría", pero el camino para reconocer su realidad pasó por varios intentos de desarrollar una teoría de la gravedad que no requiera masas invisibles además de observables, y estos Las teorías todavía tienen sus admiradores entre los físicos y los astrónomos.

El descubrimiento de la expansión acelerada del universo por parte del grupo de Perlmutter supuso un rápido renacimiento de la idea de la constante cosmológica, así como de la quintaesencia como alternativa a la misma. Se ha desarrollado al menos una nueva teoría de la gravedad para explicar los resultados de Perlmutter desde una perspectiva completamente diferente.

Otro resultado experimental reciente que genera interés en las teorías no GR es la anomalía de Pioneer . Rápidamente se descubrió que teorías alternativas de la gravedad podían explicar las características cualitativas del efecto observado, pero no su magnitud. Cualquier modelo conocido que reproduzca con precisión la anomalía se desvía fuertemente de la relatividad general y, como resultado, contradice otros resultados experimentales [14] . Además, hay datos preliminares que indican que el efecto puede ser causado por la radiación térmica desigual de varios elementos estructurales de estos dispositivos [15] .

Constante cosmológica y quintaesencia

(ver también Constante cosmológica , Acción de Einstein-Hilbert , Quintaesencia (cosmología) )

La constante cosmológica en las ecuaciones de Einstein es una idea muy antigua que se remonta al mismo Einstein (1917). El éxito del modelo del Universo de Friedmann , en el que [16] , hizo que predominara la opinión de que es igual a cero, pero los resultados de Perlmutter sobre la aceleración de la expansión del Universo dieron un nuevo aliento. $\lambda\;$ $\lambda=0\;$ $\Lambda \neq 0\;$

Consideremos primero cómo la constante cosmológica afecta las ecuaciones de la gravedad newtoniana y la relatividad general, y luego esbozaremos las posibilidades de su inclusión en otras teorías de la gravedad.

En la teoría de Newton, la suma cambia la ecuación de Newton-Poisson de $\lambda\;$

\nabla ^{2}\phi =4\pi\rho\;

antes de

\nabla ^{2}\phi -\Lambda \phi =4\pi \rho \;.

En relatividad general, la introducción del término cosmológico cambia la acción de Einstein-Hilbert de

S={1 \sobre 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;

antes de

S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;,

con un cambio correspondiente en las ecuaciones de campo de

T^{{\mu \nu }}={1 \sobre 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\;

antes de

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2+\Lambda g^ {{\mu\nu)))\;.

En teorías métricas alternativas de la gravedad, esta constante se puede introducir de forma completamente similar.

La constante cosmológica no es la única forma de obtener la aceleración de la expansión del universo en la relatividad general y las teorías alternativas de la gravedad. Su papel puede ser desempeñado con éxito por el potencial escalar en las teorías escalares-tensoriales. En general, si la teoría contiene un campo gravitacional escalar , entonces agregar un término a la parte gravitacional de la acción puede, para varios tipos de esta función, reproducir cualquier historia predeterminada de expansión cosmológica. Las consideraciones de simplicidad y naturalidad conducen a dependencias tales que la aceleración de la expansión es grande en el Universo primitivo y disminuye en la época actual. Este campo se llama la quintaesencia. $\lambda (\varphi)\;$ $\varphi\;,$ $\lambda (\varphi)\;$ $\lambda (\varphi)\;$ $\varfi\;$

Una técnica similar también funciona en el caso de los campos gravitatorios vectoriales, que aparecen en la teoría de Rastall (1979) y en las teorías vectortensoriales. Agregar un término a la acción gravitacional conduce a una imitación de la constante cosmológica. $K^{\mu }K^{\nu }g_{{\mu \nu }}\;$

MOND Relativista (Dinámica Newtoniana Modificada)

(Consulte Dinámica newtoniana modificada , Teoría de la gravedad escalar-vector-tensor y Bekenstein (2004) para obtener más detalles).

