Teorema de Gauss-Wanzel
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de agosto de 2021; las comprobaciones requieren 2 ediciones .El teorema de Gauss-Wanzel da una condición necesaria y suficiente de que se puede construir un gon regular usando una regla y un compás .
Redacción
Se puede construir un -ágono regular usando un compás y una regla si y solo si , donde y son números enteros no negativos y son números primos de Fermat diferentes .
Notas
- Esta condición también es equivalente al hecho de que el valor de la función de Euler es una potencia de dos.
- Actualmente, solo se han encontrado cinco números primos de Fermat: [una]
- Se puede construir un polígono regular con compás y regla si y sólo si, en presencia de un segmento de longitud en el plano , es posible construir un segmento cuya longitud sea igual a - el coseno del ángulo central de el polígono dado . Esto, a su vez, es cierto si y solo si el coseno dado es un número real construible , es decir, se puede expresar usando números enteros , operaciones aritméticas simples y extracción de raíces cuadradas .
Historia
Los geómetras antiguos sabían cómo construir -gons regulares para y .
En 1796, Gauss mostró la posibilidad de construir -gons regulares para , donde hay varios números primos de Fermat . (Aquí el caso corresponde al número de lados .)
En 1837, Vanzel demostró que no había otros polígonos regulares que pudieran construirse con regla y compás.
Las implementaciones específicas de la construcción son muy laboriosas:
- La construcción de un diecisieteágono regular fue realizada directamente por el propio Gauss, pero fue publicada por primera vez por K. F. von Pfeiderer en 1802 .
- F. Yu. Richelo construyó un 257-gon regular en 1832 [2] .
- La biblioteca de la Universidad de Göttingen tiene un manuscrito, que es el resultado de diez años de trabajo de I. G. Hermes , que contiene un método para construir un 65537-gon regular .
Un estudiante de posgrado demasiado obsesivo llevó a su supervisor al punto que le dijo: "Ve y resuelve la construcción de un polígono regular con 65537 lados". El estudiante de posgrado se retiró para volver 20 años después con la construcción correspondiente [3] .J. Littlewood
Enlaces
- Jacques Cesiano Historia de la construcción de polígonos regulares con compás y regla de Euclides a Gauss Seminario de historia de las matemáticas 4 de mayo de 2017 18:00, San Petersburgo, POMI , Fontanka 27, sala 106.
Notas
- ↑ Ver secuencia OEIS A019434 .
- ↑ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1832. - T. 9 . — S. 1-26, 146-161, 209-230, 337-358 .
- ↑ J. Littlewood. Combinación Matemática . - M. : Nauka, 1990. - S. 43. - ISBN 5-02-014332-4 . Archivado el 31 de julio de 2021 en Wayback Machine .
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