Gilberto, David
David Hilbert ( en alemán: David Hilbert ; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943 ) fue un matemático generalista alemán que hizo una contribución significativa al desarrollo de muchas áreas de las matemáticas. Miembro de muchas academias de ciencias, incluyendo Berlín , Göttingen , Royal Society of London , miembro honorario extranjero de la Academia de Ciencias de la URSS (1934). Laureado del Premio N. I. Lobachevsky (1903). En las décadas de 1910 y 1920 (después de la muerte de Henri Poincaré ) fue el líder mundial reconocido en matemáticos.
Hilbert desarrolló una amplia gama de ideas fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Los más conocidos son sus primeros axiomáticos completos de la geometría euclidiana y la teoría de los espacios de Hilbert , una de las bases del análisis funcional moderno . Hizo contribuciones significativas a la teoría de invariantes , álgebra general , física matemática , ecuaciones integrales y los fundamentos de las matemáticas [7] .
Biografía
Primeros años y formación
Nacido en la familia del juez Otto Gilbert, en la ciudad de Velau cerca de Königsberg en Prusia (después de la Segunda Guerra Mundial - el pueblo ruso de Znamensk , región de Kaliningrado ). Los padres, además de David, también tenían una hija menor, Eliza.
En 1880, el joven se graduó del Wilhelm Gymnasium (Gimnasio Wilhelm ) e inmediatamente ingresó a la Universidad de Königsberg , donde trabó amistad con Hermann Minkowski y Adolf Hurwitz . Juntos solían dar largos "paseos matemáticos" en los que discutían activamente la solución de problemas científicos; más tarde, Hilbert legalizó tales caminatas como parte integral de la educación de sus alumnos [8] .
En 1885, Hilbert completó su disertación sobre teoría de invariantes , con Lindemann como supervisor , y al año siguiente se convirtió en profesor de matemáticas en Königsberg (profesor titular desde 1892). Hilbert era extremadamente consciente de las conferencias y, con el tiempo, se ganó la reputación de ser un profesor brillante [9] .
En 1888, Hilbert logró resolver el "problema de Gordon", a menudo llamado el " teorema fundamental de la teoría de invariantes ", y demostró la existencia de una base para cualquier sistema de invariantes ( Gordan mismo solo pudo probar un caso especial del teorema para formas binarias ). La prueba de Hilbert no fue constructiva (probó la existencia de una base pero no indicó cómo se podría construir realmente) y generó críticas; sin embargo, los descubrimientos fundamentales de Hilbert en la teoría de las invariantes lo colocaron al frente de los matemáticos europeos [10] .
En 1892, Gilbert se casó con Käthe Jerosch (1864-1945). Al año siguiente nació su único hijo, Franz (1893-1969), que resultó ser un enfermo mental [11] .
Gotinga (1895-1915)
En 1895, por invitación de Felix Klein, Hilbert se trasladó a la Universidad de Göttingen y ocupó la cátedra, que una vez estuvo ocupada por Gauss y Riemann . Permaneció en este cargo durante 35 años, de hecho, hasta el final de su vida.
En 1897 se publicó la clásica monografía " Zahlbericht " ("Informe sobre los números") sobre la teoría de los números algebraicos . Además, Hilbert, como de costumbre, cambió drásticamente el tema de su investigación y en 1899 publicó The Foundations of Geometry, que también se convirtió en un clásico.
En 1900, en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos, Hilbert formuló la famosa lista de veintitrés problemas sin resolver , que sirvió de guía a los esfuerzos de los matemáticos a lo largo del siglo XX. En polémicas con Poincaré y otros intuicionistas , Hilbert también esbozó brevemente su filosofía científica. Afirmó que cualquier objeto matemático consistente tiene derecho a ser considerado que existe, incluso si no tiene una conexión con objetos reales, ni una justificación intuitiva (las construcciones revolucionarias de la teoría de conjuntos causaron un debate especialmente acalorado en ese período ). Expresó su confianza en que cualquier problema matemático podría ser resuelto y propuso proceder con la axiomatización de la física [12] .
Desde 1902, Hilbert ha sido el editor de la revista matemática más autorizada, Mathematische Annalen . En la década de 1910, Hilbert creó el análisis funcional en su forma moderna , introduciendo un concepto llamado espacio de Hilbert , que generaliza el espacio euclidiano al caso de dimensión infinita. Esta teoría resultó ser extremadamente útil no solo en matemáticas, sino también en muchas ciencias naturales: mecánica cuántica , teoría cinética de gases y otras [13] .