La teoría MOND original fue desarrollada por Milgrom en 1983 como una alternativa a la "materia oscura". Las desviaciones de la naturaleza newtoniana de la gravedad ( ) se observan a cierta aceleración, y no a cierta distancia. MOND explica con éxito las relaciones Tully-Fisher: la luminosidad de una galaxia cambia en proporción a la cuarta potencia de su velocidad de rotación. Esta teoría también muestra por qué las desviaciones del patrón de rotación esperado son mayores en las galaxias enanas. ${\displaystyle F\sim r^{-2))$

La teoría original tenía varios defectos:

i. No incluye efectos relativistas. ii. Violó las leyes de conservación de energía, momento y momento angular. iii. Era contradictorio en sí mismo, ya que predecía diferentes órbitas galácticas para el gas y las estrellas. IV. Hizo imposible calcular la lente gravitacional de los cúmulos de galaxias.

En 1984 problemas ii. y iii. se resolvieron encontrando la forma lagrangiana de esta teoría (en inglés AQUAL). La versión relativista del lagrangiano obtenido, correspondiente a la teoría del tensor escalar, fue rechazada, ya que daba ondas de campo escalares que se propagaban más rápido que la velocidad de la luz. El lagrangiano no relativista tiene la siguiente forma:

L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {|\nabla \varphi |^{2} \over a_{0}^{2}}\right\rbrack -\rho\varphi\;.

Su versión relativista

L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde f}(L^{2}g^({\mu \nu }}\parcial _{\mu }\phi \ parcial _ {\ nu } \ phi ) \;

tiene un término de masa no estándar. Aquí , y son funciones arbitrarias limitadas únicamente por los requisitos del comportamiento correcto de la teoría en los límites newtoniano y MOND. $F\;$ $\tilde f$

En 1988, se propuso una versión de la teoría con un campo escalar adicional (ing. PCC), resolviendo los problemas de la versión anterior, pero sus predicciones resultaron ser contradictorias con los datos sobre el desplazamiento del perihelio de Mercurio y gravitacional . lente de las galaxias y sus cúmulos.

En 1997, MOND se incorporó con éxito a la teoría estratificada relativista de Sanders, pero esta teoría, como cualquier teoría estratificada, tiene problemas significativos con los efectos de los marcos de referencia seleccionados.

Bekenstein (2004) creó un modelo tensor-vector-escalar (TeVeS). Tiene dos campos escalares y un campo vectorial La acción se divide en partes gravitacional, escalar, vectorial y material $\varfi\;$ $\sigma\;,$ $U_{\alfa}\;.$

S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}\;.

La parte gravitatoria es la misma que en la relatividad general,

S_{s}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\int [\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi_{ ,\beta }+\textstyle {\frac {1}{2}}Gl^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})]{\sqrt {-g}}d^ {4}x\;,

S_{v}=-{K \over 32\pi G}\int [g^{{\alpha \beta }}g^{{\mu \nu }}U_{{[\alpha ,\mu ]}} U_{{[\beta ,\nu ]}}-2(\lambda /K)(g^{\mu }\nu U_{\mu }U_{n}u+1)]{\sqrt {-g} }d^{4}x\;,

S_{m}=\int L({\tilde g}_{{\mu \nu )),f^{\alpha },f_{{|\mu ))^{\alpha },\cdots ){\ sqrt {-g}}d^{4}x\;,

donde por definición , , es la longitud característica, y son constantes, los corchetes alrededor de los índices denotan antisimetrización, es el factor lagrangiano , y es el lagrangiano convertido de espacio-tiempo plano a curvado arbitrariamente con la métrica . $h^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \beta }}-U^{\alpha }U^{\beta }\;$ $yo\;$ $k\;$ $K\;$ $U_{{[\alfa,\mu]}}\;$ $\lambda\;$ ${\tilde g}^{{\alpha \beta }}=e^{{2\phi }}g^{{\alpha \beta }}+2U^{\alpha }U^{\beta }\operatorname { sh}(2\varfi)\;$ $L\;$ ${\ tilde g}^{{\alpha \beta }}\;$

