Numero irracional

Números irracionales ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π y π

Un número irracional es un número real que no es racional , es decir, no se puede representar como una fracción ordinaria , donde son números enteros , [1] . Un número irracional se puede representar como un decimal infinito no periódico . ${\frac{m}{n}}$ $Minnesota$ $n\neq 0$

En otras palabras, el conjunto de números irracionales es la diferencia entre los conjuntos de números reales y racionales . $\mathbb {I} =\mathbb {R} \barra invertida \mathbb {Q}$

La existencia de los números irracionales (más precisamente , los segmentos que son inconmensurables con un segmento de unidad de longitud) ya era conocida por los antiguos matemáticos: conocían, por ejemplo, la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado, que equivale a la irracionalidad del número [2] . ${\ sqrt {2}}$

Irracionales son, entre otros, la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo (el número π ), la base del logaritmo natural e , la proporción áurea φ , la raíz cuadrada de dos [3] [4] [5] . Todas las raíces cuadradas de los números naturales, excepto los cuadrados perfectos , son irracionales.

Los números irracionales también se pueden ver en términos de fracciones continuas infinitas . Una consecuencia de la demostración de Cantor es que los números reales no son contables , pero los números racionales sí lo son, por lo que se deduce que casi todos los números reales son irracionales [6] .

Propiedades

La suma de dos números irracionales positivos puede dar como resultado un número racional.
Los números irracionales definen las secciones de Dedekind en el conjunto de números racionales que no tienen el número más grande en la clase inferior ni el número más pequeño en la superior.
El conjunto de los números irracionales es denso en todas partes de la línea real: entre dos números diferentes cualesquiera hay un número irracional.

Números algebraicos y trascendentales

Todo número irracional es algebraico o trascendental . El conjunto de números algebraicos es un conjunto contable . Como el conjunto de los números reales es incontable, el conjunto de los números irracionales también lo es.

Todo número trascendental real es irracional; Un número algebraico puede ser racional o irracional.

El conjunto de los números irracionales es un conjunto de la segunda categoría [7] .

Números irracionales y fracciones continuas

Un número irracional está representado por una fracción continua infinita . Ejemplo, número e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots,1,2n,1,\ldots]

Las irracionalidades cuadráticas corresponden a fracciones continuas periódicas.

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].

Ejemplos

irracionales son:

${\ sqrt {n}}$ para cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto $norte$
Número $mi$ y también para cualquier racional . $e^{x}$ $x\neq 0$
$\ln x$ para cualquier racional positivo $x\neq 1$
Número $\Pi$ y también para cualquier racional . ${\ estilo de visualización \ pi ^ {x}}$ $x \ ne 0$

Ejemplos de pruebas de irracionalidad

Raíz de 2

Suponga lo contrario: es racional , es decir, se representa como una fracción , donde es un número entero , y es un número natural . ${\ sqrt {2}}$ ${\frac{m}{n}}$ $metro$ $norte$

Elevemos al cuadrado la supuesta igualdad:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Flecha derecha 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Flecha derecha m^{2}=2n^ {2}

En la expansión canónica del lado izquierdo de la igualdad, el número entra en un grado par, y en la expansión , en uno impar. Luego la igualdad es imposible. Por lo tanto, la suposición original era incorrecta y es un número irracional. $2$ $2n^{2}$ ${\ estilo de visualización m^{2}=2n^{2}}$ ${\ sqrt {2}}$

El logaritmo binario del número 3

Suponga lo contrario: es racional , es decir, se representa como una fracción , donde y son números enteros . Dado que , y puede tomarse como positivo. Después $\ log _ {2} 3$ ${\frac{m}{n}}$ $metro$ $norte$ $\log _{2}3>0$ $metro$ $norte$

\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2} }3}\Flecha derecha 2^{m}=3^{n}

Pero incluso, y el lado derecho de la igualdad resultante es impar. Obtenemos una contradicción. $2^{m}$

e

Véase el apartado "Prueba de la irracionalidad" en el artículo "e" .

Historia

Antigüedad

El concepto de números irracionales fue adoptado implícitamente por matemáticos indios en el siglo VII a. C., cuando Manawa (ca. 750-690 a. C.) descubrió que las raíces cuadradas de algunos números naturales, como 2 y 61, no podían expresarse explícitamente. .