Después del estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914, Gilbert se negó a firmar el " manifiesto noventa y tres " en apoyo de las acciones de las tropas alemanas (entre los firmantes se encontraban científicos tan destacados como Wilhelm Wien , Felix Klein , Philipp Lenard , Walter Nernst , Max Planck , Wilhelm Roentgen ). Hilbert ocupó un puesto internacional durante la guerra; así, en 1917, contra las protestas de los nacionalistas, publicó un obituario del matemático francés Gaston Darboux . Gracias a esto, la reputación de Hilbert no sufrió después de la guerra, y en 1928 fue recibido con una ovación general en el Octavo Congreso Internacional de Matemáticos en Bolonia [14] [15] .
Últimos años (1915-1943)
En 1915, Hilbert aconsejó a Einstein y lo ayudó a completar la derivación de las ecuaciones de campo de la relatividad general .
En la década de 1920, Hilbert y su escuela concentraron sus esfuerzos en construir una justificación axiomática de lógica formal para las matemáticas. En 1930, de acuerdo con los estatutos de la universidad, Hilbert, de 68 años, renunció, aunque de vez en cuando daba conferencias a los estudiantes (Hilbert dio su última conferencia en Göttingen en 1933). Una sorpresa desagradable fueron los dos teoremas de Gödel (1931), que significaban la futilidad del enfoque lógico-formal de los fundamentos de las matemáticas. Hilbert, sin embargo, se mantuvo optimista y declaró: "Toda teoría pasa por tres fases de desarrollo: ingenua, formal y crítica".
Después de que los nacionalsocialistas llegaran al poder en Alemania, vivió en Göttingen lejos de los asuntos universitarios. Muchos de sus colegas que no tenían suficientes antepasados o parientes "arios" se vieron obligados a emigrar (incluidos los amigos cercanos de Hilbert, Hermann Weyl y Paul Bernays ). Se creó una sociedad de "matemáticas alemanas", dirigida por los nazis activos Ludwig Bieberbach y Theodor Phalen , quienes simpatizaban con los intuicionistas y rechazaban la teoría de conjuntos (quizás también por usar símbolos judíos) [16] . Un día , Bernhard Rust , el ministro de Educación nazi, preguntó a Hilbert: "¿Cómo son las matemáticas ahora en Göttingen, después de haber sido liberadas de la influencia judía?" Hilbert respondió abatido: “¿Matemáticas en Göttingen? Ya no existe” (en alemán …das gibt es doch gar nicht mehr ) [17] .
En 1934, Hilbert publicó (con Bernays) el primer volumen de la monografía Fundamentos de las matemáticas, donde reconoció la necesidad de ampliar la lista de medios lógicos admisibles (añadiendo algunas herramientas transfinitas). Dos años más tarde, Gerhard Gentzen demostró la consistencia de la aritmética con la ayuda de la inducción transfinita , pero el progreso se limitó a esto. El enfoque lógico-formal demostró ser una valiosa contribución a la lógica matemática y la teoría de la demostración , pero en general no cumplió con las esperanzas de Hilbert.
Hilbert murió el 14 de febrero del año militar de 1943 en Göttingen . Solo alrededor de una docena de personas caminaron detrás de su ataúd. Fue enterrado en el cementerio de la ciudad de Göttingen , Groner Landstrasse .
Actividad científica
La investigación de Hilbert tuvo una gran influencia en el desarrollo de muchas ramas de las matemáticas, y sus actividades en la Universidad de Göttingen contribuyeron en gran medida a que Göttingen en el primer tercio del siglo XX fuera uno de los principales centros mundiales del pensamiento matemático. Las disertaciones de un gran número de destacados matemáticos (entre ellos H. Weil , R. Courant ) fueron escritas bajo su supervisión científica.
La biografía científica de Hilbert está claramente dividida en períodos dedicados al trabajo en cualquier área de las matemáticas:
- Teoría de las invariantes (1885-1893).
- Teoría de los números algebraicos (1893-1898).
- Fundamentos de Geometría (1898-1902).
- El principio de Dirichlet (física matemática) y problemas relacionados del cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales (1900-1906).
- Teoría de ecuaciones integrales (1902-1912).
- Solución del problema de Waring en teoría de números (1908-1909).
- Física matemática (1910-1922).
- Fundamentos de las matemáticas (1922-1939).
