Serie trigonométrica de Fourier

Serie trigonométrica de Fourier : representación de una función arbitraria con un período en forma de serie $F$ $2\pi$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(una)

o usando notación compleja, como una serie:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

Producto escalar y ortogonalidad

Sean , dos funciones del espacio . Definamos su producto escalar $\phi _{n}$ $\phi_m$ $L^2\izquierda[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\derecha]$

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x) \phi_n(x)dx

Condición de ortogonalidad

{\ estilo de visualización \ int \ límites _ {- {\ frac {\ tau }{2}}} ^ {\ frac {\ tau }{2}} \ phi _ {m} (x) \ phi _ {n} ( x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}}

¿ Dónde está el símbolo de Kronecker ? Así, el producto escalar de funciones ortogonales es igual al cuadrado de la norma de la función en o cero en caso contrario. $\delta_{nm}$ $n=m$

La siguiente observación es clave en la teoría de las series de Fourier: las funciones de la forma son ortogonales por pares con respecto a este producto escalar, es decir, para todos los números enteros no negativos : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $k\neql$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx) dx = 0

y para todos los enteros no negativos , $k$ $yo$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0

Otra propiedad importante es que el sistema trigonométrico de funciones es una base en el espacio $L^2[0,2\pi]$ . En otras palabras, si alguna función de este espacio es ortogonal a todas las funciones de la forma , entonces es idénticamente igual a cero (para ser más precisos, es igual a cero en casi todas partes ). $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$

Clásica definición

La serie trigonométrica de Fourier de una función es una serie funcional de la forma $f\en L_2([-\pi,\pi])$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(una)

dónde

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.

Los números , y ( ) se denominan coeficientes de Fourier de la función . Las fórmulas para ellos se pueden explicar de la siguiente manera. Supongamos que queremos representar una función como una serie (1) y necesitamos determinar los coeficientes desconocidos , y . Si multiplicamos el lado derecho de (1) por e integramos sobre el intervalo , debido a la ortogonalidad del lado derecho, todos los términos desaparecerán, excepto uno. A partir de la igualdad resultante, el coeficiente se expresa fácilmente . Del mismo modo para $un_{0}$ $un$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $F$ $f\en L_2([-\pi,\pi])$ $un_{0}$ $un$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $Alaska}$ $b_{k}$

La serie (1) converge a una función en el espacio . En otras palabras, si denotamos por las sumas parciales de la serie (1): $F$ $L_2([-\pi,\pi])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

entonces su desviación estándar de la función tenderá a cero: $F$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

A pesar de la convergencia de la raíz cuadrada media, la serie de Fourier de una función, en términos generales, no se requiere para converger puntualmente a ella (ver más abajo).

Notación compleja

A menudo, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar los exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos como base. Consideramos el espacio $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ de funciones complejas con producto interno

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

También consideramos el sistema de funciones

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Como antes, estas funciones son ortogonales por pares y forman un sistema completo, por lo que cualquier función puede expandirse sobre ellas en una serie de Fourier: $f\en L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

donde la serie del lado derecho converge en la norma en . Aquí $F$ $f\en L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Los coeficientes: están relacionados con los coeficientes de Fourier clásicos mediante las siguientes fórmulas: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;

\hat{f}_0 = a_0/2;

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.

La función compleja de variable real se expande en la misma serie de Fourier en exponentes imaginarios que la real, pero, a diferencia de esta última, por su expansión , y no será, en general, conjugada compleja. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Propiedades de la serie trigonométrica de Fourier

Todas las afirmaciones de esta sección son verdaderas bajo el supuesto de que las funciones que participan en ellas (y los resultados de las operaciones con ellas) se encuentran en el espacio $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

El cálculo de los coeficientes de Fourier es una operación lineal:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k

La igualdad de Parseval es verdadera :

2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2

Los coeficientes de Fourier de la derivada se expresan fácilmente en términos de los coeficientes de Fourier de la función misma:

\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k

los coeficientes de Fourier del producto de dos funciones se expresan por la convolución de los coeficientes de Fourier de los factores:

\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{kj}

Considere la operación de convolución de la función :

(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(tx)g(x) dx,

donde se supone que las funciones se extienden periódicamente desde el intervalo hasta toda la línea. Después $[-\pi,\pi]$

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Expansiones de Fourier de algunas funciones

Función	series de Fourier
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t {5}}+\puntos\derecha)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n -1)t}{T}}$

Véase también

Notas

Literatura

Zhuk VV, Natanson G.I. Series trigonométricas de Fourier y elementos de la teoría de la aproximación. - L. : Editorial Leningrado. un-ta, 1983. - S. 188.
Rudin U. Fundamentos de Análisis Matemático. — 1976.
Piskunov N. S. Cálculo diferencial e integral para VTUZ. - M. : "Nauka", 1964. - T. 2.

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

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