La primera prueba de la existencia de números irracionales, o más bien de la existencia de segmentos inconmensurables, suele atribuirse al pitagórico Hippaso de Metaponto (aproximadamente 470 aC) [8] . No hay datos exactos sobre la irracionalidad de qué número demostró Hippasus. Según la leyenda, lo encontró mientras estudiaba la longitud de los lados del pentagrama [9] [10] . Por lo tanto, es razonable suponer que esta era la proporción áurea , ya que esta es la proporción de la diagonal al lado de un pentágono regular.

Los matemáticos griegos llamaron alogos (inexpresable) a esta proporción de cantidades inconmensurables, pero según las leyendas, no le tenían el debido respeto a Hipaso. Existe una leyenda de que Hippasus hizo el descubrimiento durante un viaje por mar y fue arrojado por la borda por otros pitagóricos "por crear un elemento del universo, lo que niega la doctrina de que todas las entidades del universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones". " El descubrimiento de Hippasus planteó un serio problema para las matemáticas pitagóricas, destruyendo la suposición subyacente de que los números y los objetos geométricos son uno e inseparables.

Feodor Kirensky demostró [11] la irracionalidad de las raíces de los números naturales hasta 17 (excluyendo, por supuesto, los cuadrados exactos - 1, 4, 9 y 16), pero se detuvo allí, ya que el álgebra disponible en su caja de herramientas no permitía probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 17. En cuanto a cuál podría haber sido esta prueba, los historiadores de las matemáticas han hecho varias conjeturas diferentes. Según la sugerencia más plausible [12] de Jean Itard , se basaba en el teorema de que un número cuadrado impar es divisible por ocho con un resto de uno [13] .

Posteriormente, Eudoxo de Cnido (410 o 408 a. C. - 355 o 347 a. C.) desarrolló una teoría de las proporciones que tenía en cuenta tanto las relaciones racionales como las irracionales. Esto sirvió como base para comprender la esencia fundamental de los números irracionales. El valor comenzó a considerarse no como un número, sino como una designación de entidades, como segmentos de línea, ángulos, áreas, volúmenes, intervalos de tiempo, entidades que pueden cambiar continuamente (en el sentido moderno de la palabra). Los valores se opusieron a los números que solo pueden cambiar "saltando" de un número al siguiente, por ejemplo, del 4 al 5 [14] . Los números se componen de la cantidad indivisible más pequeña, mientras que las cantidades se pueden reducir indefinidamente.

Dado que ningún valor cuantitativo se comparaba con una cantidad, Eudoxo pudo cubrir tanto las cantidades conmensurables como las inconmensurables al definir una fracción como la relación de dos cantidades y la proporción como la igualdad de dos fracciones. Al eliminar los valores cuantitativos (números) de las ecuaciones, evitó la trampa de tener que llamar número a una cantidad irracional. La teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos hacer increíbles progresos en geometría, brindándoles la justificación necesaria para trabajar con cantidades inconmensurables [15] . El décimo libro de " Comienzos " de Euclides está dedicado a la clasificación de las cantidades irracionales.

Edad Media

La Edad Media estuvo marcada por la adopción de conceptos tales como cero, números negativos, números enteros y números fraccionarios, primero por los matemáticos indios y luego por los chinos. Más tarde se sumaron los matemáticos árabes, quienes fueron los primeros en considerar los números negativos como objetos algebraicos (junto con los números positivos en igualdad de condiciones), lo que permitió el desarrollo de la disciplina ahora llamada álgebra.

Los matemáticos árabes combinaron los conceptos griegos antiguos de "número" y "valor" en una idea única y más general de números reales. Fueron críticos con las ideas de Euclides sobre las relaciones, por el contrario, desarrollaron la teoría de las relaciones de cantidades arbitrarias y ampliaron el concepto de número a las relaciones de cantidades continuas. En sus comentarios sobre el Libro 10 de los Elementos de Euclides, el matemático persa al-Mahani (c. 800 EC) exploró y clasificó los números irracionales cuadráticos y los números irracionales cúbicos más generales. Dio una definición de cantidades racionales e irracionales, a las que llamó números irracionales. Fácilmente operó sobre estos objetos, pero razonó como objetos separados, por ejemplo [16] :

Un [valor] racional es, por ejemplo, 10, 12, 3%, 6%, etc., ya que estos valores se pronuncian y expresan cuantitativamente. Lo que no es racional es irracional, y es imposible pronunciar o cuantificar el valor correspondiente. Por ejemplo, las raíces cuadradas de números como 10, 15, 20 no son cuadrados.