Matemáticas
En la teoría de las invariantes, las investigaciones de Hilbert marcaron el final de un período de rápido desarrollo en esta área de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XIX. Demostró el teorema principal sobre la existencia de una base finita para un sistema de invariantes.
El trabajo de Hilbert sobre la teoría de los números algebraicos transformó esta área de las matemáticas y se convirtió en el punto de partida para su desarrollo posterior. En su reseña clásica, hizo una presentación profunda e informativa de este material. Gracias a los esfuerzos de los matemáticos alemanes - Dirichlet , Kummer , Kronecker , Dedekind , luego Noether y Minkowski - se creó una teoría completa de divisibilidad para cuerpos numéricos , basada en los conceptos de ideal e ideal primo . Sin embargo, la cuestión de qué sucede con un ideal de campo simple cuando se incluye en un "supercampo" permaneció abierta y, en relación con este difícil problema, Hilbert introdujo una serie de conceptos nuevos importantes, formuló y probó parcialmente los principales resultados relacionados con este. Su prueba completa y posterior desarrollo fue obra de algunos de sus seguidores más eminentes [18] .
La monografía de Hilbert The Theory of Algebraic Number Fields jugó un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de los campos algebraicos y se convirtió en la base de posteriores investigaciones sobre este tema durante décadas. Entre los descubrimientos del propio Hilbert destaca su desarrollo de la teoría de Galois, incluido el importante " teorema 90 ".
La solución de Hilbert al problema de Dirichlet marcó el comienzo del desarrollo de los llamados métodos directos en el cálculo de variaciones.
La teoría de ecuaciones integrales con núcleo simétrico construida por Hilbert formó uno de los cimientos del análisis funcional moderno, y especialmente de la teoría espectral de operadores lineales.
Hilbert se mostró inmediatamente como un partidario acérrimo de la teoría de los conjuntos de Cantor y la defendió de las críticas de numerosos opositores. Dijo: "Nadie nos sacará del paraíso creado por Kantor". El mismo Hilbert, sin embargo, no desarrolló esta área, aunque indirectamente la tocó en sus trabajos sobre análisis funcional .
Justificación de las matemáticas
El clásico "Fundamentos de la geometría" de Hilbert (1899) se convirtió en un modelo para trabajos posteriores sobre la construcción axiomática de la geometría. Aunque la idea de construir un modelo de una estructura matemática sobre la base de otra fue utilizada antes que Hilbert (por ejemplo, por W. R. Hamilton ), solo Hilbert la realizó con exhaustividad. No sólo dio una axiomática completa de la geometría, sino que también analizó esta axiomática en detalle, demostrando (usando una serie de ingeniosos modelos) la independencia de cada uno de sus axiomas. Hilbert también creó las metamatemáticas y delineó claramente los requisitos para una teoría axiomática ideal: consistencia , integridad , independencia de los axiomas . El formalismo de Hilbert provocó críticas hostiles de varios matemáticos importantes, incluidos Frege y Poincaré , quienes se adhirieron a posiciones intuicionistas y creían que los axiomas deben ser verdades intuitivas, y cualquier otro enfoque es "charlatanería" [19] .
Para 1922, Hilbert tenía un plan mucho más extenso para corroborar todas las matemáticas (o al menos un fragmento significativo y generalmente aceptado) mediante su formalización completa, seguida de una prueba "mematemática" de la consistencia de las matemáticas formalizadas . Para implementar este programa, Hilbert, continuando el trabajo de Frege, desarrolló una rigurosa teoría de la prueba lógica , con la ayuda de la cual la consistencia de las matemáticas se reduciría a una prueba de la consistencia de la aritmética. Al hacerlo, Hilbert usó solo medios lógicos generalmente reconocidos (lógica de primer orden ). Su programa resultó ser inviable, como estableció posteriormente K. Gödel (1931, ver el teorema de incompletitud de Gödel ) , pero sirvió como un estímulo significativo para el desarrollo de la lógica matemática.
En 1934 y 1939 se publicaron dos volúmenes de Foundations of Mathematics, escrito por Hilbert junto con P. Bernays , en los que se desarrolla detalladamente este concepto. Las esperanzas iniciales de Hilbert en esta área no estaban justificadas: el problema de la consistencia de las teorías matemáticas formalizadas resultó ser más profundo y más difícil de lo que Hilbert había supuesto originalmente, y el concepto de verdad no podía reducirse a una derivación lógica. Además de los teoremas de Gödel mencionados anteriormente, los desastrosos golpes al programa de Hilbert fueron los resultados de Gödel y Tarski (1931-1933) sobre la imposibilidad de una teoría formal de definir su propio concepto de verdad, más allá de la simple derivabilidad, así como el teorema de Löwenheim-Skolem , según el cual las teorías finitas de primer orden son demasiado débiles para controlar el número cardinal de sus modelos (en la lógica de segundo orden, la situación es diferente). La tesis de Church-Turing , discutida en el mismo período, limitó la lógica de primer orden en la cuestión de la computabilidad algorítmica [20] .
Pero todo el trabajo posterior sobre los fundamentos lógicos de las matemáticas sigue en gran medida el camino trazado por Hilbert y utiliza los conceptos que creó.
Considerando que la formalización completa de las matemáticas era necesaria desde un punto de vista lógico, Hilbert al mismo tiempo creía en el poder de la intuición matemática creativa. Fue un gran maestro en el más alto grado de presentación visual de las teorías matemáticas. En este sentido, es destacable la "Geometría visual", escrita por Hilbert junto con S. Cohn-Vossen . Al mismo tiempo, Hilbert fue un decidido oponente de los intentos de los intuicionistas de imponer restricciones a la creatividad matemática (por ejemplo, para prohibir la teoría de conjuntos , el axioma de elección o incluso la ley del tercero excluido ). Esta posición dio lugar a una discusión en la comunidad científica, durante la cual la teoría de las demostraciones de Hilbert (especialmente después de los trabajos de Gödel mencionados anteriormente) fue acusada por algunos matemáticos de ser vacía y la llamaron un juego vacío con fórmulas.
El trabajo de Hilbert se caracteriza por la confianza en el poder ilimitado de la mente humana, la creencia en la unidad de la ciencia matemática y la unidad de las matemáticas y las ciencias naturales. Las obras completas de Hilbert, publicadas bajo su supervisión (1932-1935), terminan con el artículo "Conocimiento de la naturaleza", y este artículo termina con el lema "Debemos saber, sabremos" ( Wir müssen wissen. Wir werden wissen . ). Esta es la antítesis del dicho de E. Dubois-Reymond , quien se mantuvo en las posiciones filosóficas de la incognoscibilidad: "No sabemos, no sabremos" ("Ignoramus - ignorabimus").
Física
En física, Hilbert era partidario de un enfoque axiomático estricto y creía que después de la axiomatización de las matemáticas, sería necesario hacer este procedimiento con la física. La contribución más famosa de Hilbert a la física es la derivación de las ecuaciones de campo , las ecuaciones básicas de la teoría general de la relatividad (GR), llevada a cabo por él en noviembre de 1915 casi simultáneamente con Einstein (ver sobre esto: Hilbert y las ecuaciones de la gravedad campo ). Además, la influencia significativa de Hilbert en Einstein durante el período de su trabajo paralelo en la derivación de estas ecuaciones es innegable: ambos estaban en este período en una correspondencia intensiva de beneficio mutuo, lo que aceleró significativamente la finalización exitosa de la creación de la relatividad general. . Hilbert fue el primero en utilizar el método variacional para derivar estas ecuaciones , que luego se convirtió en uno de los principales de la física teórica. Evidentemente, este fue el primer caso en la historia de la física en el que se obtuvieron de esta forma ecuaciones previamente desconocidas de una teoría fundamental (al menos, si hablamos de teorías confirmadas). Hilbert prácticamente no tenía otros trabajos en el campo de la relatividad general: desde el principio consideró la relatividad general como un paso hacia la creación de una "teoría general de la materia" basada en las ideas de Gustav Mie y trató de trabajar en esta dirección. pero sin mucho éxito, y pronto abandonó este tema.
También es de interés el siguiente caso: en 1926, tras la creación de la mecánica cuántica matricial , Max Born y Werner Heisenberg decidieron consultar a Hilbert si existía una rama de las matemáticas en la que se aplicaría tal formalismo . Hilbert les respondió que se encontró con matrices similares cuando analizó la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden . A los físicos les pareció que el matemático no los entendía y decidieron no seguir estudiando este tema. Menos de seis meses después , Erwin Schrödinger creó la mecánica cuántica ondulatoria, cuya ecuación principal, la ecuación de Schrödinger, es una ecuación diferencial parcial de segundo orden , y demostró la equivalencia de ambos enfoques: la matriz antigua y la nueva onda.