$F\;$ es nuevamente una función arbitraria, y se dio como ejemplo de una función que da el comportamiento asintótico correcto; tenga en cuenta que para esta función no está definida. $F(\mu )=\textstyle {\frac 34}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }\;$ $\mu=1\;$

Los datos sobre las estadísticas de lentes gravitacionales débiles, publicados en 2010, contradicen el modelo original de Bekenstein, y también tiene dificultades para explicar los efectos en las galaxias en colisión [17] .

Las teorías de la gravedad de Moffat

En 1995, Moffat desarrolló una teoría de la gravedad asimétrica no métrica (NTG). Se ha argumentado que carece de horizontes de agujeros negros, pero Burko y Ori (1995) han demostrado que este no es el caso, y que los agujeros negros pueden existir en tal teoría de la gravedad.

Más tarde , Moffat afirmó que su teoría explicaba las curvas de rotación de las galaxias sin involucrar a la "materia oscura". Damour, Dezer y McCarthy (1993) han criticado a NTG por su comportamiento asintótico inaceptable.

La formulación matemática de la teoría no es difícil, pero sí compleja, por lo que lo que sigue es solo un breve resumen. La teoría introduce un tensor asimétrico y la densidad lagrangiana se divide en dos partes: gravitatoria y material. $g_{{\mu\nu}}\;$

L=L_{R}+L_{M}\;,

además, el Lagrangiano de la materia tiene la misma forma que en la relatividad general, y $L_{M}\;$

L_{R}={\sqrt {-g}}[R(W)-2\lambda -\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}g^({\mu \nu }}g_{{[ \mu \nu ]}}]-\textstyle {\frac 16}g^({\mu \nu }}W_{\mu }W_{\nu }\;,

donde es un término de curvatura similar pero no idéntico a la curvatura escalar de GR y son constantes cosmológicas, es la parte antisimétrica y es una conexión obtenida de forma recursiva específica. Como primera aproximación $R(W)\;$ $\lambda\;$ $\mu^{2}\;$ $g_{{[\n\mu]}}\;$ $g_{{\nu\mu}}\;,$ $W_{\mu}\;$ $W_{\mu }\approx -2g_{{[\mu \nu ]}}^{{,\nu }}\;.$

El autor afirma que la teoría de Moffat (2002) es una teoría bimétrica escalar-tensor de la gravedad y una de las muchas teorías en las que la velocidad de la luz era más rápida en el universo primitivo. Estas teorías cobran vida, en particular, por el deseo de evitar el "problema del horizonte" sin invocar la inflación. La constante gravitacional en esta teoría es variable, además, trata de explicar la falta de brillo de las supernovas en términos que no incluyen la aceleración de la expansión del Universo, arriesgándose así a predecir un tiempo demasiado corto para la existencia del Universo. . $GRAMO\;$

En un sentido general, esta teoría parece poco convincente. La acción se divide en partes gravitacionales, escalares y materiales. Las ecuaciones del campo gravitacional y escalar coinciden con las ecuaciones estándar de la teoría de Brans-Dicke con una constante cosmológica y un potencial escalar, pero incluyen la métrica de Minkowski. Solo el término material usa una métrica no plana, que es

g_{{\mu \nu }}=\eta _ {{\mu \nu }}+B\parcial _ {\mu }\varphi \parcial _ {\nu }\varphi \;,

donde tiene la dimensión del cuadrado de la longitud. Esta teoría al menos no pasa la prueba de la invariancia de Lorentz y la desviación de la luz en un campo gravitatorio. $B\;$

La teoría métrica del tensor antisimétrico ( Moffat (2005a)) predice las curvas de rotación de las galaxias sin invocar los conceptos de "materia oscura" o MOND, y se dice que también puede explicar con éxito la formación de lentes gravitacionales en los cúmulos de galaxias. Tiene una variable , aumentando hasta su valor actual final alrededor de un millón de años después del Big Bang. $GRAMO\;$

Esta teoría contiene campos tensoriales y vectoriales antisimétricos . La acción incluye 4 términos: gravitacional, campo, interacciones y material. $A_{{\mu\nu}}\;$ $J_{\mu}\;$

S=S_{G}+S_{F}+S_{{FM}}+S_{M}\;.

