La teoría clásica de la gravedad de Newton

La teoría clásica de la gravitación de Newton ( ley de la gravitación universal de Newton ) es una ley que describe la interacción gravitatoria en el marco de la mecánica clásica . Esta ley fue descubierta por Newton alrededor de 1666, publicada en 1687 en los Principia de Newton .

La ley dice que la fuerza de atracción gravitacional entre dos puntos materiales con masas y separados por la distancia actúa a lo largo de la línea recta que los une, es proporcional a ambas masas y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia [1] . Eso es:

. (una)

Aquí  está la constante gravitatoria igual a [2] : 6.67430(15) 10 −11 m³/(kg s²).

Propiedades de la gravedad newtoniana

En la teoría newtoniana, cada cuerpo masivo genera un campo de fuerza de atracción hacia ese cuerpo, llamado campo gravitacional .

La interacción gravitatoria en la teoría de Newton se propaga instantáneamente, ya que la fuerza gravitatoria depende únicamente de la posición relativa de los cuerpos que se atraen en un momento dado. Además, para las fuerzas gravitacionales newtonianas, el principio de superposición es válido : la fuerza gravitatoria que actúa sobre una partícula desde varias otras partículas es igual a la suma vectorial de las fuerzas de atracción de cada partícula.

Otra propiedad importante de la gravedad clásica es el principio de equivalencia [3] . Su consecuencia es el hecho de que la aceleración impartida a un cuerpo dado por la gravedad no depende de la masa de este cuerpo, composición química y otras propiedades. Esto se puede ver por el hecho de que la masa está igualmente incluida en la expresión de la fuerza en la ley de gravitación y en la expresión de la fuerza en términos de aceleración en la segunda ley de Newton . Así, en esta teoría, la aceleración de un punto o pequeño cuerpo bajo la acción de una fuerza gravitatoria es siempre exactamente igual a la intensidad del campo gravitatorio [4] , definida como la relación

Un cuerpo esféricamente simétrico crea el mismo campo fuera de sus límites que un punto material de la misma masa ubicado en el centro del cuerpo. Dentro de un caparazón esféricamente simétrico (que tiene una cavidad esférica o seleccionado convencionalmente, siendo en realidad parte de algún cuerpo), el campo creado por él [5] tiene intensidad cero (y, en consecuencia, un potencial constante), es decir, un campo esféricamente simétrico el caparazón no atrae a los que están dentro de su cuerpo y, en general, no los afecta de ninguna manera a través de la gravedad.

Aquí debemos agregar la afirmación, obvia de lo anterior y de la tercera ley de Newton , de que la gravitación de fuentes externas también actúa sobre un cuerpo esféricamente simétrico exactamente como lo hace sobre un cuerpo puntual de la misma masa ubicado en el centro de simetría. Y de esto se sigue que dos cuerpos esféricamente simétricos de dimensiones finitas se atraen exactamente de la misma manera que los cuerpos puntuales de las mismas masas situados en sus centros. Esta afirmación resulta lo suficientemente importante para la mecánica celeste, porque muchos cuerpos celestes tienen exactamente una forma esféricamente simétrica (aunque no exactamente) que, además del hecho de que las distancias entre los cuerpos celestes son a menudo (generalmente) muchas veces mayores que sus tamaños, simplifica las teorías de aplicación a ellos, porque la fuerza de su interacción (en la aproximación correspondiente, que generalmente resulta ser muy buena) y, en consecuencia, la aceleración, se calcula tan simplemente como para los puntos materiales, es decir. simplemente por la fórmula (1).

El campo gravitatorio en la teoría de Newton es potencial , en conexión con esto, el potencial gravitacional puede usarse para describirlo.Si el campo es creado por una masa puntual ubicada en el origen , el potencial gravitatorio está determinado por la fórmula:

, (1.1)

(aquí el potencial en el infinito, como se suele hacer, se toma igual a cero).

En el caso general, cuando la densidad de la materia se distribuye arbitrariamente, se satisface la ecuación de Poisson :

. (1.2)

La solución de esta ecuación [6] se escribe como:

. (1.3)

Aquí  , es el radio vector del punto en el que se determina el potencial,  es el radio vector del elemento de volumen con la densidad de la sustancia , y la integración cubre todos esos elementos;  es una constante arbitraria; la mayoría de las veces se toma igual a cero, como se hace en la fórmula anterior para una fuente puntual.