En contraste con el concepto de Euclides de que las cantidades son principalmente segmentos de línea, Al Mahani consideraba que los números enteros y las fracciones eran cantidades racionales, y que las raíces cuadradas y cúbicas eran irracionales. También introdujo un enfoque aritmético del conjunto de los números irracionales, ya que fue él quien demostró la irracionalidad de las siguientes cantidades [16] :

el resultado de sumar una cantidad irracional y otra racional, el resultado de restar una cantidad racional a una irracional, el resultado de restar una cantidad irracional a una racional.

El matemático egipcio Abu Kamil (c. 850 EC - ca. 930 EC) fue el primero en considerar aceptable reconocer los números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en ecuaciones, principalmente en forma de raíces cuadradas o cúbicas, así como como raíces de cuarto grado [17] . En el siglo X, el matemático iraquí Al-Hashimi proporcionó pruebas generales (en lugar de demostraciones geométricas visuales) de la irracionalidad del producto, el cociente y los resultados de otras transformaciones matemáticas de números irracionales y racionales [18] . Al-Khazin (900 CE - 971 CE) da la siguiente definición de cantidad racional e irracional [19] :

Si un solo valor está contenido en un valor dado una o más veces, entonces este valor [dado] corresponde a un número entero ... Cada valor que es la mitad, o un tercio, o un cuarto de un solo valor, o, comparado con un solo valor, es tres quintos de él, este valor racional. Y en general, toda cantidad que se relacione con la unidad como un número con otro, es racional. Si el valor no puede representarse como varios o parte (l/n), o varias partes (m/n) de unidad de longitud, es irracional, es decir, inexpresable excepto con la ayuda de raíces.

Muchas de estas ideas fueron adoptadas posteriormente por matemáticos europeos tras la traducción de textos árabes al latín en el siglo XII. Al Hassar, un matemático árabe del Magreb que se especializó en las leyes de herencia islámicas, introdujo la notación matemática simbólica moderna para fracciones en el siglo XII, separando el numerador y el denominador con una barra horizontal [20] . La misma notación apareció luego en las obras de Fibonacci en el siglo XIII [21] . Durante los siglos XIV-XVI. Madhava de Sangamagrama y representantes de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala investigaron series infinitas que convergen a algunos números irracionales, por ejemplo, a , y también mostraron la irracionalidad de algunos valores de funciones trigonométricas. Jestadeva informó estos resultados en el libro Yuktibhaza. $\Pi$

Nuevo tiempo

En los siglos XVII-XVIII, los números complejos se establecieron firmemente en las matemáticas , cuya contribución al estudio fue realizada por Abraham de Moivre (1667-1754) y Leonhard Euler (1707-1783). Cuando la teoría de los números complejos en el siglo XIX se volvió cerrada y clara, se hizo posible clasificar los números irracionales en algebraicos y trascendentales (mientras se probaba la existencia de los números trascendentales), repensando así el trabajo de Euclides sobre la clasificación de los números irracionales. En 1872 se publicaron obras de Weierstrass , Heine , Cantor y Dedekind sobre este tema . Aunque ya en 1869 Meret iniciaba consideraciones similares a los trabajos de Heine, se considera que 1872 es el año del nacimiento de la teoría. El método de Weierstrass fue completamente expuesto por Salvatore Pinkerle en 1880 [22] , y Dedekind recibió fama adicional por el trabajo posterior del autor (1888) y el respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine justificaron sus teorías con series infinitas, mientras que Dedekind trabajó con (ahora llamadas) secciones de Dedekind del conjunto de números reales, dividiendo todos los números racionales en dos conjuntos con ciertas propiedades características.

Las fracciones continuas , estrechamente relacionadas con los números irracionales (la fracción continua que representa un número dado es infinita si y solo si el número es irracional), fueron investigadas por primera vez por Cataldi en 1613, luego atrajeron nuevamente la atención en los trabajos de Euler y en los primeros años. Siglo XIX - en las obras de Lagrange . Dirichlet también hizo una contribución significativa al desarrollo de la teoría de las fracciones continuas. En 1761, utilizando fracciones continuas, Lambert demostró que no es un número racional, y también que y son irracionales para cualquier número racional distinto de cero [23] . Aunque la prueba de Lambert puede considerarse incompleta, generalmente se considera bastante rigurosa, especialmente teniendo en cuenta el momento en que se escribió. Legendre en 1794, después de introducir la función de Bessel-Clifford , demostró que lo irracional, de donde la irracionalidad se sigue trivialmente (un número racional elevado al cuadrado daría un número racional). $\Pi$ $e^{x}$ $\nombre del operador {tg}x$ $X$ $\pi^{2}$ $\Pi$