Los términos de gravedad y materia coinciden con los de la relatividad general con una constante cosmológica. La acción del campo y el término de interacción del campo antisimétrico con la materia tienen la forma:

S_{F}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}(\textstyle {\frac 1{12}}F_({\mu \nu \rho }}F^{{\mu \ nu \rho }}-\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}A_({\mu \nu }}A^({\mu \nu }})\;,

S_{{FM}}=\int d^{4}x\epsilon ^({\alpha \beta \mu \nu }}A_{{\alpha \beta }}\parcial _{\mu }J_{\nu }\;,

dónde

F_{{\mu \nu \rho }}=\parcial _ {\mu }A_{{\nu \rho }}+\parcial _ {\rho }A_{{\mu \nu }}\;,

a es el símbolo de Levi-Civita . La interacción tiene una forma de Pauli y es invariante de calibre para cualquier fuente de corriente, que a su vez parece un campo fermiónico material , asociado con el número bariónico y leptónico . $\epsilon ^{{\alpha \beta \mu \nu }}\;$

La teoría de la gravedad escalar-tensor-vectorial de Moffat (2005b) contiene tensor, vector y tres campos escalares , , , pero sus ecuaciones de campo son bastante simples. La acción se divide en partes gravitacional, vectorial, escalar y material: $K_ {\mu}$ $GRAMO\;$ $\omega\;$ $\mu\;$

S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}\;.

$S_{G}\;$ tiene una forma estándar, con la excepción de introducir un multiplicador debajo de la integral $GRAMO\;.$

S_{K}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g))\omega (\textstyle {\frac 14}B_({\mu \nu ))B^{{\mu \nu } }+V(K))\;,

dónde $B_{{\mu \nu }}=\parcial _ {\mu }K_{\nu }-\parcial _ {\nu }K_{\mu }\;,$

S_{S}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}({1 \over G^{3}}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\ nabla _{\mu}G\nabla _{\nu}GV(G))+

{\ quad ^{{}}}+{1 \sobre G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\omega \nabla _{\nu }\omega -V(\omega))+

{\ quad ^{{}}}+{1 \over \mu ^{2}G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\mu \nabla _ {\nu}\mu -V(\mu )))\;.

El potencial para el campo vectorial se elige de la siguiente forma:

V(K)=-\textstyle {\frac 12}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\phi _{\mu }-\textstyle {\frac 14}g(\varphi ^{\mu } \varphi _{\mu})^{2}\;,

donde es la constante de acoplamiento. No se especificaron las funciones potenciales de los campos escalares. $gramo\;$