La fuerza de atracción que actúa en un campo gravitatorio sobre un punto material con masa está relacionada con el potencial por la fórmula:

. (1.4)

Si el campo es creado por una masa puntual ubicada en el origen de coordenadas, entonces una fuerza actúa sobre la masa puntual

. (1.5)

La magnitud de esta fuerza depende únicamente de la distancia entre las masas, pero no de la dirección del radio vector (ver la fórmula en el preámbulo).

La trayectoria de un punto material en un campo gravitacional creado por un punto de masa mucho mayor obedece las leyes de Kepler . En particular, los planetas y cometas del Sistema Solar se mueven en elipses o hipérbolas . La influencia de otros planetas, que distorsionan esta imagen, se puede tener en cuenta utilizando la teoría de la perturbación .

Analogía con la electrostática

Desde el punto de vista de la física, el campo gravitatorio es muy diferente del campo electrostático ; por ejemplo, las masas siempre se atraen y las cargas pueden repelerse, en la gravedad no hay análogos a efectos como la inducción electrostática , etc. Sin embargo, el clásico Los modelos matemáticos de ambas teorías son similares en muchos aspectos, y en algunos casos son incluso idénticos. En este sentido, para la gravedad newtoniana son aplicables esencialmente todas aquellas construcciones teóricas y métodos de resolución de problemas que se utilizan en electrostática. En este sentido formal (pero matemáticamente bastante significativo), se puede decir que solo hay una teoría [7] .

Entre los teoremas y métodos que son igualmente válidos (y tienen un lugar de aplicación) en la teoría newtoniana de la gravedad y la electrostática, se pueden nombrar el teorema de Gauss , el teorema de Earnshaw , el método de las imágenes , el método de los mapeos conformes , el potencial completo teoría , sin mencionar el principio de superposición y otros varios tipos de principios y técnicas matemáticas.

La gravedad newtoniana coincide con el experimento mucho más de cerca que la electrostática: rara vez da un error significativo, y la magnitud de este error suele ser mucho menor. También se puede ver que las teorías más generales de la gravedad y la electrostática (estas son GR y electrodinámica , respectivamente ) son bastante diferentes.

Precisión de la ley de gravitación universal de Newton

Una evaluación experimental del grado de precisión de la ley de gravitación de Newton es una de las confirmaciones de la teoría general de la relatividad . [8] Los experimentos sobre la medición de la interacción cuadripolar de un cuerpo giratorio y una antena fija mostraron [9] que el incremento en la expresión de la dependencia del potencial newtoniano a distancias de varios metros está dentro de . Otros experimentos también confirmaron la ausencia de modificaciones en la ley de la gravitación universal [10] .

La ley de gravitación universal de Newton se probó en 2007 a distancias inferiores a un centímetro (de 55 micras a 9,53 mm). Teniendo en cuenta los errores experimentales, no se encontraron desviaciones de la ley de Newton en el rango de distancias investigado [11] .

En 2021, se probó la ley de gravitación universal de Newton para cuerpos con una masa de 90 mg a distancias de 3 a 5 mm. [12] [13] .

Las observaciones de precisión con láser de la órbita de la Luna [14] confirman la ley de la gravitación universal a una distancia de la Tierra a la Luna con una precisión de .

Conexión con la geometría del espacio euclidiano

El hecho de que el exponente de la distancia en el denominador de la expresión de la fuerza gravitacional sea igual a un número con una precisión muy alta ( ) refleja la naturaleza euclidiana del espacio físico tridimensional de la mecánica newtoniana.

Reseña histórica

(Véase también Newton, Isaac#Gravitación universal y astronomía ).