La existencia de números trascendentales fue probada por Liouville en 1844-1851. Posteriormente, Georg Cantor (1873) demostró su existencia utilizando un método diferente y demostró que cualquier intervalo de la serie real contiene infinitos números trascendentales. Charles Hermite probó en 1873 que e es trascendente, y Ferdinand Lindemann en 1882, basándose en este resultado, demostró la trascendencia . La demostración de Lindemann fue luego simplificada por Weierstrass en 1885, más simplificada por David Hilbert en 1893, y finalmente llevada a un nivel casi elemental por Adolf Hurwitz y Paul Gordan [24] . $\Pi$

Véase también

Notas

↑ Número racional // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
↑ Historia, 1970 , Volumen 1, p. 73.
↑ Los 15 números trascendentales más famosos Archivado el 24 de octubre de 2007 en Wayback Machine . por Clifford A. Pickover . URL consultado el 24 de octubre de 2007.
↑ Números irracionales Archivado el 29 de agosto de 2010 en Wayback Machine // mathsisfun.com; URL consultado el 24 de octubre de 2007.
↑ Weisstein, Eric W. Número irracional en el sitio web de Wolfram MathWorld . URL consultado el 26 de octubre de 2007.
↑ Cantor, Georg. Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos / Philip Jourdain. - Nueva York: Dover, 1955. - ISBN 978-0-486-60045-1 .
↑ Ilyin, Sadovnichy, Sendov, 2006 , pág. 64.
↑ Kurt von Fritz, 1945 .
↑ James R. Choike. El pentagrama y el descubrimiento de un número irracional // The Two-Year College Mathematics Journal :revista. — 1980.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 , pág. 242-264.
↑ Historia, 1970 , T 1. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era, p. 74.
↑ A. I. Shchetnikov. Cómo los antiguos matemáticos griegos demostraron la irracionalidad. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Jean Itard. Les livres arithmétiques d'Euclides . — París: Hermann, 1961. Archivado el 22 de noviembre de 2015 en Wayback Machine .
↑ Kline 1990, p.48.
↑ Kline 1990, p.49.
↑ 1 2 Matvievskaya, 1987 , pág. 253–277 [259].
↑ Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 148, en Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Matemáticas a través de las culturas: la historia de las matemáticas no occidentales (inglés) . - Springer , 2000. - ISBN 1-4020-0260-2 . .
↑ Matvievskaya, 1987 , pág. 253–277 [260].
↑ Matvievskaya, 1987 , pág. 253–277 [261].
↑ Cajori, Florian (1928), Historia de las notaciones matemáticas (Vol. 1) , La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company pág. 269.
↑ ( Cajori 1928 , pág.89)
↑ Salvatore Pincherle. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass (italiano) // Giornale di Matematiche: diario. - 1880. - P. 178-254,317-320 .
↑ JH Lambert. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logarithmiques (francés) // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin: revista. - 1761. - Pág. 265-322 . Archivado desde el original el 28 de abril de 2016.
↑ Gordon, Pablo. Transcendenz von e und π // Mathematische Annalen . - Teubner, 1893. - T. 43 . - S. 222-224 . -doi : 10.1007/ bf01443647 .

Literatura

V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 2. Números Reales//Análisis Matemático/Ed. A. N. Tijonova . -3ra ed. , revisado y adicional -M.: Prospekt, 2006. - T. 1. - 672 p. —ISBN 5-482-00445-7.
Historia de las matemáticas desde la antigüedad hasta principios del siglo XIX. En tres volúmenes / ed. Yushkevich. — M .: Nauka, 1970.
Kline, M. (1990). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , vol. 1. Nueva York: Oxford University Press. (Obra original publicada en 1972).
Matvievskaya, Galina. La teoría de los irracionales cuadráticos en las matemáticas orientales medievales // Annals of the New York Academy of Sciences : diario. - 1987. - vol. 500 . -doi : 10.1111 / j.1749-6632.1987.tb37206.x .
Kurt von Fritz. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus of Metapontum (inglés) // The Annals of Mathematics : journal. — 1945.

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ver también	números dobles Numeros irracionales numeros trascendentales haz de números bicuaternión

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico