Recta de simson

La línea de Simson es una línea recta que pasa por las bases de las perpendiculares a los lados de un triángulo desde un punto en su círculo circunscrito. Su existencia se basa en el teorema de Simson .

Teorema de Simson

Las bases de las perpendiculares que se dejan caer desde un punto arbitrario de la circunferencia circunscrita del triángulo a sus lados o sus prolongaciones se encuentran sobre la misma línea recta. Esta línea se llama línea de Simson [1] . $PAGS$ $A B C$

La afirmación inversa también es cierta: si las bases de las perpendiculares, caídas desde un punto a los lados del triángulo o sus extensiones, se encuentran en la misma línea recta, entonces el punto se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo. $PAGS$ $A B C$ $PAGS$

Historia

El descubrimiento de esta línea se atribuyó durante mucho tiempo a Robert Simson (1687-1768), pero en realidad fue descubierta recién en 1797 por el matemático escocés William Wallace . Por lo tanto, junto con el nombre tradicional de esta línea recta, se suele utilizar el nombre históricamente más justo: "línea recta de Wallace" . [2]

Propiedades

Sea el ortocentro del triángulo . Luego, la línea de Simson de un punto arbitrario en el círculo circunscrito del triángulo biseca el segmento en un punto que se encuentra en el círculo de nueve puntos . $H$ $A B C$ $PAGS$ $A B C$ ${\ estilo de pantalla PH}$

Si P y Q son puntos en el círculo circunscrito, entonces el ángulo entre las líneas de Simson de los puntos P y Q es igual a la mitad del ángulo del arco PQ .
- En particular, si 2 puntos en el círculo circunscrito son diametralmente opuestos, sus líneas de Simson son perpendiculares, en cuyo caso el punto de intersección de 2 líneas de Simson perpendiculares también se encuentra en el círculo de nueve puntos . En este caso, los segundos puntos de intersección de 2 rectas perpendiculares de Simson con una circunferencia de nueve puntos serán los extremos del diámetro de la última circunferencia.

Para dos triángulos dados con el mismo círculo circunscrito, el ángulo entre las líneas de Simson del punto P en el círculo para ambos triángulos es independiente de P .

La recta de Simson y el triángulo de Morley

Hay exactamente tres puntos en el círculo circunscrito del triángulo tales que su línea de Simson es tangente al círculo de Euler del triángulo , y estos puntos forman un triángulo regular . Los lados de este triángulo son paralelos a los lados del triángulo de Morley . $A B C$ $A B C$

Línea de Simson y línea de Steiner

Los puntos simétricos al punto P en el círculo circunscrito con respecto a los lados del triángulo se encuentran en la misma línea recta que pasa por el ortocentro. Esta línea ( la línea de Steiner ) es paralela a la línea de Simson y pasa a ella bajo homotecia con coeficiente 1/2

La recta de Simson y el punto de Feuerbach

El punto de Feuerbach , es decir, el punto de tangencia de la circunferencia inscrita o excircunferencia con la circunferencia de nueve puntos, es el punto de intersección de dos rectas de Simson construidas para los extremos del diámetro de la circunferencia circunscrita que pasan por el centro correspondiente de la circunferencia inscrita o excircunferencia. [3] .
- En particular, los puntos de Feuerbach se pueden construir sin utilizar la circunferencia inscrita o excircunferencia correspondiente y la circunferencia de Euler tangente a ella .

Línea de Simson y deltoides

La envolvente de la familia de líneas de Simson de un triángulo dado es un deltoides , el llamado deltoides de Steiner .
- Jacob Steiner descubrió el deltoides como un hipocicloide parcial , que se describe mediante un punto fijo arbitrario de un círculo que rueda sin deslizarse dentro de un círculo 3 veces más grande en diámetro. Y el hecho de que el conjunto de todas las posibles rectas de Simson que se pueden dibujar para un triángulo dado tengan una envolvente en forma de deltoides fue descubierto hace unos 100 años y nada por Steiner [4] .

Línea de Simson y ortopolo

Si el ortópolo se encuentra en la línea de Simson, entonces su línea ℓ es perpendicular a él [5] .
Si la línea ℓ del ortopolo intersecta el circuncírculo del triángulo en dos puntos P y Q , entonces el propio ortopolo se encuentra en la intersección de las dos líneas de Simson de los dos últimos puntos P y Q. [6]
Si la línea ℓ del ortopolo es la línea de Simson del punto P , entonces el punto P se llama el polo de la línea de Simson ℓ [5]

Ecuación de la línea recta de Simson

Situando el triángulo en el plano complejo, supongamos que el triángulo ABC está inscrito en el círculo unitario y tiene vértices cuyas coordenadas complejas son a , b , c , y sea P con coordenada compleja p un punto en el círculo. Entonces la recta de Simson se describe mediante la siguiente ecuación en z : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

donde la barra superior indica conjugación compleja .

