Fórmula pico

La fórmula de Pick (o teorema de Pick ) es un resultado clásico de la geometría combinatoria y la geometría de números , da una expresión para el área de un polígono con vértices enteros.

Nombrado en honor a Georg Pick , quien lo demostró en 1899 .

Redacción

El área de un polígono con vértices enteros [1] es

donde B  es el número de puntos enteros dentro del polígono y G  es el número de puntos enteros en el límite del polígono.

Consecuencias

• El área de un triángulo con vértices en los nodos y que no contiene nodos ni dentro ni en los lados (excepto en los vértices) es igual a 1/2.
  • Este hecho da una demostración geométrica de la fórmula de la diferencia de convergentes de una fracción continua .

Variaciones y generalizaciones

• El polinomio de Erard ofrece una de las opciones para generalizar la fórmula de Pick a dimensiones más altas .

• Si todas las caras de un poliedro entero son centralmente simétricas (en particular, si el poliedro es un zonaedro ), entonces su volumen se puede calcular mediante la fórmula

• Una declaración similar también es cierta en el espacio euclidiano -dimensional

Notas

1. ↑ Un punto en el plano de coordenadas se llama entero si sus dos coordenadas son enteras .
2. ↑ Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne y Sinai Robins. La prueba del cubo de hielo  //  El inteligente matemático . - 2014. - Vol. 36 , núm. 4 . - P. 1-3 .

Literatura

• V. V. Prasolov . Problemas de planimetría . - M. : MTsNMO , 2001. - 584 p. - ISBN 5-900916-82-0 .
• A. Kushnirenko. Puntos enteros en polígonos y poliedros  // Kvant . - 1977. - Nº 4 . - S. 13-20 .