Aprendices
Entre los estudiantes directos de Hilbert en Göttingen estaban:
- Otto Blumenthal
- Herman Weil
- Richard Courant
- Emanuel Lasker , campeón de ajedrez
- John von Neumann (quien también fue su asistente)
- Ernst Zermelo
- Hugo Steinhaus
y otros. El círculo de científicos que se consideraban sus alumnos es mucho más amplio, incluidos, por ejemplo, Emmy Noether y Alonzo Church . En total, Hilbert fue el supervisor de 69 estudiantes de doctorado. Es interesante su comentario sobre uno de los estudiantes de posgrado que abandonó las matemáticas y se “recicló” como poeta: “Es bueno, tenía muy poca imaginación para un matemático” [21] .
Calificaciones y cualidades personales
Los contemporáneos recuerdan a Hilbert como una persona alegre, extremadamente sociable y benévola, notan su excepcional diligencia y entusiasmo científico.
Famosos matemáticos hablaron sobre el papel de David Hilbert en las matemáticas de la siguiente manera:
Nuestra generación no ha presentado un solo matemático que pueda compararse con él... Tratando de ver a través del velo del tiempo lo que nos depara el futuro, Hilbert planteó y consideró veintitrés problemas sin resolver que... realmente jugaron un papel importante en el desarrollo de las matemáticas durante los próximos cuarenta y tantos años. Cualquier matemático que resolviera uno de ellos ocupaba un lugar de honor en la comunidad matemática.
Nosotros, los matemáticos, a menudo evaluamos nuestro progreso por la medida de cuántos de los problemas de Hilbert aún no se han resuelto.
En mis recuerdos, este hombre seguía siendo un genio, igual al que nunca he visto.
Las ideas de Hilbert fueron un punto de inflexión en cuestiones de fundamentos de las matemáticas y el comienzo de una nueva etapa en el desarrollo del método axiomático.
Hilbert parecía personificar las mejores tradiciones de los grandes genios del pasado... Combinó un pensamiento abstracto inusualmente agudo con una capacidad asombrosa para no romper con el significado físico concreto del problema.
Quizá Hilbert influyó más profundamente en el mundo matemático no tanto con sus brillantes descubrimientos como con la estructura de su mente; enseñó a los matemáticos a pensar axiomáticamente, es decir, a esforzarse por reducir cada teorema al esquema lógico más estricto ... Con su honestidad intelectual, cada vez más exigente, en una necesidad apasionada de comprender, en un esfuerzo incansable por un cada vez más unificado, cada vez más puro, desprovisto de ciencia superflua, Hilbert encarnó verdaderamente la matemática ideal para la generación de entreguerras.
D. Hilbert fue uno de los grandes matemáticos de su tiempo. Sus obras y la personalidad inspirada del científico hasta el día de hoy tienen una profunda influencia en el desarrollo de las ciencias matemáticas. La intuición penetrante, el poder creativo y la originalidad única de pensamiento, la amplitud y la diversidad de intereses de Hilbert lo convirtieron en un pionero en muchas ramas de las matemáticas. Fue una personalidad única, profundamente inmerso en su propio trabajo y entregado por completo a la ciencia, fue un maestro y líder de la más alta clase, que supo inspirar y apoyar, no conoció el cansancio y fue persistente en todas sus aspiraciones.
Memoria
En 1970, la Unión Astronómica Internacional nombró un cráter en el lado oculto de la Luna en honor a Gilbert .
Premios y distinciones
- Miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlín (desde 1913).
- Premio que lleva el nombre de N. I. Lobachevsky ( 1903 ), Sociedad de Física y Matemáticas de Kazan.
- Premio Poncelet (1903), Academia de Ciencias de Francia .
- Medalla Kotenius (1906), Leopoldina .
- Premio Bolyai ( 1910 ), Academia Húngara de Ciencias .
- Ciudadano de honor de Königsberg (1930).
- Una calle de Göttingen ( Hilbertstraße ) lleva el nombre del científico.
Fue elegido miembro extranjero de muchas academias de ciencias, incluido miembro correspondiente extranjero de la Academia de Ciencias de Rusia (1922) y miembro honorario extranjero de la Academia de Ciencias de la URSS (1934).
Procedimientos en traducción rusa
- Gilbert D. Obras escogidas: en 2 volúmenes // Ed. A. N. Parshina. - M.: Factorial, 1998. - ISBN 5-88688-028-3
- Vol. 1: Teoría de las invariantes. Teoría de los números. Álgebra. Geometría. Fundamentos de las matemáticas. — 575 pág. - ISBN 5-88688-029-1 .