La idea misma de una fuerza gravitacional universal se expresó repetidamente incluso antes de Newton. Anteriormente , Epicuro , Gassendi , Kepler , Borelli , Descartes , Roberval , Huygens y otros pensaron en ello [16] . Kepler creía que la gravedad es inversamente proporcional a la distancia al Sol y se extiende sólo en el plano de la eclíptica; Descartes consideró que era el resultado de vórtices en el éter [17] . Sin embargo, hubo conjeturas con una correcta dependencia de la distancia; Newton, en una carta a Halley , menciona a Bulliald , Wren y Hooke como sus predecesores . Pero antes de Newton, nadie fue capaz de vincular de manera clara y matemáticamente concluyente la ley de la gravedad (una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia) y las leyes del movimiento planetario ( leyes de Kepler ). [19] . Además, Newton llegó a entender que la gravedad es universal: en otras palabras, la misma fuerza hace que la manzana caiga a la tierra y que la Luna gire alrededor de la Tierra [20] .

En su obra principal "Los principios matemáticos de la filosofía natural " ( 1687 ), Isaac Newton derivó la ley de la gravedad, basándose en las leyes empíricas de Kepler , conocidas en ese momento. Él demostró que:

Además, Newton logró importantes avances en temas tan significativos en la práctica relacionados con la gravitación como el problema de la figura de la Tierra , la teoría de las mareas y la anticipación de los equinoccios .

Tenga en cuenta que la teoría de la gravedad de Newton ya no era, estrictamente hablando, heliocéntrica . Ya en el problema de los dos cuerpos , el planeta no gira alrededor del Sol, sino alrededor de un centro de gravedad común, ya que no solo el Sol atrae al planeta, sino que el planeta también atrae al Sol. Finalmente, resultó necesario tener en cuenta la influencia de los planetas entre sí.

La teoría de Newton tenía una serie de diferencias significativas con las hipótesis de sus predecesores. Newton no solo publicó la fórmula propuesta para la ley de la gravitación universal, sino que también propuso un modelo matemático completo :

En conjunto, esta tríada es suficiente para un estudio completo de los movimientos más complejos de los cuerpos celestes y, por lo tanto, crea las bases de la mecánica celeste . Antes de Einstein, no se necesitaban enmiendas fundamentales a este modelo, aunque el aparato matemático resultó ser necesario para desarrollarse significativamente. Los investigadores posteriores también hicieron un progreso significativo en la mecánica celeste, y la "precisión astronómica" de los cálculos se volvió proverbial.

Durante el siglo XVIII, la ley de la gravitación universal fue objeto de intenso debate (con la oposición de los partidarios de la escuela de Descartes ) y escrutinio. A finales de siglo, se aceptó generalmente que la ley de la gravitación universal permite explicar y predecir los movimientos de los cuerpos celestes con gran precisión. Henry Cavendish en 1798 llevó a cabo una verificación directa de la validez de la ley de la gravedad en condiciones terrestres, utilizando una balanza de torsión extremadamente sensible [21] . Un paso importante fue la introducción por parte de Poisson en 1813 del concepto de potencial gravitacional y la ecuación de Poisson para este potencial; este modelo permitió estudiar el campo gravitatorio con una distribución arbitraria de la materia [22] . Después de eso, la ley de Newton comenzó a ser considerada como una ley fundamental de la naturaleza.

Desventajas de la teoría clásica de la gravedad

Al mismo tiempo, la teoría de Newton contenía una serie de dificultades. Los principales son los siguientes.

  1. Acción inexplicable de largo alcance : la fuerza de la gravedad se transmitía inexplicablemente a través de un espacio completamente vacío, e infinitamente rápido. Esencialmente, el modelo newtoniano era puramente matemático, sin ningún contenido físico.
  2. Si el universo, como se supuso entonces, es euclidiano e infinito, y al mismo tiempo la densidad media de la materia en él es distinta de cero, entonces surge una paradoja gravitatoria irresoluble , que pone en duda la aplicabilidad de la teoría newtoniana a escalas cosmológicas .
  3. A finales del siglo XIX se descubrió otro problema: la discrepancia entre el desplazamiento teórico y el observado del perihelio de Mercurio [23] .

Durante los siglos XVIII-XIX, se hicieron repetidos intentos de modificar o generalizar la teoría clásica de la gravedad: los físicos cambiaron la fórmula de la ley de Newton, explicaron el mecanismo de la gravedad con la participación del éter mundial . A medida que se realizaron los principios de la teoría de la relatividad , comenzaron los intentos de construir una generalización relativista de la teoría de la gravedad. Aparentemente, la primera formulación clara del problema fue publicada por Henri Poincaré en 1905:

¿Es posible encontrar tal ley que satisfaga las condiciones establecidas por Lorentz [es decir, las transformaciones de Lorentz ] y al mismo tiempo se reduzca a la ley de Newton en todos los casos en que las velocidades de los cuerpos celestes sean lo suficientemente pequeñas como para poder despreciar sus cuadrados? (así como los productos de las aceleraciones por la distancia) en comparación con el cuadrado de la velocidad de la luz ?

Poincaré en el artículo " Sobre la dinámica del electrón " propuso dos versiones de la generalización relativista de la ley de la gravitación. Ambos excluyeron la acción de largo alcance (la velocidad de la gravedad coincidió con la velocidad de la luz). El historiador de la ciencia V.P. Vizgin escribe en su monografía [24] :

La teoría relativista de la gravitación desarrollada por Poincaré no llamó la atención de los físicos, aunque en principio supuso un importante paso adelante en el desarrollo del problema gravitacional. Las razones de este descuido, desde nuestro punto de vista, son las siguientes:

  1. la teoría no explicaba el cambio anómalo del perihelio de Mercurio ;
  2. la mayoría de los físicos en 1906-1908 no compartían el programa relativista;
  3. el método algebraico formal de construir una teoría relegó los aspectos físicos de la teoría a un segundo plano;
  4. la ambigüedad atestiguaba lo incompleto de la teoría;
  5. Durante el período en que el programa de campo electromagnético era dominante, una generalización real de la teoría de la gravedad de Newton requería el uso de un enfoque de campo explícito, mientras que la teoría de Poincaré no proporcionaba ecuaciones del campo gravitatorio a partir de las cuales era posible obtener el invariante de Lorentz. leyes elementales de interacción que encontró.

Max Abraham , Gunnar Nordström y Albert Einstein publicaron otros esbozos de la teoría relativista de la gravedad a principios de la década de 1910 . Todos ellos antes de la creación de la relatividad general no correspondían a los datos de observación.

Mayor desarrollo

Relatividad general

Durante más de doscientos años después de Newton, los físicos han propuesto varias formas de mejorar la teoría de la gravedad de Newton. Estos esfuerzos se vieron coronados por el éxito en 1915 con la  creación de la teoría general de la relatividad de Einstein , en la que se superaron todas estas dificultades. La teoría de Newton, en pleno acuerdo con el principio de correspondencia , resultó ser una aproximación de una teoría más general, aplicable bajo dos condiciones:

  1. El potencial gravitatorio en el sistema bajo estudio no es demasiado grande: . En el sistema solar, esta condición para la mayoría de los movimientos de los cuerpos celestes puede considerarse cumplida; incluso en la superficie del Sol, la proporción es de solo . Un efecto relativista notable es solo el cambio del perihelio de Mercurio mencionado anteriormente [25] .
  2. Las velocidades de movimiento en este sistema son insignificantes comparadas con la velocidad de la luz : .

En campos gravitatorios estacionarios débiles, las ecuaciones de movimiento se vuelven newtonianas ( potencial gravitatorio ). Para probar esto, mostramos que el potencial gravitatorio escalar en campos gravitatorios estacionarios débiles satisface la ecuación de Poisson

.

Se sabe que en este caso el potencial gravitacional tiene la forma:

.

Encontremos la componente del tensor energía-momento a partir de las ecuaciones del campo gravitatorio de la teoría general de la relatividad:

,

donde  es el tensor de curvatura . Porque podemos introducir el tensor de energía cinética-momento . Despreciando los valores del orden de , podemos establecer todos los componentes , excepto , iguales a cero. La componente es igual a y, por lo tanto, . Así, las ecuaciones del campo gravitatorio toman la forma . Debido a la fórmula

el valor de la componente del tensor de curvatura puede tomarse igual a y desde , . Por lo tanto, llegamos a la ecuación de Poisson:

, donde [26]

Gravedad cuántica

La aplicación del principio del dualismo de ondas corpusculares al campo gravitacional muestra que las ondas gravitacionales pueden considerarse como un flujo de cuantos de campo: gravitones . En la mayoría de los procesos del universo, los efectos cuánticos de la gravedad son muy pequeños. Se vuelven significativos solo cerca de las singularidades del campo gravitatorio, donde el radio de curvatura del espacio-tiempo es muy pequeño. Cuando se acerca a la longitud de Planck , los efectos cuánticos se vuelven dominantes. Los efectos de la gravedad cuántica conducen al nacimiento de partículas en el campo gravitatorio de los agujeros negros y su evaporación gradual [3] . La construcción de una teoría cuántica consistente de la gravedad es uno de los problemas sin resolver más importantes de la física moderna.