Variaciones y generalizaciones

Ningún polígono convexo con al menos 5 lados tiene una línea de Simson. [ocho]
Si se trazan líneas rectas desde un punto dado del círculo circunscrito de un triángulo en un ángulo dado orientado a los lados, entonces los tres puntos de intersección obtenidos estarán en una línea recta. $PAGS$ $A B C$
La línea de Simson se puede definir para cualquier -gon inscrito por inducción de la siguiente manera: la línea de Simson de un punto con respecto a un -gon dado es la línea recta que contiene las proyecciones del punto sobre las líneas de Simson de todos los -gons obtenidos al eliminar un vértice de el -gon. $norte$ $PAGS$ $norte$ $PAGS$ $(n-1)$ $norte$
teorema de salmón
Triángulo de poder : un triángulo cuyos vértices son las bases de las perpendiculares caídas desde un punto a los lados del triángulo; en el caso de que el punto se encuentre en el círculo circunscrito, el triángulo subdérmico degenera y sus vértices se encuentran en la línea de Simson.

Sea ABC un triángulo, y deje que la línea ℓ (verde en la figura) pase por el centro X 3 del círculo circunscrito, y deje que el punto P se encuentre en el círculo. Sean AP, BP, CP intersecan la línea ℓ en los puntos A p , B p , C p , respectivamente . Sean A 0 , B 0 , C 0 las proyecciones de los puntos A p , B p , C p respectivamente sobre las rectas BC, CA, AB . Entonces 3 puntos A 0 , B 0 , C 0 son puntos colineales , es decir, se encuentran en una línea recta. Además, la recta que los atraviesa pasa simultáneamente por el punto medio del segmento PH , donde H es el ortocentro del triángulo ABC . Si ℓ pasa por P , entonces la recta coincidirá con la recta de Simson. [9] [10] [11]

Ejemplos

La recta de Simson del punto de Steiner del triángulo es paralela a la recta , y la recta de Simson del punto de Tarry es perpendicular a la recta , donde es el centro de la circunferencia circunscrita y es el punto de intersección de tres simedianas ( punto de Lemoine ) del triangulo . $A B C$ $OK$ $OK$ $O$ $k$ $A B C$

Notas

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. - M.: Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca del círculo matemático).
↑ Gibson History 7 - Robert Simson (30 de enero de 2008). Consultado el 2 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 9 de octubre de 2016. (indefinido)
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observación. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 The Orthopole (21 de enero de 2017). Consultado el 22 de junio de 2020. Archivado desde el original el 22 de junio de 2020. (indefinido)
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. (Párrafo: G. El Ortopolo. Item. 697. Teorema. Fig. 155. P.289-290). Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Todor Zaharinov, "El triángulo de Simson y sus propiedades", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Archivado el 7 de octubre de 2020 en Wayback Machine .
↑ Tsukerman, Emmanuel. Sobre los polígonos que admiten una recta de Simson como análogos discretos de las parábolas // Forum Geometricorum : diario. - 2013. - Vol. 13 _ - pág. 197-208 .
↑ Una generalización de Simson Line . Cortar el nudo (abril de 2015). Consultado el 2 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 28 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ Nguyen Van Linh (2016), Otra prueba sintética de la generalización de Dao del teorema de la línea de Simson , Forum Geometricorum vol 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Archivado desde diciembre 22, 2018 en la Wayback Machine
↑ Nguyen Le Phuoc y Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 Una prueba sintética de la generalización de Dao del teorema de la línea de Simson. The Mathematical Gazette, 100, págs. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Archivado el 19 de agosto de 2016 en Wayback Machine The Mathematical Gazette

Literatura

Savelov A. A. Curvas planas. Sistemática, propiedades, aplicaciones (Guía de referencia) / Ed. AP Nórdico. - M. : Fizmatlit, 1960.
V. Berezín. Deltoides // Kvant . - 1977. - Nº 3 . - S. 19 . (Ruso)
EH Lockwood. Capítulo 8: El deltoides // Un libro de curvas (neopr.) . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1961.
Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p . Docvryoptl & Sig = acfu3u1vm-wh5tr4sgc9ce52dcrf9qbjca & hl = ru & sa = x & ved = 2AHUKEWJQ1ZWDIJDQAHRICHHHHZF7BSYQ6AEWBNOEWBNOECNOEC , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Enlaces

Línea Simson en cut-the-knot.org
FM Jackson y Weisstein, Eric W. Simson Line (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Una generalización del teorema de Neuberg y la línea de Simson-Wallace en Dynamic Geometry Sketches , un boceto interactivo de geometría dinámica.

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
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