Notas

↑ Bronshten V. A. ¿Cómo se mueve la Luna? - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1990. - 208 p. - 117.000 ejemplares. — ISBN 5-02-014071-6 .
↑ Bogorodsky A.F. Capítulo 2 // Gravitación universal. - Kyiv: Naukova Dumka, 1971. - 128 p. - 6600 copias.
↑ Comerciante G.-Yu. Capítulo I // Relatividad de la inercia = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitat der Tragheit. Berlín, 1972 / Per. con él. K. A. Bronnikova. Bajo la dirección del prof. K. P. Stanyukovich. - M. : Atomizdat, 1975. - 128 p. - 6600 copias.
↑ Gerber, P. Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation (alemán) // Zeitschrift für mathematische Physik. - 1898. - T. 43 . - S. 93-104 .
↑ Zenneck, J. Gravitación (alemán) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - T. 5 . - S. 25-67 . (enlace no disponible)
↑ Rosever N. T. Perihelio de Mercurio. De Le Verrier a Einstein = Roseveare NT Perigelion de Mercurio de Le Verrier a Einstein / Per. De inglés. A. S. Rastorguev, ed. V. K. Abalakina. — M .: Mir, 1985. — 246 p. — 10.000 copias.
↑ Lorentz, HA Consideraciones sobre la Gravitación (neopr.) // Proc. Academia Ámsterdam. - 1900. - T. 2 . - S. 559-574 .
↑ País, Abraham. (1989) Actividad científica y vida de Albert Einstein. Por. De inglés. V. I. y O. I. Matsarskikh; ed. A. A. Logunova. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] p., [4] p. il ., 22 cm - ISBN 5-02-014028-7 . Traducción al ruso del libro Pais, Abraham. 'Sutil es el Señor...': LA CIENCIA Y LA VIDA DE Albert EINSTEIN. — PRENSA DE LA UNIVERSIDAD DE OXFORD, 1982.
↑ 1 2 Vizgin V.P. Capítulo I, sección 2. // Teoría relativista de la gravitación (orígenes y formación. 1900-1915). — M .: Nauka, 1981. — 352 p. - 2000 copias.
↑ Walter, S. (2007), Rompiendo los 4 vectores: el movimiento de cuatro dimensiones en la gravitación, 1905–1910 , en Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlín: Springer) . — T. 3: 193–252
↑ También hay una edición en inglés posterior de Will (1993).
↑ La formulación anterior del principio no se corresponde completamente con las declaraciones originales de Mach, consulte el artículo El principio de Mach para obtener más detalles.
↑ Will (1986) enumera esta teoría como bimétrica, aunque también puede clasificarse como una teoría vectorial.
↑ L. Iorio y J. Giudice, ¿Qué nos dicen los movimientos orbitales de los planetas exteriores del Sistema Solar sobre la anomalía Pioneer? Nueva Astronomía 11 (2006) 600
↑ Se encuentra el motivo de la aceleración anormal de los Pioneers . Fecha de acceso: 31 de enero de 2012. Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2011. (indefinido)
↑ Los dos artículos cosmológicos seminales de Friedman consideran soluciones generales correspondientes a . $\Lambda \neq 0\;$
↑ Einstein pasa la prueba cósmica: Nature News . Consultado el 10 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 21 de abril de 2011. (indefinido)