Desde el punto de vista de la gravedad cuántica, la interacción gravitacional se lleva a cabo mediante el intercambio de gravitones virtuales entre cuerpos que interactúan. Según el principio de incertidumbre , la energía de un gravitón virtual es inversamente proporcional al tiempo de su existencia desde el momento de emisión por un cuerpo hasta el momento de absorción por otro cuerpo. El tiempo de vida es proporcional a la distancia entre los cuerpos. Por lo tanto, a distancias pequeñas, los cuerpos que interactúan pueden intercambiar gravitones virtuales con longitudes de onda cortas y largas, y a distancias grandes solo gravitones de longitud de onda larga. A partir de estas consideraciones, se puede obtener la ley de proporcionalidad inversa del potencial newtoniano a partir de la distancia. La analogía entre la ley de Newton y la ley de Coulomb se explica por el hecho de que la masa del gravitón, como la masa del fotón , es igual a cero [27] [28] . La diferencia entre la ley de la gravedad de Newton y la ley de Coulomb (hay dos tipos de cargas eléctricas y un tipo de "cargas gravitatorias" con atracción entre ellas) se explica por el hecho de que el giro de un fotón es , y el giro de un gravitón es [29] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Ley de gravitación universal // Enciclopedia física (en 5 volúmenes) / Editado por acad. A. M. Prokhorova . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1. - S. 348. - ISBN 5-85270-034-7 .
  2. ↑ CODATA Valores recomendados internacionalmente de las  Constantes Físicas Fundamentales . Consultado el 7 de marzo de 2020. Archivado desde el original el 27 de agosto de 2011.
  3. ↑ 1 2 Novikov I. D. Gravity // Diccionario enciclopédico físico. - ed. AM Prokhorova - M., Gran Enciclopedia Rusa, 2003. - ISBN 5-85270-306-0 . – Circulación 10.000 ejemplares. - Con. 772-775
  4. ↑ La conveniencia de utilizar la magnitud física de la intensidad se debe a que no depende del cuerpo concreto colocado en un punto dado (será lo mismo si colocamos en ese punto diferentes cuerpos de diferente masa) y, por tanto, es una característica sólo del campo mismo, que no depende directamente del cuerpo sobre el que actúa (una dependencia indirecta puede deberse a la acción de este cuerpo mismo sobre los cuerpos-fuentes del campo, y sólo si su posición cambia). como resultado de este impacto).
  5. ↑ Es decir, no estamos hablando, por supuesto, del blindaje de los campos gravitatorios creados por otras fuentes que pueden estar tanto dentro como fuera del caparazón, sino solo del campo creado por el propio caparazón, es decir, su fuerza es cero (y los campos de las fuentes restantes, de acuerdo con el principio de superposición, permanecerán sin cambios dentro de la capa esférica, como si no hubiera capa).
  6. ↑ Esta solución se obtiene naturalmente utilizando la fórmula de solución de fuente puntual única anterior y el principio de superposición, es decir, simplemente sumando los campos de un conjunto (infinito) de fuentes puntuales, cada una con una masa, ubicada en los puntos correspondientes en el espacio.
  7. ↑ Esta afirmación no es tanto una cuestión de gusto, sino más bien una indicación de que uno puede usar libremente los métodos y resultados de una teoría en relación con otra, sin importar si todo está descrito en lenguaje electrostático o gravitacional, observando, por supuesto, la mínima precaución necesaria en cuanto a sus pocas diferencias y características.
  8. ↑ D. D. Ivanenko , G. A. Sardanashvili Gravity, M.: Editorial URSS , 2004, ISBN 5-354-00538-8
  9. ↑ 10.ª Conferencia internacional sobre relatividad general y gravitación: Contribut. papilla. - Padua, 1983. - Vol. 2, 566 págs.