- Vol. 2: Análisis. Física. Problemas de Hilbert. personales — 607 pág. — ISBN 5-88688-039-5 (erróneo) .
- Hilbert D. Foundations of Geometry Archivado el 28 de julio de 2011 en Wayback Machine . M.-L.: Gostekhizdat, 1948. - Serie: Clásicos de las Ciencias Naturales.
- Gilbert D., Akkerman V. Fundamentos de lógica teórica. M.: Grupo editorial URSS, 2010, 304 p. ISBN 978-5-484-01144-5 .
- Hilbert D., Bernays P. Fundamentos de las matemáticas. M.: Ciencia.
- Tomo I. Cálculo lógico y formalización de la aritmética. 1979, 560 págs.
- Volumen II. La teoría de la evidencia. 1982, 656 págs.
- Hilbert D., Cohn-Fossen S. Geometría visual , M.-L., ONTI, 1936. - 304 p. Reedición: Gostekhizdat (1951), Editorial URSS (2010).
- Courant R. , Hilbert D. Métodos de Física Matemática. Tomo I, 1933. Tomo II, 1945.
Notas
- ↑ 1 2 MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas
- ↑ 1 2 D. Hilbert // Miembros anteriores de KNAW
- ↑ David Hilbert // el Proyecto de Ontología Filosófica de Internet
- ↑ 1 2 Kolmogorov AN Gilbert David // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / ed. AM Prokhorov - 3ª ed. — M .: Enciclopedia soviética , 1969.
- ↑ www.accademiadellescienze.it (italiano)
- ↑ Biblioteca Nacional Alemana, Biblioteca Estatal de Berlín, Biblioteca Estatal de Baviera , Registro de la Biblioteca Nacional de Austria #11855090X // Control Regulador General (GND) - 2012-2016.
- ↑ Hilbert David // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
- ↑ Stillwell D. Matemáticas y su historia. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004, pp. 413-415.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 22-24.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 19-22.
- ↑ Constance Read, 1977 , Capítulo XVII.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 52-53.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 92-98.
- ↑ Courbera G. Club Matemático. Congresos internacionales. - M. : De Agostini, 2014. - S. 52-56. — 160 s. — (El Mundo de las Matemáticas: en 45 tomos, tomo 39). — ISBN 978-5-9774-0734-2 .
- ↑ Casado, 2015 , pág. 91.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 167-168.
- ↑ Constance Read, 1977 , Capítulo XVIII.
- ↑ Ian Stewart, 2019 , pág. 315-317.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 38-46.
- ↑ Casado, 2015 , pág. 158-167.
- ↑ David J. Darling. El Libro Universal de las Matemáticas (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2004. - Pág. 151. - ISBN 978-0-471-27047-8 .
- ↑ Weil, 1989 , pág. 215, 220.
Literatura
- Bogolyubov A. N. Hilbert David // Matemáticas. Mecánica. Guía biográfica . - Kiev: Naukova Dumka , 1983. - 639 p.
- Weil G. David Hilbert y su trabajo matemático // Pensamiento matemático . - M. : Nauka, 1989. - S. 214 -256. — ISBN 5-02-013910-6 .
- Vizgin V. P. Teoría relativista de la gravitación (orígenes y formación. 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352 p.
- N. M. Nagorno. Hilbert // Nueva enciclopedia filosófica : en 4 volúmenes / anterior. ed. científica consejo de V. S. Stepin . — 2ª ed., corregida. y adicional - M. : Pensamiento , 2010. - 2816 p.
- Casado, Carlos M. Madrid. Al principio había un axioma. Gilberto. Fundamentos de las matemáticas // Ciencias. Las grandes teorías. - M. : De Agostini, 2015. - Edición. 34 . — ISSN 2409-0069 .
- Parshin AN David Hilbert y la teoría invariante // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1975. - Nº 20 . - S. 171-197 .
- Reid K. Gilbert . — M .: Nauka, 1977.
- Stewart, Ian . David Hilbert // Cifras significativas: Vida y descubrimientos de grandes matemáticos. Capítulo 19 = Cifras significativas. Vidas y obras de matemáticos pioneros. — M. : Alpina no ficción, 2019. — 446 p. - ISBN 978-5-91671-946-8 .
Enlaces
- Biografía en Mac Tutor Archive
- Información en la web de IS ARAN
- Hilbert, David en el sitio web oficial de la Academia Rusa de Ciencias
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