Literatura

Gilbert D. (1915) FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA (Primer mensaje) // Albert Einstein y la teoría de la gravedad / Per. con alemán, inglés, francés - M.: Mir, 1979. - S. 133-145.
Traducción al ruso de
Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Nachrichten K. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Math.-phys. Clase, 1915, Peso 3, S. 395.
Vizgin V. P. Teoría relativista de la gravitación (orígenes y formación, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352 p.
Vizgin V.P. Teorías unificadas en el 1er tercio del siglo XX. — M.: Nauka, 1985. — 304 p.
Pais A. Actividad científica y vida de Albert Einstein / Per. De inglés. V. I. y O. I. Matsarskikh; ed. A. A. Logunova. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] p. — ISBN 5-02-014028-7 .
Traducción al ruso del libro
Pais, Abraham. 'Sutil es el Señor...': LA CIENCIA Y LA VIDA DE Albert EINSTEIN. — PRENSA DE LA UNIVERSIDAD DE OXFORD, 1982.
Will K. Teoría y experimento en física gravitacional / Per. De inglés. — M.: Energoatomizdat , 1985. — 296 p.
Traducción al ruso del libro
Will, Clifford M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Universidad de Cambridge. Press, 1981.
Existe una edición inglesa posterior, véase Will (1993).
Barker, BM (1978) Teoría escalar-tensor general de la gravedad con G constante, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ…219…5B (enlace no disponible)
Bekenstein, JD (1977) ¿Son variables las masas en reposo de las partículas? Revisión física D 15, 1458-1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1 (enlace no disponible)
Bekenstein, JD (2004) Teoría de la gravitación revisada para el paradigma dinámico newtoniano modificado. física Rvdo. D70, 083509
Belinfante, FJ y Swihart, JC (1957a) Teoría lineal fenomenológica de la gravitación Parte I, Ann. física 1, 168
Belinfante, FJ y Swihart, JC (1957b) Teoría lineal fenomenológica de la gravitación Parte II, Ann. física 2, 196
Bergman, O. (1956) La teoría del campo escalar como teoría de la gravitación, Amer. J Phys. 24, 39
Bergmann, PG (1968) Comentarios sobre la teoría escalar-tensor, Int. J. Teor. física 1, 25-36
Birkhoff, GD (1943) Materia, electricidad y gravitación en el espacio-tiempo plano. proc. Nat Acad. ciencia Estados Unidos 29, 231-239
Bollini, CG, Giambiaga, JJ y Tiomno, J. (1970) Una teoría lineal de la gravitación, Nuovo Com. Letón. 3, 65-70
Brans, C. y Dicke, RH (1961) El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación. física Rvdo. 124, 925-935
Burko, Lior M. & Ori, Amos (1995) Observaciones sobre la formación de agujeros negros en gravedad no simétrica. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9507009
Cartan, E. (1922) Sur una generalización de la noción de courbure de Riemann st les espaces a torsion. Academia ciencia París, Comptes Rend. 174, 593-595
Cartan, E. (1923) Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee. Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure Ser. 3, 40, 325-412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf
Damour, T., Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) La gravedad no simétrica tiene asintótica inaceptable, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf (enlace no disponible)
Deser, S. y Laurent, BE (1968) Gravitación sin autointeracción, Annals of Physics 50, 76-101
Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355-369
Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Analen der Physik 38, 443
Einstein, A. y Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
Einstein, A. y Fokker, AD (1914) Die Nordstromsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalkuls. Annalen der Physik 44, 321-328
Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
Einstein, A. (1917) Uber die Spezielle und die Allgemeinen Relativatatstheorie, Gemeinverstandlich, Vieweg, Braunschweig
Fierz, M. y Pauli, W. (1939) Sobre ecuaciones de onda relativistas para partículas de espín arbitrario en un campo electromagnético. proc. Sociedad Real Londres 173, 211-232
Hellings, WH y Nordtveldt Jr, K. (1973) Teoría vectorial métrica de la gravedad, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
Ivanenko, D. y Sardanashvily G. (1983) Tratamiento de calibre de la gravedad, Physics Reports 94, 1-45
Jordan, P. (1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
Kustaanheimo, P. (1966) Dependencia de la ruta del corrimiento al rojo gravitacional. física Letón. 23, 75-77
Kustaanheimo, PE y Nuotio, VS (1967) Publ. Astron. obs. Helsinki no. 128
Lang, R. (2002) Fundamentos experimentales de la relatividad general, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt Archivado el 1 de marzo de 2008 en Wayback Machine .