  10. ↑ Resúmenes de la Conferencia de toda la Unión "Problemas teóricos y experimentales modernos de la teoría de la relatividad y la gravedad". — M.: MGPI , 1984. — 308 p.
  11. ↑ Yu. N. Eroshenko Physics news on the Internet (basado en preprints electrónicos) Copia de archivo fechada el 16 de agosto de 2013 en Wayback Machine , UFN , 2007, vol.177, No. 2, p. 230
  12. ↑ Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Medición del acoplamiento gravitatorio entre masas de tamaño milimétrico Archivado el 22 de agosto de 2021 en Wayback Machine // Nature volumen 591, páginas 225–228, 2021
  13. ↑ ArXiv.org Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Medición del acoplamiento gravitacional entre masas milimétricas Archivado el 14 de marzo de 2021 en Wayback Machine .
  14. ↑ Turyshev S. G. "Experimental Tests of General Relativity: Recent Advances and Future Directions of Research" Archivado el 14 de abril de 2015 en Wayback Machine , UFN , 179, p. 3-34, (2009)
  15. ↑ Butikov E.I., Kondratiev A.S. Física. Libro 1. Mecánica. - M. : Nauka, 1994. - 138 p.
  16. ↑ Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza . - M .: Mir , 1984. - S. 66. Copia archivada (enlace inaccesible) . Consultado el 1 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2007. 
  17. ↑ Spassky B. I. Historia de la Física. - T. 1. - S. 140-141.
  18. ↑ El curso de su razonamiento es fácil de restaurar, véase Tyulina I. A. , decreto. artículo, página 185. Como demostró Huygens , en el movimiento circular la fuerza centrípeta es (proporcional a) , donde  es la velocidad del cuerpo,  es el radio de la órbita. Pero , ¿dónde  está el período de circulación, es decir, . Según la 3ª ley de Kepler, , por tanto , de donde finalmente tenemos: .
  19. ↑ Más precisamente, nadie ha podido hacerlo consistentemente para órbitas elípticas. Para los circulares, usando la tercera ley de Kepler y la fórmula de la fuerza centrífuga de Huygens, esto fue bastante fácil de hacer, y el propio Newton recordó que lo había hecho hace bastante tiempo, pero no se lo dijo a nadie, porque no estaba satisfecho con el fracaso entonces con la solución del problema general. Aparentemente, lo mismo hizo más tarde Hooke (su carta se ha conservado), lo que llevó a Newton a volver al problema general. Hooke, por su parte, justificó la segunda ley de Kepler aplicando la técnica de superposición de movimiento libre y movimiento con aceleración dirigida hacia el centro, que era metodológicamente importante en ese momento. Sin embargo, solo Newton finalmente resolvió el problema por completo, para las órbitas no circulares, por primera vez demostrando correcta y teóricamente su forma, fue el primero en exponer todo de manera completa y sistemática.
  20. ↑ "Dios hizo los números enteros". Capítulo de un libro. Archivado el 21 de junio de 2022 en Wayback Machine Elementy.ru , Book Club.
  21. ↑ Vizgin V.P., 1981 , p. 25
  22. ↑ Vizgin V.P., 1981 , p. 27
  23. ↑ Vizgin V.P., 1981 , p. 27-29.
  24. ↑ Vizgin V.P., 1981 , p. 69-75.
  25. ↑ Ginzburg V. L. Sistema heliocéntrico y relatividad general (de Copérnico a Einstein) // Colección Einstein. — M .: Nauka , 1973. — S. 63. .
  26. ↑ Teoría de la relatividad de W. Pauli , OGIZ , 1947
  27. ↑ Frisch D., Thorndike A. Partículas elementales. - M.: Atomizdat , 1966. - S. 98.
  28. ↑ Okun L. B. Introducción elemental a la física de partículas elementales. — M.: Fizmatlit , 2009. — S. 105. — ISBN 978-5-9221-1070-9
  29. ↑ Kibble T. "The Quantum Theory of Gravity" Archivado el 5 de enero de 2016 en Wayback Machine , UFN , 96, p. 497-517, (1968)

Literatura

  Ir al elemento de Wikidata  diccionarios y enciclopedias
En catálogos bibliográficos