Lee, DL, Lightman, AP y Ni, WT (1974) Leyes de conservación y principios variacionales en teorías métricas de la gravedad, Physical Review D 10, 1685-1700, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v10/ i6/p1695_1 (enlace no disponible)
Lightman, AP y Lee, DL (1973), Nueva teoría bimétrica de la gravedad con geometría previa, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
Littlewood, DE (1953) Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 49, 90-96
Milne EA (1948) Relatividad cinemática , Clarendon Press, Oxford
Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, JA (1973) Gravitación, W. H. Freeman & Co.
Moffat, JW (1995) Teoría gravitacional asimétrica, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf (enlace no disponible)
Moffat, JW (2002) Teoría de la gravedad bimétrica, velocidad variable de la luz y atenuación de las supernovas, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf (enlace muerto)
Moffat, JW (2005a) Teoría gravitacional, curvas de rotación de galaxias y cosmología sin materia oscura, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf (enlace no disponible)
Moffat, JW (2005b) Teoría de la gravedad escalar-tensor-vectorial, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf (enlace no disponible)
Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
Ni, W. T. (1972) Marcos teóricos para probar la gravedad relativista IV, The Astrophysical Journal 176, 769-796
Ni, W. T. (1973) Una nueva teoría de la gravedad, Physical Review D 7, 2880-2883
Nordtvedt Jr, K. (1970) Métrica post-newtoniana para una clase general de teorías gravitacionales escalares-tensoras con consecuencias observacionales, The Astrophysical Journal 161, 1059
Nordtvedt Jr, K. y Will CM (1972) Leyes de conservación y marcos preferidos en la gravedad relativista II, The Astrophysical Journal 177, 775
Nordstrom, G. (1912), Relatiovitatsprinzip und Gravitation. física Zeitschr. 13, 1126
Nordstrom, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitatsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
Pais, A. (1982) Sutil es el Señor, Clarendon Press
Page, C. y Tupper, BOJ (1968) Teorías gravitatorias escalares con velocidad variable de la luz, Mon. No. R. Astr. soc. 138, 67-72
Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
Papapetrou, A. (1954b) Matemáticas. Nach., 12, 129 y Matemáticas. Nach., 12, 143
Poincaré, H. (1908) Ciencia y método
Rastall, P. (1979) La teoría newtoniana de la gravitación y su generalización, Canadian Journal of Physics 57, 944-973
Rosen, N. (1971) Teoría de la gravitación, Physical Review D 3, 2317
Rosen, N. (1973) Una teoría bimétrica de la gravitación, General Relativity and Gravitation 4, 435-447.
Rosen, N. (1975) Una teoría bimétrica de la gravitación II, General Relativity and Gravitation 6, 259-268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf (enlace no disponible)
Scherrer, W. (1941) Zur Theorie der Elementarteilchen. Verhandlungen der Schweizer Naturforschenden Gesellschaft 121, 86-87.
Thiry, Y. (1948) Las ecuaciones de la teoría unitaria de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (París) 226, 216
Trautman, A. (1972) Sobre las ecuaciones de Einstein-Cartan I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
Turyshev, SG (2007) Tests of Relativistic Gravity in 21st Century: History, Recent Progress and Future Directions, http://www.zarm.uni-bremen.de/Q2C2/presentations/turyshev.pdf Archivado el 1 de marzo de 2008 en Wayback Máquina
Waggoner, RV (1970) Teoría del tensor escalar y ondas gravitacionales, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
Whitehead, AN (1922) Los principios de la relatividad , Cambridge Univ. Prensa
Whitrow, GJ y Morduch, GE (1960) Relatividad general y teorías de gravitaciones invariantes de Lorentz, Nature 188, 790-794
Whitrow, GJ y Morduch, GE (1965) Teorías relativistas de la gravitación, Vistas in Astronomy 6, 1-67
Will, CM (1981, 1993) Teoría y Experimento en Física Gravitacional, Universidad de Cambridge. Prensa
Will, CM (2001) La confrontación entre la relatividad general y el experimento, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will
Will, CM y Nordtvedt Jr, K. (1972) Leyes de conservación y marcos preferidos en la gravedad relativista I, The Astrophysical Journal 177, 757
Yilmaz, H. (1958) Nuevo enfoque de la relatividad general, Phys. Rvdo. 111, 1417
Yilmaz, H. (1973) Nuevo enfoque de la relatividad y la gravitación, Annals of Physics 81, 179-200

Enlaces

Voluntad, Clifford M. (2006-03-27). “La confrontación entre la relatividad general y el experimento” . Reseñas vivas en relatividad . 9 (1): 3.arXiv : gr-qc/0510072 . Código Bib : 2006LRR.....9....3W . DOI : 10.12942/lrr-2006-3 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256066 . PMID28179873 ._ _